7.1.2 全概率公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 易错 混淆“条件概率”与“交事件的 概率”致误警示 [典例] 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色 的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取 两次，则 第 二次才 能取 到黄球的 概率 为 . [解析] 记“第一次取到白球”为事件 A, “第二次取到黄球”为事件 B,“第二次才取 到黄球”为事件C,所以 P(C)=P(AB)= P(A)P(B|A)=40×6=5 4巧[答案] Ⅱ误区警示|Ⅱ⋯ (1)解答这类题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义， 而误认为P(C)=P(B|A)=g=3. (2)P(AB)表示 A与B同时发生的概率；而 P(B|A)表示在事件 A已经发生的条件下事件B发生 的概率。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)已知 P(AB)=0.12,下列说法正确 的是 ( ) A.若P(A|B)=0.2,则P(A)=0.6 B.若P(A|B)=0.2,则 P(B)=0.6 C.若P(A)=0.3,则 P(B|A)=0.4 D.若P(A)=0.3,则 P(A|B)=0.4 2.若P(A)=a,则 P(AB)的取值范围是( ) B.(0,a)A.(a,1) C.(a,十α) D.(0,1) 3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命 中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况 下，甲、乙同时击中目标的概率为( ) c.B.2A.44 D.25 4.开元通宝是我国唐代的一 种货币，向如图所示的开 元通宝上任意投掷一粒芝 麻，第一次投进方空的概 率约为0.5,在第一次投进 方空的条件下第二次也投进方空的概率约 为0.3,则这样连续两次都可把芝麻投进方 空的概率是 提示、请完成《素能提升训练》训练十 7.1.2 全概率公式 AI伊学险手 在峡答证 露 金面 学习任务_ 1.理解全概率公式及其推导过程.(重点) 2.结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率.(重点，难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 全概率公式 一般地，设 A?,A2,⋯,A,是一组两两互斥的 事件，A?UA?U⋯UA,=2,用P(A;)>0, i=1,2,⋯,n,则对任意的事件 BSΩ,有 P(B)=2P(A?)P(B|A?).我们称上面的公 式为全概率公式.全概率公式是概率论中最 基本的公式之一. 知识点二 贝叶斯公式 1.设 A?,A2,⋯, A,是一组两两互斥的事件， A?UA?U⋯UA,=2,且 P(A;)>0,i=1,2, ⋯,n,则对任意的事件 BS2,P(B)>0,有 PalB-PADPA i=1,2,⋯,n. 39 ?高中数学·选择性必修 第三册 2.在贝叶斯公式中，P(A)和 P(A;|B)分别称 为先验概率和后验概率. 试一试 1.若P(B)=0.5,P(BA)=0.02,则P(BA)= ( ) A.0.52 B.0.48 C.0.01 D.0.2 2.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是 白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球，取 后不放回，则第二人取得黄球的概率为( ) A.3 B.49 c.9 D.5 3.(福建福州质检)利率变化是影响某金融产 品价格的重要因素，经分析师分析，最近利 率下调的概率为60利率不变的概率是 40根据经验，在利率下调的情况下该金 融产品价格上涨的概率为80在利率不变 的情况下价格上涨的概率为40则该金融 产品价格上涨的概率为 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 全概率公式的简单应用 [例1](1)已知 P(A)=0.4,P(B|A)=0.6, 求P(AB). 个来用，求第二次取出的3个球均为新球的 概率. (2)已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.4,P(B|A)= 0.1,求P(B)和 P(A|B). -IⅡ规律方法|Ⅱ--- 应用全概率公式计算事件的概率时应注意： (1)要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事 件，然后利用互斥事件的性质计算概率； (2)题目没有给出明确概率的大小时，要结合排列 组合知识和古典概型计算各事件的概率； (3)注意乘法公式和全概率公式的区别，乘法公式 是求“几个事件发生”的概率；全概率公式是求“最后结 果”的概率. 规律方法|Ⅱ-⋯⋯ 解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各 事件间的关系： (1)P(A)=P(AB)+P(AB); (2)P(AB)=P(A)P(B|A); (3)P(A)=1-P(A). 跟踪训练 1.已知 P(A)=0.9,P(B|A)=0.6,P(B|A) =0.4,求P(B),P(A|B). 跟踪训练 2.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击 中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人 击中而击落的概率是0.2,被两人击中而击 落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被 击落，求飞机被击落的概率. 探究二 全概率公式的实际应用 [例2] 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新 的，3个是旧的.