6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 [学习任务] 1.进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂色（种植）等实际问题. 第2课时　两个计数原理的综合应用 [对应学生用书第5页] 知识点　两个计数原理的区别与联系 　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事（每步中的一种方法不能独立完成这件事） 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 第2课时　两个计数原理的综合应用 1.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有 （　　） A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 解析　不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙,有2种方法；若选甲、丙,有1种方法；若选乙、丙,有1种方法.根据分类加法计数原理知,不同的选派方法有2＋1＋1＝4（种）. 答案　C 第2课时　两个计数原理的综合应用 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每项限报1人,则这3名学生的参赛的不同方法有（　　） A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 解析　由于每班每项限报1人,故当前面的学生报了某项之后,后面的学生不能再报,由分步乘法计数原理,共有4×3×2＝24种不同的参赛方法. 答案　A 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 [对应学生用书第5页] 探究一　两个计数原理在排数中的应用 [例1]　用0,1,2,3,4五个数字, （1）可以排成多少个三位数字的电话号码？ [解]　（1）三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5＝53＝125种,即可以排成125个三位数字的电话号码. 第2课时　两个计数原理的综合应用 （2）可以排成多少个三位数？ [解]　（2）三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5＝100种,即可以排成100个三位数. 第2课时　两个计数原理的综合应用 （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解]　（3）被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3＝18种排法.因而有12＋18＝30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 第2课时　两个计数原理的综合应用 （变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步：第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法；第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个,有3种方法；第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）. 第2课时　两个计数原理的综合应用 对于组数问题,应掌握以下原则 （1）明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位）分类,分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成,如果正面分类较多,可采用间接法求解. （2）要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 探究二　选取与分配问题 [例2]　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有 （　　） A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解析]　方法一（直接法）：以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类： 第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况； 第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的一个班级去另外三个工厂,其分配方案共有3×3＝9（种）； 第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3＝27（种）. 综上所述,不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）. 第2课时　两个计数原理的综合应用 方法二（间接法）：先计算三个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4－3×3×3＝37种方案. [答案]　C 第2课时　两个计数原理的综合应用 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法等. （2）当涉及对象数目很大时,一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法：去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 探究三　涂色与种植问题 [例3]　（1）如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂法种数为 （　　） A.280 B.180 C.96 D.60 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解析]　按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色,故D区域也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3＝180种涂法. [答案]　B 第2课时　两个计数原理的综合应用 （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有 　　　　⁠种.  [解析]　分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c. 第2课时　两个计数原理的综合应用 （1）若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法,共有2×2＝4种方法. （2）若第三块田放a： a b a 第四块有b或c两种方法, 第2课时　两个计数原理的综合应用 ①若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； ②若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c,共1种方法. 综上,共有3×2×（2×2＋2＋1）＝42种方法. [答案]　42 第2课时　两个计数原理的综合应用 解决涂色（种植）问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有以下几种常用方法： （1）按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析. （2）以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析. （3）将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. 种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数. 第2课时　两个计数原理的综合应用 3.如图所示,要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,有多少种不同的涂色方法？ 第2课时　两个计数原理的综合应用 解　“同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色,分四步. 第1步,涂“同”区域,有3种选择； 第2步,涂“步”区域,有2种选择； 第3步,涂“练”区域,由于它与“同”“步”区域颜色不同,有1种选择； 第4步,涂“测”区域,由于它与“同”“练”区域颜色不同,有1种选择. 所以根据分步乘法计数原理,得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6（种）. 