7.3.1 离散型随机变量的均值-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.设随机变量 X等可能取值1,2,3,⋯,n,如 果P(X<4)=0.3,那么 ( ) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9 2.若离散型随机变量 X的分布列如下： X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(X<x)=0.8时，实数x的取值范 围是 ( ) A.(一○,1) B.[1,2] C.(1,2) D.(1,2) 3.(四川成都高二月考)下列选项中的随机变 量不服从两点分布的是 ( ) A.抛掷一枚骰子，所得点数 X B.某射击手射击一次，击中目标的次数 X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球， 3 个白球 的袋 中任 取 1 个球，设 X ={0,取出红球 D.某医生做一次手术，手术成功的次数 X 4.下列表中能成为离散型随机变量 X的分布 列的是 ( ) A. X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 —0.1 C. X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.5 提示、请完成《素能提升训练》训练十三 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 [学习任务] 1.能记住离散型随机变量均值的意义，能计算简单离散型随机变量的均值.(重点) 2.能记住离散型随机变量均值的性质并会应用.(难点) 3.识记两点分布的均值. 4.会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平.解决一些相关的实际问题。 (重、难点) 47 ?高中数学·选择性必修 第三册 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 离散型随机变量的均值或数 学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x? X? ⋯ x ⋯ C P P? p? ⋯ p ⋯ p 则称 E(X)=x?p?+x?p?+⋯十x;p;十⋯十 x,pn=2x;p为随机变量X 的均值或数学期 望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可 能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了 随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变 量取值的平均水平. 知识点二 两点分布的期望 一般地，如果随机变量 X服从两点分布， 那么 E(X)=0×(1-p)+1×p= 知识点三 离散型随机变量的均值的 性质 设X的分布列为P(X=x;)=pi,i=1,2, ⋯,n. 一般地，下面的结论成立：E(aX+b)= aE(X)+b. -II规律方法|l- 1.均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映的 是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平 均值，不同于相应数值的平均数. 2. E(X?+X?)=E(X?)+E(X?),即两个随机变量和 的均值等于均值的和. 试一试 1.(山东济宁高二期中)若随机变量X的分布 列为 X 0 1 P 0.5a 则 E(X)等于 ( ) A.0.8 B.0.6 D.0.25C.0.5 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面 向上得一1分，则得分X的均值为( ) B.A.0 C.1 D.-1 3.设 E(X)=4,则E(2X-5)= 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 利用定义求离散型随机变量的 均值 [例1] 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中 随机取出 4只球，设取到一只红球得 2分， 取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. -Ⅱ规律方法|Ⅱ- 求离散型随机变量的均值关键是写出分布列，一 般分为四步：(1)确定 X的可能取值；(2)计算出 P(X =k);(3)写出分布列；(4)利用 E(X)的计算公式计算 E(X). 跟踪训练 1.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜 猜”,规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三 道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1 分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题 目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜 错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目 48 第七章 随机变量及其分布 3,2,s的概率分别为 ,且三道题目之间相 互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分 数的分布列与均值. 探究二 离散型随机变量均值的性质 [例 2] 已知随机变量 X的分布列为 放入9个大小相同的小球，其中3个小球上 标有数字1,3个小球上标有数字 2,3个小 球上标有数字 3.每位顾客从该纸箱中一次 性取出 3个球，若取到的3个球上标有的数 字都一样，则获得一张 8元的代金券；若取 到的3个球上标有的数字都不一样，则获得 一张4元的代金券；若是其他情况，则获得 一张1元的代金券.然后将取出的3个小球 放回纸箱，等待下一位顾客抽奖. (1)记随机变量 X为某位顾客在一次抽奖活 动中获得代金券的金额数，求随机变量 X的 分布列和数学期望； (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不 足 88元，则每抽奖一次需支付 2元，若您是 该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意 参加一次抽奖活动?请说明理由. X -2 -1 0 1 2 4 113 12P m 若Y=-2X,则E(Y)= . Ⅱ规律方法|l-⋯⋯ 离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b, a,b为常数，一般思路是先求出 E(X),再利用公式 E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y),也可以利用X的分 布列得到Y的分布列，关键是由 X的取值计算Y的取 值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y). 跟踪训练 2.