7.4 二项分布与超几何分布(培优课)(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第七章　随机变量及其分布 7.4　二项分布与超几何分布 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [对应学生用书第61页] 知识点　 1.二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时（如有放回摸球）,X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时（如不放回摸球）,X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似转化成二项分布 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 2.超几何分布列的求解步骤 （1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”,“优、劣”等,或可转化为明显的两部分,具有该特征的概率模型为超几何分布模型. （2）算概率：可以直接借助公式P（X＝k）＝求解,也可以利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数N,M,n,k的含义. （3）列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 3.独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 （1）在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率. （2）根据独立重复试验求二项分布的有关问题时,关键是理清事件与事件之间的关系,确定二项分布的试验次数n和随机变量的取值,求得概率. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 4.与二项分布有关的期望、方差的求法 （1）求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B（n,p）,则用公式E（ξ）＝np,D（ξ）＝np（1－p）求解,可大大减少计算量. （2）有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b）,同样还可求出D（aξ＋b）. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [对应学生用书第62页] 类型一　超几何分布 [例1]　在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [解]　（1）所选5人中有1人为A1且不包含B1,即再从余下8人中选4人即可,选择方式有＝＝70种,总选择方式共有＝＝252（种）,故接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率P＝＝. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列. [解]　（2）由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝,P（X＝2）＝＝, P（X＝3）＝＝,P（X＝4）＝＝. 因此X的分布列为 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) X 0 1 2 3 4 P 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 类型二　独立重复试验与二项分布 [例2]　（1）设随机变量X～B,则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（　　） A. C. D. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [解析]　因为函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点,所以Δ＝16－4X≥0,所以X≤4.因为X～B, 所以P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝. [答案]　C 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （2）在一次数学考试中,第22,23,24题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题,设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为,每位考生对每题的选择是相互独立的,各考生的选择相互之间没有影响. ①求其中甲、乙两人选做同一题的概率； 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) ②设选做第23题的人数为ξ,求ξ的分布列. [解]　①设A1＝“甲选第22题”,A2＝“甲选第23题”,A3＝“甲选第24题”, B1＝“乙选第22题”,B2＝“乙选第23题”,B3＝“乙选第24题”, 则甲、乙两人选做同一题的事件为A1B1＋A2B2＋A3B3,且A1与B1,A2与B2,A3与B3相互独立,所以P（A1B1＋A2B2＋A3B3）＝P（A1）P（B1）＋P（A2）P（B2）＋P（A3）P（B3）＝3×＝. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) ②设ξ可能的取值为0,1,2,3,4,5. 因为ξ～B,所以P（ξ＝k）＝＝·,k＝0,1,2,3,4,5. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 2.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克）,按照[27.5,32.5）,[32.5,37.5）,[37.5,42.5）,[42.5,47.5）,[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （1）求图中a的值； 解　（1）组距d＝5,由5×（0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015）＝1,得a＝0.05. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （2）估计这种植物果实重量的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； 解　（2）各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 ＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40, s2＝（－10）2×0.1＋（－5）2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E（X）. 解　（3）由已知,这种植物果实的优质率p＝0.9, 且X～B（3,0.9）, 所以P（X＝0）＝0.13＝0.001, P（X＝1）＝×0.9×0.12＝0.027, P（X＝2）＝×0.92×0.1＝0.243, P（X＝3）＝0.93＝0.729, 所以X的分布列为 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 E（X）＝3×0.9＝2.7. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 类型三　二项分布的均值与方差 [例3]　为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时,按0.12元/分计费；超过40分时,超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15公里,每天租用该款汽车上下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间t（分）是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 时间t（分） （20,30] （30,40] （40,50] （50,60] 频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为（20,60]分. （1）写出王先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式； 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [解]　（1）当20＜t≤40时,y＝0.12t＋15, 当40＜t≤60时, y＝0.12×40＋0.20×（t－40）＋15＝0.2t＋11.8, 所以y＝ 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) [解]　（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车, 为“路段畅通”的概率P＝＝. ξ可取0,1,2,3. （2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”,设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求ξ的分布列和期望； 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) P（ξ＝0）＝＝, P（ξ＝1）＝＝, P（ξ＝2）＝＝, P（ξ＝3）＝＝. ξ的分布列为 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) ξ 0 1 2 3 P E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) （3）若公司每月给1 000元的车补,请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.（同一时段,用该区间的中点值作代表） [解]　（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班,平均用车费用为（25×0.12＋15）×＋（35×0.12＋15）×＋（45×0.2＋11.8）×＋（55×0.2＋11.8）×＝20.512（元）,一个月上下班租车费用约为20.512×2×22＝902.528（元）＜1000（元）.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 3.电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告：高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供您选择（其中有1种为草莓口味）.小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖）. （1）小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种？ 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 解　（1）若三瓶口味均不一样,有＝56（种）； 若其中两瓶口味一样,有＝56（种）； 若三瓶口味一样,有8种. 故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120（种）. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 解　（2）ξ所有可能的取值为0,1,2,3. 因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为,即随机变量ξ服从二项分布,即 ξ～B. （2）小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 所以P（ξ＝0）＝××＝, P（ξ＝1）＝××＝, P（ξ＝2）＝××＝, P（ξ＝3）＝××＝. 所以ξ的分布列为 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) ξ 0 1 2 3 P 数学期望E（ξ）＝np＝3×＝, 方差D（ξ）＝np（1－p）＝3××＝. 7.4　二项分布与超几何分布(培优课) 类型一　超几何分布 1．某校为推进“科技进校园”活动，组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，根据得到的竞赛成绩作出如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[75，80)内的学生有20人． (1)求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数(结果保留一位小数)； (2)从成绩在[65，70)与[95，100)内的学生中任取3人进行问卷调查，记这3名学生成绩在[95，100)内的人数为X，求X的分布列与数学期望． 解　(1)已知成绩在[75，80)内的学生有20人，故其频率为 eq \f(20,100) ＝0.2，所以b＝ eq \f(0.2,5) ＝0.040.所以(0.006＋0.034＋0.040＋a＋0.036＋0.014＋0.010)×5＝1，解得a＝0.060.由题图可知左边第一个矩形的面积为0.03，第二个矩形的面积为0.17，第三个矩形的面积为0.2，第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在[80，85)内，设中位数为x，则0.03＋0.17＋0.2＋(x－80)×0.060＝0.5，解得x≈81.7，故中位数约为81.7. (2)由题意知，成绩在[65，70)内的学生有3人，成绩在[95，100)内的学生有5人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(1,56) ，P(X＝1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(15,56) ，P(X＝2)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(30,56) ＝ eq \f(15,28) ，P(X＝3)＝eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) ) ＝ eq \f(10,56) ＝ eq \f(5,28) ，故X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,56) eq \f(15,56) eq \f(15,28) eq \f(5,28) 所以E(X)＝0× eq \f(1,56) ＋1× eq \f(15,56) ＋2× eq \f(15,28) ＋3× eq \f(5,28) ＝ eq \f(15,8) . $$