7.3.2 离散型随机变量的方差(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量的方差 [学习任务] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念,掌握方差的性质.（重点） 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.（难点） [对应学生用书第51页] 知识点一　离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 　　考虑X所有可能取值xi与E（X）的偏差的平方（x1－E（X））2,（x2－E（X））2,…,（xn－E（X））2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E（X）的偏离程度,我们称 D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi 为随机变量X的方差,有时也记为Var（X）,并称为随机变量X的标准差,记为σ（X）. 知识点二　几个常见的结论 （1）D（aX＋b）＝a2D（X）. （2）若X服从两点分布,则D（X）＝p（1－p）. 1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E（X甲）＝E（X乙）,方差分别为D（X甲）＝11,D（X乙）＝3.4.由此可以估计 （　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　D（X甲）＞D（X乙）,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 答案　B 2.（多选）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列式子正确的是 （　　） A.E（X）＝－　　　　 B.D（X）＝ C.P（X＝0）＝ D.P（X≥0）＝ 解析　由分布列可知,E（X）＝（－1）×＋0×＋1×＝－,故A正确；D（X）＝×＋×＋×＝,故B不正确,CD显然正确. 答案　ACD 3．小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮三次后的总分数为随机变量ξ，则D(|ξ|)为________． 解析　根据题意，ξ的可能取值为－3，－1，1，3，P(ξ＝－3)＝C×＝，P(ξ＝－1)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，则P(|ξ|＝1)＝＋＝，P(|ξ|＝3)＝＋＝，所以E(|ξ|)＝3×＋1×＝，所以D(|ξ|)＝×＋×＝. 答案　 [对应学生用书第51页] 探究一　求离散型随机变量的方差 [例1]　设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D（X）＝ （　　） A.　 　B. C. [解析]　由题意知,E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝, 故D（X）＝×＋×＋×＋×＝. [答案]　C 　　求离散型随机变量X的方差的步骤 （1）理解X的意义,写出X可能取的全部值； （2）求X取各个值的概率,写出分布列； （3）根据分布列,由期望的定义求出E（X）； （4）根据公式计算方差. 1.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 且E（X）＝1.1,则D（X）＝　　　　.  解析　由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E（X）＝0×＋1×＋x×＝1.1,解得x＝2.所以D（X）＝（0－1.1）2×＋（1－1.1）2×＋（2－1.1）2×＝0.49. 答案　0.49 探究二　方差的性质（一题多变） [例2]　已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E（X）＝,则： （1）求D（X）的值； （2）若Y＝3X－2,求的值. [解]　由分布列的性质,得＋＋p＝1,解得p＝. ∵E（X）＝0×＋1×＋x＝,∴x＝2. （1）D（X）＝×＋×＋×＝＝. （2）∵Y＝3X－2,∴D（Y）＝D（3X－2）＝9D（X）＝5, ∴＝. （变条件）若例2（2）中“Y＝3X－2”改为：“Y＝2X＋1”,求的值. 解　因为Y＝2X＋1,所以D（Y）＝D（2X＋1）＝4D（X）＝,所以＝. 　　方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D（X）＝E（X2）－[E（X）]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D（aX＋b）＝a2D（X）. 2.设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2,则D（Y）＝ （　　） A.－ C. 解析　由题意知,E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－,故D（X）＝×＋×＋×＝,D（Y）＝D（2X＋2）＝4D（X）＝4×＝. 答案　D 探究三　方差的实际应用 [例3]　已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. （1）求X,Y的分布列； （2）求X,Y的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. [解]　（1）依题意,0.5＋3a＋a＋0.1＝1, 解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2. ∴X,Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 E（X）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2； E（Y）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7； D（X）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96； D（Y）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21. 由于E（X）＞E（Y）,说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D（X）＜D（Y）,说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定. ∴甲比乙的技术好,故应选拔甲射手. 　　利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. （3）下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 3．(福建南安高三月考)某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种．方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元(含6万元)，可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号．其优惠情况为若摇出3个幸运号打六折，若摇出2个幸运号打七折，若摇出1个幸运号打八折，若没摇出幸运号则不打折． (1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率； (2)若你的朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你的朋友分析一下应选择哪种优惠方案． 解　(1)方案一相当于打九折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则至少需要摇出1个幸运号，设顾客三次都没摇出幸运号为事件A，则P(A)＝××＝，故所求的概率p＝1－(P(A))2＝1－＝. (2)若选择方案一，则需要付款10－0.6＝9.4(万元).若选择方案二，设付款金额为X万元，则X∈{6，7，8，10}，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，P(X＝10)＝，故X的分布列为 X 6 7 8 10 P 所以E(X)＝6×＋7×＋8×＋10×＝7.937 5.因为7.937 5<9.4，所以应选择方案二． 　　　　　　　均值方差概念不熟致误 [典例]　设0＜a＜1,随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在（0,1）内增大时, （　　） A.D（X）增大 B.D（X）减小 C.D（X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大 [错因分析]　研究方差随a变化的增大或减小规律,常用方法就是将方差用参数a表示,应用函数知识求解. [解析]　由分布列可得E（X）＝×0＋×a＋×1＝,D（X）＝×＋×＋×＝a2－a＋,a∈（0,1）.该函数图象的对称轴为直线a＝,且该函数在上单调递减,在上单调递增,所以D（X）先减后增,故选D. [答案]　D [对应学生用书第53页] 1.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝,k＝3,6,9.则D（X）＝ （　　） A.6 B.9 C.3 D.4 解析　E（X）＝3×＋6×＋9×＝6.D（X）＝（3－6）2×＋（6－6）2×＋（9－6）2×＝6. 答案　A 2.已知随机变量ξ的分布列如下表,则ξ的标准差为 （　　） X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B. C.3.2 D. 解析　依题意：0.4＋0.1＋x＝1,∴x＝0.5,∴E（X）＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2,D（X）＝（1－3.2）2×0.4＋（3－3.2）2×0.1＋（5－3.2）2×0.5＝3.56,∴＝. 答案　D 3．(浙江宁波高二月考)随机变量ξ的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)(　　) ξ n n＋1 n＋2 P a b c A.与n有关，有最大值 B．与n有关，有最小值 C．与n无关，有最大值 D．与n无关，有最小值 解析　依题意，a＋c＝2b，a＋b＋c＝1，所以b＝，E(ξ)＝na＋(n＋1)b＋(n＋2)c＝n(a＋b＋c)＋b＋2c＝n＋b＋2c.E(ξ2)＝n2a＋(n＋1)2b＋(n＋2)2c，所以D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝n2a＋(n＋1)2b＋(n＋2)2c－(n＋b＋2c)2＝－4c2＋c＋＝－4＋，所以D(ξ)与n无关，且当c＝时，D(ξ)有最大值.故选C. 答案　C 4.已知X是离散型随机变量,E（X）＝6,D（X）＝0.5,X1＝2X－5,那么E（X1）＝　　　　,D（X1）＝　　　　.  解析　由期望和方差的运算性质知,E（X1）＝E（2X－5）＝2E（X）－5＝7,D（X1）＝D（2X－5）＝22D（X）＝2. 答案　7　2 学科网（北京）股份有限公司 $$