已知随机变量 X和Y,其中Y=12X+7,且 E(Y)=34,若 X的分布列如下表，则 m的 值为 ( ) X 1 2 3 4 4 12P m n A.g 14B c.6 D.g 探究三 离散型随机变量均值的应用 [例3] 某超市为了促销，规定每位顾客购物 总金额超过88 元可免费参加一次抽奖活 动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中 -IⅡ规律方法|l- 解答均值运用问题的三个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能 用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值。 (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论。 跟踪训练 3.某中药种植基地有两处种植区的药材需在 下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一 天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会 影响药材品质，基地收益如下表所示： 49 ?高中数学·选择性必修 第三册 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全 部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时 收益为10万元.额外聘请工人的成本为 a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相 同，两天是否下雨互不影响，基地收益为 20 万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益 X的 分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由. 易错 对离散型随机变量均值的性质 理解不清致误警示 [典例] 若 X是一个离散型随机变量，则 E(E(X)—X)= ( ) B.1A.0 C.2E(X) D.不确定 [解析] 由离散型随机变量均值的性质知，当 Y=aX+b,其中a,b为常数时，有 E(Y)= aE(X)+b.又 E(X)是常数，∴E(E(X)一X)= E(X)+E(一X)=E(X)—E(X)=0. [答案] A |误区警示|| (1)离散型随机变量的均值 E(X)是一个数值，是 随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机 性，反映的是随机变量取值的平均水平. (2)两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定 相同；不相同均值的两个随机变量，其分布未必相同； 两个随机变量的分布不同也可以有相同的均值. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.设随机变量 X的分布列如下表，且 E(X)= 1.6,则 a—b= ( ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.—0.2 D.—0.4 2.某射击运动员在比赛中每次击中 10 环得 1分，击不中10环得0分.已知他击中10环 的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是 ( ) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 3.有10件产品，其中3件是次品，从中任取 2 件，用X表示取到次品的个数，则 E(X)= ( ) B.5A.3 c.15 D.1 4.对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器 最多可检测 3次，一旦发现问题，则停止检 测，否则一直检测到3次为止.若该仪器一 次检测中出现问题的概率为0.2,设检测次 数为X,则X的数学期望为 提示、请完成《素能提升训练》训练十四 50 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差 [学习任务] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质.(重点) 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 离散型随机变量的方差、标 准差 设离散型随机变量 X的分布列为 X x? T? ⋯ x ⋯ P P? p? ⋯ p ⋯ p 考虑X所有可能取值x;与E(X)的偏 差的平方(x?—E(X))2,(x?—E(X))2,⋯, (x,—E(X))2.因为 X取每个值的概率不尽 相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的 加权平均，来度量随机变量 X取值与其均值 E(X)的偏离程度，我们称 D(X)=(x?—E(X))2p?+(x?— E(X)°p?+⋯+(z,-E(X)2p。=2(x,- E(X))2pi 为随机变量 X的方差，有时也记为 Var(X),并称√D(X)为随机变量X的标准 差，记为σ(X). 知识点二 几个常见的结论 (1)D(aX+b)=a2D(X). (2)若X服从两点分布，则D(X)=p(1—p). 试一试 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的 分蘖数 据，计算出样 本均值 E(X甲)= E(Xz),方差分别为D(X甲)=11,D(Xz)= 3.4.由此可以估计 ( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2.(多选)已知随机变量 X的分布列为 X -1 0 1 12 1sP 则下列式子正确的是 ( ) A.E(X)=-3 B.D(X)=27 C.P(X=0)=3 D.P(X≥0)=2 3.小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1 分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率 为0.5,记小智投篮三次后的总分数为随机 变量ξ,则 D(|ξ1)为 . 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求离散型随机变量的方差 [例1] 设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 14 13 6 4P 则 D(X)= ( ) B.14 c.14 D.2A.2 -Ⅱ规律方法|l-⋯⋯⋯ 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出 E(X); (4)根据公式计算方差. 51 【随堂巩固促应用】 1.C 由题意知 P(X<4)=3P(X=1)=0.3, ∴P(X=1)=0.1,又nP(X=1)=1,∴n=10. 2.C 由分布列知， P(X=—2)+P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) =0.1+0.2+0.2+0.3=0.8, ∴P(X<2)=0.8,故1<x≤2. 3.A 对于选项A,抛掷一枚骰子，所得点数 X的取值范 围为{1,2,3,4,5,6},所以 A中的随机变量不服从两点 分布；对于选项 B,射击手射击一次，有击中目标和不击 中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分 布；对于选项C,袋中只有红球和白球，取出1个球，可 能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布； 对于选项 D,医生做一次手术，手术可能成功，也可能失 败，D中的随机变量服从两点分布.