7.4.2 超几何分布(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第七章　随机变量及其分布 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.2　超几何分布 [学习任务] 1.通过具体实例,了解超几何分布.（重点） 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题.（难点） 7.4.2　超几何分布 [对应学生用书第58页] 知识点一　超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件（不放回）,用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P（X＝k）＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r. 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 7.4.2　超几何分布 知识点二　超几何分布的期望 E（X）＝＝np（p为N件产品的次品率）. 7.4.2　超几何分布 1.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为（　　） A. C. D. 7.4.2　超几何分布 答案　D 解析　取出的红球个数服从参数为N＝100,M＝80,n＝10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为. 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 3.在含有5名男生的100名学生中,任选3人,则恰有2名男生的概率表达式为 　　　　⁠.  解析　由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为. 答案　 7.4.2　超几何分布 [对应学生用书第58页] 探究一　超几何分布（一题多变） [例1]　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3；黑球有2个,编号为1,2；白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. （1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率； [解]　（1）从袋中一次随机抽取3个球,基本事件总数n＝＝20,取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为＝6, 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝. 7.4.2　超几何分布 （2）记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. [解]　（2）由题意知X＝0,1,2,3, P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 7.4.2　超几何分布 X 0 1 2 3 P 7.4.2　超几何分布 1.（变结论）例1的条件不变,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列. 解　由题意可知η＝0,1,服从两点分布.又P（η＝1）＝＝,所以η的分布列为 η 0 1 P 7.4.2　超几何分布 2.把例1的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何？ 解　 （2）由题意知X＝0,1,2,3. P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝. P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 7.4.2　超几何分布 X 0 1 2 3 P 7.4.2　超几何分布 　　超几何分布的求解步骤 （1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”“优劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. （2）算概率：可以直接借助公式P（X＝k）＝求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. （3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 　　　　　　 对超几何分布的概念理解不透致错 [典例]　一盒中装有12个零件,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品后就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数X的分布列. [错解]　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3. 7.4.2　超几何分布 P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7.4.2　超几何分布 [错因分析]　本题易错认为X服从超几何分布,从而得到错误的分布列,产生错误的原因是未理解超几何分布的概念.本题是不放回抽取,属于排列问题,而超几何分布是一次性抽取若干件产品,属于组合问题. [正解]　由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,3. P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝, 7.4.2　超几何分布 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7.4.2　超几何分布 [对应学生用书第61页] 1.一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则恰好取到1件次品的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析　由题意知10件产品中有2件次品,故所求概率为P（X＝1）＝＝. 答案　B 7.4.2　超几何分布 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A的概率为（　　） A. B. C.1－ D. 7.4.2　超几何分布 答案　D 解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数,则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 7.4.2　超几何分布 4.一个袋中装有10个红色球、20个白色球,现从中任取5个小球,令随机变量X表示取出的5个小球中红色球的个数,随机变量Y表示取出的5个小球中白色球的个数,试问：随机变量X,Y是否服从超几何分布？若服从超几何分布,它们的参数分别是多少？ 解　根据超几何分布的定义可知,随机变量X服从参数为N＝30,M＝10,n＝5的超几何分布, 随机变量Y服从参数为N＝30,M＝10,n＝5的超几何分布. 7.4.2　超几何分布 知识点二　超几何分布的期望 2．(江西南昌高二月考)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则均值E(X)为(　　) A． eq \f(4,5) B． eq \f(9,10) C．1 D． eq \f(6,5) 解析　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,5) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) ，∴E(X)＝0× eq \f(1,10) ＋1× eq \f(3,5) ＋2× eq \f(3,10) ＝ eq \f(6,5) .故选D. 答案　D 探究二　与超几何分布有关的分布 列、均值和方差问题 [例2]　(上海崇明高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)所选3人中女生的人数X≤1的概率； (2)X的均值与方差． [解]　(1)由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ＋ eq \f(3,5) ＝ eq \f(4,5) .故所选3人中女生的人数X≤1的概率为 eq \f(4,5) . (2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2.∵P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ) ＝ eq \f(3,5) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ，∴X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) ∴均值E(X)＝0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(3,5) ＋2× eq \f(1,5) ＝1，方差D(X)＝(0－1)2× eq \f(1,5) ＋(1－1)2× eq \f(3,5) ＋(2－1)2× eq \f(1,5) ＝ eq \f(2,5) . 解决与超几何分布有关的分布列、均值问题的策略 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中参数的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； (2)在超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列； (3)解决与超几何分布有关的均值问题，可利用均值的定义，也可直接套用公式E(X)＝np＝ eq \f(nM,N) 求解． 