第一次比赛时，从中任意取 出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用 后成了旧球).第二次比赛时再从盒中取出3 探究三 贝叶斯公式的应用 [例3] 已知某地居民肝癌的发病率为0.0004. 通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一 个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出 错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概 率为0.01,未患有肝癌但检测显示有肝癌的 40 第七章 随机变量及其分布 概率为0.05.目前情况下，肝癌的致死率比 较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有 人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发 现肝癌患者.这个主张是否合适? I规律方法|Ⅱ- 贝叶斯公式的应用条件：若随机试验可以分两个 阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知， 那么: (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概 率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求 的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一 般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.熟记这个特征， 在遇到相关的题目时，可以准确地选择相应的方法进 行求解，保证解题正确、高效. 跟踪训练 3.(1)(湖北质量检测)某货车为乡村小学运送 书籍，共10箱，其中 5箱英语书、2 箱数学 书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意 打开2 箱，结果都是英语书，则丢失的一箱 ( )也是英语书的概率为 A. B.g c. D.5 (2)(天津塘沽月考)已知某人从甲地到乙 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 0.2, 0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.4,乘轮船 迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为 0.5,则这个人迟到的概率是 ;如果 这个人迟 到了，那么他乘轮 船 的 概率 是 . 易错 混淆条件概率中的条件致误 警示 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试[典例] 验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的 概率为0.95;非肝炎病人的试验呈阴性的概 率为0.95.对自然人群进行普查的结果为： 有千分之五的人患有肝炎.现有某人做此试 验，结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为 多少? [解] 设 A=“某人患有肝炎”,B=“某人做 此试验结果为阳性”, 则由已知条件有 P(B|A)=0.95,P(B|A) =0.95,P(A)=0.005, 从而P(A)=1-P(A)=0.995,P(B|A)= 1-P(B|A)=0.05.由贝叶斯公式，有 P(A|B)=P(A)P(B(A)+P(A)P(BA =0.005×0.950.995×0.05≈0.087. 误区警示|l-- 本题的结果表明，虽然 P(B|A)=0.95,P(B|A) =0.95,这两个概率都很高，但是，做此试验结果为阳 性的人患有肝炎的概率只有 8.7如果不注意这一 点，将P(A|B)和P(B|A)搞混，将会得出错误诊断，造 成不良的后果. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)下列公式正确的是 ( ) A.P(A)=P(BA)+P(BA) B.P(B)=P(BA)+P(BA) C.P(A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) D.P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 2.已知 P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|A) =0.2,则P(A)= ( ) A.1 B. C.0.33 D.0.1 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比 为2:1,货车中途停车修理的概率为0.02, 客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理， 则该汽车是货车的概率为 . 4.(浙江温州期中联考)已知某次数学期末试 卷中有 8道4 选1的单选题，学生小王能完 整做对其中5道题，剩下的3 道题中，有2 道 题有思路，1道题完全没有思路.若有思路的 314题做对的概率为 ,完全没有思路的题从4 个选项中随机选一个答案，则小王从这8道 题中任选1 题且能够做对的概率为 提示、请完成《素能提升训练》训练十一 41 4.解析 设 A,表示第i次把芝麻投进方空，i=1,2,则由 已知可得P(A?)=0.5, P(A?|A?)=0.3,因此由乘法公式可得P(A?A?)= P(A?)P(A?|A?)=0.5×0.3=0.15, 即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15. 答案 0.15 7.1.2 全概率公式 【自主学习探新知】 试一试 1.B P(BA)=P(B)-P(BA)=0.5-0.02=0.48. 