故选 A. 4.C 选项A,D不满足分布列的概率和为1,选项 B不满 足分布列的概率为非负数。 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 【自主学习探新知】 知识点二 p 试一试 1.C 由0.5+a=1,得a=0.5,所以E(X)=0×0.5+1× 0.5=0.5.故选C. P(X=1)=1,P(X=-1)=22.A 因为 ,所以由均值 的定义得E(X)=1×1+(-1)×2=0. 3.解析 E(2X-5)=2E(X)-5=3. 答案 3 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 取出4只球颜色及得分分布情况是：4红 得8分，3红1黑得7分，2 红2 黑得6分，1红3黑得5 分，因此， P(X=5)=C-5, P(X=6)=C-35, P(X=7)=CC-3, P(X=8)=c= 故 X的分布列为 X 5 6 7 8 43 83 13 13P ∴E(X)=5×35+6×35+7×3+8×35=4. [跟踪训练] 1.解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”,则 X的可 能取值为一4,1,3,6. ∴.P(X=-4)=(1-3)×(1-1)×(1-3)=g, P(X=1)=3×1×3+3×2×3+3×1×3 =8, P(X=3)=3×2×3+3×2×3+3×2×3 =18, P(X=6)=3×1×3=8=g. ∴X的分布列为 X -4 1 3 6 78 78 19P ∴E(X)=(-4)×g+1×78+3×18+6×1=16. 探究二 [例2] [解析] 由随机变量分布列的性质，得 4+3+号+m+20=1,解得m=6, ∴E(X)=(-2)×4+(-1)×3+o×号+1×1+ 2×20=-30 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),即E(Y)=-2× (-30)=1号 11[答案] [跟踪训练] 2.A 因为Y=12X+7,则 E(Y)=12E(X)+7, 即E(Y)=12(1×4+2·m+3·n+4×1)+7=34. 所以2m+3n=5, 又4+m+n+12=1, ① 所以m+n=3, ② m=3.由①②可解得 探究三 [例3] [解](1)由题意可知，随机变量X的所有可能 取值为1,4,8.P(X=8)=CC=28,P(X=4)= CCC=2,P(X=1)=1-28-28=4,所以随机变 量X的分布列为 X 1 4 8 61 92 18P 所以随机变量 X的数学期望 E(X)=1×94+4×8+8×28=14 17 34>2.(2)由 .故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽 奖活动. [跟踪训练] 3.解(1)设下周一无雨的概率为 p, 由题意知，p2=0.36,p=0.6, 基地收益 X的可能取值为20,15,10,7.5, 则 P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10) =0.24,P(X=7.5)=0.16, 所以基地收益 X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益 E(X)=20×0.36+15×0.24十 10×0.24+7.5×0.16=14.4, 所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益 E(Y)=20×0.6+10×0.4—a=(16—a) 万元，E(Y)—E(X)=1.6-a, 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘 工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万 元时，是否外聘工人均可以. 【随堂巩固促应用】 1.C 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由E(X)= 0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解 得a=0.3,b=0.5,则 a—b=—0.2. 2.B 因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)= 1×0.8+0×0.2=0.8. 3.A X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C=5 P(X=1)=GiC=,P(X=2)=8=5.所以 E(X) =1×15+2×15=3. 4.解析 由题意知，X的可能取值为1,2,3,且P(X=1) =0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8× 0.8=0.64,所以 E(X)=1×0.2+2×0.16+3×0.64= 2.44. 答案 2.44 7.3.2 离散型随机变量的方差 【自主学习探新知】 试一试 1.B D(Xm)>D(Xz),所以乙种水稻比甲种水稻分蘖 整齐。 2.ACD 由分布列可知，E(X)=(-1)×1+0×1+ ,故A正确；D(X)=(-1+g)×2+1×6=-3 (o+g)×g+(1+3)×?=5,,故 B不正确，CD 显然正确。 3.解析 根据题意，ξ的可能取值为-3,-1,1,3,P(ξ= -3)=C8×(2)3=g,P(ξ=-1)=C!×(2)=3, P(ξ=1)=C×(1)=3,P(ξ=3)=C×(2)= 18-,则P(|5I=1)=8+3=4,P(|5=3)=g+8 4,所以E(|5)=3×4+1×4=2,所以 D(lξl) =(3-3)×4+(1-3)×4=4. 34答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] C 由题意知，E(X)=1×4+2×1+3×6+ 4×4=1, 故D(X)=(1-)×4+(2-1)2×3+(3-) ×?+(4-)×4=149 [跟踪训练] p=1-亏-3o=1.解析 由随机变量分布列的性质可得 2.又E(X)=0×5+1×2+x×30=1.1,解得x=2.所 以D(X)=(0-1.12×号+(1-1.102×1+(2-1.1)2× o=0.49. 答案 0.49 探究二 2++p=1,解得[例2] [解] 由分布列的性质，得 p=6 ∵E(X)=0×1+1×3+6~=3,∴x=2. (1)D(X)=(0-3)2×1+(1-3)×3+ (2-3)×?=25=5. (2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5, ∴√D(Y)=√5. [变式训练] 解 因为Y=2X+1,所以 D(Y)=D(2X+1)=4D(X) =9,所以√DCY)=235 [跟踪训练] 2.D 由题意知，E(X)=-1×1+0×1+1× 6=-1,故D(X)=(-1+g)2×2+(o+3)× 3+(1+g)×?=5,D(Y)=D(2X+2)=4D(X) =4×5=90 探究三 [例3] [解](1)依题意，0.5+3a+a+0.1=1, 解得a=0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 18