第2课时　两个计数原理的综合应用 　　　　　　 （一）分类计数时考虑不全 [例1]　有红、黄、蓝三种颜色的旗各3面,每次升起1面、2面、3面,旗在旗杆上纵向排列时,分别表示不同的信号,且颜色顺序不同表示的信号也不相同,则可以组成多少种不同的信号？ 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解]　每次升起1面旗可组成3种不同的信号； 每次升起2面旗可组成3×3＝9种不同的信号； 每次升起3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号. 根据分类加法计数原理得,共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号. 第2课时　两个计数原理的综合应用 　　使用分类加法计数原理时,分类的划分标准可以有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则. 第2课时　两个计数原理的综合应用 　　　　　　 （二）两个基本计数原理分辨不清 [例2]　（1）将3名学生随机地编入4个班,所有可能的情况有 （　　） A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 （2）某人从甲地到乙地,可以坐火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3趟,则此人的走法共有 　　　　⁠种.  第2课时　两个计数原理的综合应用 [解析]　（1）每名学生的编入均有4种情况,因此,由分步乘法计数原理可得共有43种情况. （2）因为某人从甲地到乙地,坐火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,根据分类加法计数原理,可得此人的走法有4＋3＝7（种）. [答案]　（1）C　（2）7 第2课时　两个计数原理的综合应用 　　解决计数问题的基本策略是合理地分类和分步,然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算.解决本题容易因标准不清楚导致计算出现错误. 第2课时　两个计数原理的综合应用 [对应学生用书第7页] 1.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为 （　　） A.15 B.12 C.10 D.5 解析　分三类：第1类组成一位整数,偶数有1个；第2类组成两位整数,其中偶数有2个；第3类组成3位整数,其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个. 答案　D 第2课时　两个计数原理的综合应用 2.某新闻采访组由5名记者组成,其中甲、乙、丙、丁为成员,戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自A,B,C,D四个地区,现在该新闻采访组要到A,B,C,D四个地区去采访,在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访,若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同,则所有采访的不同安排方法有 　　　　⁠种.  解析　分两类：①甲、乙、丙、丁都不到自己的地区,组长可任选一地有（3×3×1×1）×4＝36（种）；②甲、乙、丙、丁中只一人到自己的地区,并有组长陪同有（2×1×1）×4＝8（种）,所以不同的安排方法共有36＋8＝44（种）. 答案　44 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 第2课时　两个计数原理的综合应用 4.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有 　　　　⁠种不同的涂色方法.  解析　如图所示,将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法,第2个、第3个小方格涂色可分两类： 1 2 3 4 第2课时　两个计数原理的综合应用 第1类,当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3＝12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180种不同的涂法； 第2类,当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80种不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260种不同的涂法. 答案　260 第2课时　两个计数原理的综合应用 3．将摆放在编号分别为1，2，3，4，5五个位置上的五件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法有________种．(用数字作答) 解析　根据题意，分两步进行分析：第一步：从五件不同商品中选出一件，放到原来的位置上，有5种情况，假设编号为5的位置上放的商品不变；第二步：剩下的四件都不在原来的位置上，即编号分别为1，2，3，4的四个位置上都不放原来的商品，则编号为1的位置有3种放法，假设其放了2号位置原来的商品，则2号位置有3种放法，剩下编号分别为3，4的两个位置只有1种放法，故剩下的四件商品有3×3×1＝9种放法．故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9＝45(种). 答案　45 探究一　两个计数原理在排数中的应用 1．(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 130是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有(　　) A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 (2)(多选)已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有(　　) A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 解析　(1)由题意知，后三位数字之和为4.当某两位数字为0时有004，040，400，共3种情况；当某一位数字为0时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9种情况；当没有数字为0时有112，121，211，共3种情况．所以首位为2的“六合数”共有3＋9＋3＝15(个).故选B. (2)对于A，可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2＝96(个)，A正确；对于B，可以组成有重复数字的四位数4×5×5×5－96＝404(个)，B正确；对于C，若个位数为0，则有4×3×2＝24(个)，若个位数不为0，则有2×3×3×2＝36(个)，所以可以组成无重复数字的四位偶数24＋36＝60(个)，C错误；对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数4×2×5×3＝120(个)，D错误．故选AB. 答案　(1)B　(2)AB 探究二　选取与分配问题 2．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分．若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有________种． 解析　若每个国家都要有物资援助，可分为：粮食和药品都有，有1种援助方案；一个国家粮食，两个国家药品，有3种援助方案；一个国家药品，两个国家粮食，有3种援助方案；两个国家粮食，三个国家药品，有3种援助方案；两个国家药品，三个国家粮食，有3种援助方案；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×(2＋2)＝12种援助方案．故不同的援助方案共有25种． 答案　25 3．(福建福州高二期中)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有________种报名方法.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有________种可能的结果． 解析　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步．又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34＝81种报名方法．要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可能的结果． 答案　81　64 $$