2.D 设 A=“第一个人取得黄球”,B=“第二个人取得黄 球”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=号× 49+号×20=号. 3.解析 记事件 A为“利率下调”,则事件A为“利率不 变”,记事件 B为“金融产品价格上涨”.根据题意有 P(A)=60?(A)=40?(B|A)=80?(B|A)= 40因为P(B)=P(ABUAB),所以P(B)=P(A) P(B|A)+P(A)P(B|A)=60?80?0?40% =64%. 因此该金融产品价格上涨的概率为64%. 答案 64% 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)因为P(A)=0.4,所以P(A)=0.6, P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.6=0.36, P(AB)=P(A)-P(AB)=0.6-0.36=0.24. (2)由题意可知，P(A)=1-0.8=0.2,所以 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.8×0.4+ 0.2×0.1=0.34, P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.4=0.32, 所以P(A|B)=P(B)=0.34=16. [跟踪训练] 1.解 由题意可得P(A)=1-P(A)=0.1, P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.1×0.6+ 0.9×0.4=0.42. P(AB)=P(A)P(B|A)=0.1×0.6=0.06,所以P(A|B)= PAB)=0.42=1. 探究二 [例2] [解] 设A表示第二次取出3个球均为新球，B 为第一次取出3球中有i个新球，i=0,1,2,3,则 P(B)==220,P(B)=CC=20,P(B?)=GC =28,P(B)=C=240 P(AIB)=G=2,P(A|B)=c=26,P(A|B) --20,P(AIB)=G=220,所以 P(A)= 2P(B)P(A|B)≈0.1458. [跟踪训练] 2.解 设事件 A为飞机被击落，B,为飞机被i人击落，i= 1,2,3,所以 P(A|B?)=0.2,P(A|B?)=0.6,P(A|B?) =1,且A=B?A+B?A+B?A. 设 H 表示飞机被第i人击落，i=1,2,3, 可得P(B?)=P(H?H?H?+H?H?H?+H?H?H?)= 0.36, P(B?)=P(H?H?H?+H?H?H?+H?H?H?)=0.41, P(B?)=P(H?H?Hg)=0.14, 由全概率公式可得P(A)=P(B?)P(A|B?)+P(B?) P(A|B?)+P(B?)P(A|B?)=0.36×0.2+0.41×0.6 十0.14×1=0.458, 即飞机被击落的概率为0.458. 探究三 [例3] [解] 上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来 的概率为99然而，普查的主张是否合适，主要取决于检 测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率.设A表 示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则 P(A)= 0.000 4,P(B|A)=0.01,P(B|A)=0.05,从而有P(A) =1-P(A)=1-0.0004=0.999 6,P(B|A)=1- P(B|A)=1-0.01=0.99.根据贝叶斯公式，则检测显 示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 P(AlB)=p(A)P(B(A)+P(A)P(BIA =0.0004×0.99+0.996×0.05≈0.0079. 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的 概率还不到0.8也就是说，如果进行普查的话，在现 有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个 人是真正患有肝癌的，从这个意义上来说，进行普查并 不是一个好主意. [跟踪训练] 3.(1)B 用A表示“丢失一箱后任取2 箱都是英语书”, B,表示“丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、 P(A)=2P(BA)数学书、语文书”,由全概率公式，得 P(A|B)=2×+号×9+3×C=?..由贝叶斯 公XPAA)-Rapra3- 故选B. (2)解析 用事件A,B,C分别表示“这个人乘火车、轮 船、飞机”,用事件 D表示“这个人迟到”,则 P(A)= 0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.4,P(D|B) =0.3,P(D|C)=0.5,所以P(D)=P(A)P(D|A)+ P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.4+0.4×0.3 +0.4×0.5=0.4.由贝叶斯公式，得P(B|D)= P(BPPDDIB)=0.4.×40.3=0.3. 答案 0.4 0.3 【随堂巩固促应用】 1.BD 由互斥事件概率的加法公式可知选项 B正确，由 全概率公式可知选项D正确。 14 2.A 由P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)可得0.3 =P(A)×0.9+[1-P(A)]×0.2, 解得P(A)=7. 3.解析 设B表示一辆汽车中途停车修理，A?表示该车 是货车，A?表示该车是客车，则 P(B|A?)=0.02, P(B|A?)=0.01,P(A?)=3,P(A?)=3,则 B=A?B UA?B,由贝叶斯公式有 P(A? IB)=P(A)P(BA)+P(A2)P(BIA)= ×+-×- 答案 0.8 4.