本题还可以直接利用公式计算，即E(X)＝ eq \f(nM,N) ＝ eq \f(3×2,6) ＝1，D(X)＝np(1－p) eq \f(N－n,N－1) ＝3× eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \f(6－3,6－1) ＝ eq \f(2,5) . 1．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内 7个人口超过1 500万的超大城市和n(n∈N＋ ) 个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为 eq \f(4,15) . (1)求n的值； (2)若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为X ，求X的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率． 解　(1)由题意知，共(n＋7)个城市，取出2个的方法总数是 C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋7)) ，其中全是小城市的情况有C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) 种，故全是小城市的概率是eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋7)) ) ＝ eq \f(n（n－1）,（n＋7）（n＋6）) ＝ eq \f(4,15) ，整理得11n2－67n－168＝0，即(11n＋21)(n－8)＝0.∵n ∈N＋，∴n＝8. (2)①由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(15)) ) ＝ eq \f(1,39) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(15)) ) ＝ eq \f(8,39) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(15)) ) ＝ eq \f(28,65) ，P(X＝3)＝eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(15)) ) ＝ eq \f(56,195) ，P(X＝4)＝eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(15)) ) ＝ eq \f(2,39) . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,39) eq \f(8,39) eq \f(28,65) eq \f(56,195) eq \f(2,39) ②若4个城市全是超大城市，共有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) ＝35种情况；若4个城市全是小城市，共有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) ＝70种情况，故全为超大城市的概率为eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) ＋C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) ) ＝ eq \f(35,70＋35) ＝ eq \f(1,3) . 探究三　超几何分布的综合应用 [例3]　(江西赣州高二期末)三门县是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区．所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉，且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”．养殖户一般把重量超过350 g的青蟹标记为A类青蟹． (1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用ξ表示其中A类青蟹的只数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E(ξ)； (2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x只，若x＝5，试给出蟹池中青蟹数目N的估计值(以使P(x＝5)取得最大值的N为估计值). [解]　(1)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(43)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)) ) ＝ eq \f(129,175) ，P(ξ＝1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(43)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)) ) ＝ eq \f(43,175) ，P(ξ＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)) ) ＝ eq \f(3,175) ，则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P eq \f(129,175) eq \f(43,175) eq \f(3,175) 故E(ξ)＝0× eq \f(129,175) ＋1× eq \f(43,175) ＋2× eq \f(3,175) ＝ eq \f(7,25) . (2)设f(N)＝P(x＝5)＝eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(50)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(15),\s\do1(N－50)) ,C eq \o\al(\s\up1(20),\s\do1(N)) ) .令 eq \f(f（N＋1）,f（N）) ＝ eq \f(（N－49）（N－19）,（N－64）（N＋1）) ＝ eq \f(N2－68N＋931,N2－63N－64) ≥1，解得N≤199.所以当N≤199时，f(N＋1)≥f(N)，当N＞199时，f(N＋1)＜f(N)，即当N＝199或N＝200时，P(x＝5)最大．故估计蟹池中青蟹数目为199或200. 超几何分布的综合问题一般是将排列、组合、古典概型、分布列等知识融于一体，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率之间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化． 2．为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数X的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 解　(1)由题意，得甲每批次被抽到的概率为 eq \f(2,5) ，则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率P＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(2) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(36,125) . (2)X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,5) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) .所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,10) eq \f(3,5) eq \f(3,10) (3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(37,100) ，P(ξ＝1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(27,50) ，P(ξ＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ·0＝ eq \f(9,100) .因为P(ξ＝1)>P(ξ＝0)>P(ξ＝2)，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1. 3．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________． 解析　方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)) eq \f(C·C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(1,15) .所以E(X)＝0× eq \f(7,15) ＋1× eq \f(7,15) ＋2× eq \f(1,15) ＝ eq \f(3,5) . 方法二：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式知E(X)＝ eq \f(nM,N) ＝ eq \f(2×3,10) ＝ eq \f(3,5) . 答案　 eq \f(3,5) $$