解析 设“小王从 8道题中任选1题且能够做对”为事 件A,“选到能完整做对的题”为事件 B,“选到有思路的 题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件 D,则 P(B)=5,P(C)=8=4,P(D)=g,P(A|B)=1, P(A|C)=3,P(A|D)=4,所以P(A)=P(B)P(A|B) +P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=5×1+4×4+ 8×4=32 23答案 7.2 离散型随机变量及其分布列 第1课时 离散型随机变量 【自主学习探新知】 试一试 1.(1)× (2)提示 取值是有限个或可以一一列举的随 机变量才是离散型随机变量。 答案 × (3)提示 离散型随机变量一定是某个区间内有限个或 可以一一列举的值。 答案 × 2.B 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完 后，才取得白球，故 X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7. 3.AB A,B中的随机变量的取值是整数值，是可以列举 的，是离散型随机变量，C,D中的随机变量的取值是连 续的实数值，是不能一一列举的，不是离散型随机变量， 故选 AB. 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)被抽取卡片的号数可能是1,2,⋯,10, 出现哪种结果是随机的，是随机变量。 (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7, 8,9,10,11,12,共11种情况，出现哪种情况都是随机 的，因此是随机变量. (3)正方体的棱长为定值，不是随机变量。 [跟踪训练] 1.解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1, ⋯,10,而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数 是随机变量. (2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5 点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出 现的点数是随机变量. (3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变 化而变化，因此属相不是随机变量. 探究二 [例2] CD 对于 A,被取出的卡片的号码可能是1,2, 3,⋯,10,共有10个值，是随机变化的，符合离散型随机 变量的定义；对于 B,从10个球中任取3个球，所含白 球的个数有 0,1,2,3,共有4个值，是随机变化的，符合 离散型随机变量的定义；对于C,所选树木的高度是随 机变化的，它可以取(0,30)内的任意一个值，无法一一 列出，不是离散型随机变量；对于D,实际测量值与规定 值之间的差值是随机变化的，它的可能取值布满了某个 区间，无法一一列出，不是离散型随机变量，故选CD. [跟踪训练] 2.C ①中进球的次数可能为0,1,2,3,4,5,可以一一列 举出来；②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0 表示不中，则也可以一一列举出来；④中所取3件产品 的合格品数可能为0,1,2,3,共4种情况，可以一一列举 出来；③中学生到校时间可以是12:00到12:30中的任 意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变 量，故只有①②④满足. 探究三 [例3] [解](1)设所需的取球次数为X,则 X=1,2,3, 4,⋯,10,11.X=1表示第1次就取到白球，X=i表示 前(i—1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i= 2,3,4,⋯,11. (2)设所取卡片上的数字之和为 X,则 X=3,4,5, ⋯,11. X=3表示“取出标有1,2的两张卡片”; X=4表示“取出标有1,3的两张卡片”; X=5表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; X=6表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”; X=7表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”; X=8表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”; X=9表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”; X=10表示“取出标有4,6的两张卡片”; X=11表示“取出标有5,6的两张卡片”. [变式训练] 解 Y的所有可能取值有：1,2,3,4,5. Y=4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”. [跟踪训练] 3.解析 根据题意可知 X的可能取值为3,4,5,6,其中当 X=4 时，表示取得的一球编号为 4,另两个球从1,2,3 中选取，有C=3(种). 答案 3,4,5,6 3 【随堂巩固促应用】 1.C 选项 A,B是随机事件.选项D取到球的个数是定值 2.选项C可能的取值为0,1,2,可以用随机变量表示. 故选C. 2.B 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果， 相应得分为300分，100分，—100分，—300分，因此甲 回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个. 3.C 由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量 15