专题9.4 平面向量基本定理（四个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.4 平面向量基本定理 一、基底的判断 三、根据向量基本定理求参数 二、用基底表示向量 四、平面向量基本定理的综合问题 知识点 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 重难点一、基底的判断 1．（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 3．判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 4．下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 . （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 重难点二、用基底表示向量 6．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 8．如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 9．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 10．设为的重心，用向量与的线性组合来表示向量、与． 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 重难点三、根据向量基本定理求参数 11．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 12．所在平面内一点满足：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．在中，点满足，若，则（     ） A． B． C． D． 14．在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 15．在中，设，E为BC中点，与交于点，则 .若，则的值为 . 重难点四、平面向量基本定理的综合问题 16．等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 17．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 18．已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 20．如图，在平行四边形ABCD中，，，，，，    (1)求的值； (2)若，，，求的值． 一、单选题 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，与的交点为G，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．在三角形中，令，，若，，，，则（    ） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 三、填空题 9．已知为等边的中心，若，则 ．（用表示） 10．四边形ABCD中，，且，若，则 ． 11．在中，点在边上，且．点满足．若，，则 . 四、解答题 12．设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 13．如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 14．如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 15．如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.4 平面向量基本定理 一、基底的判断 三、根据向量基本定理求参数 二、用基底表示向量 四、平面向量基本定理的综合问题 知识点 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 重难点一、基底的判断 1．（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 2．如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【详解】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使的实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 3．判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 【答案】 正确 错误 正确 正确 【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确； 对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误； 对于（3）中，由不共线，且， 根据向量的运算法则，可得，所以（3）正确； 对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确. 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确. 4．下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确； 由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确. 故选：B 5．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为是一组基底， 所以两个向量不共线， 所以. 故答案为：. （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 重难点二、用基底表示向量 6．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 7．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 8．如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 【答案】，， 【详解】因为，，所以，， 所以 ； ； ． 9．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 10．设为的重心，用向量与的线性组合来表示向量、与． 【答案】，， 【详解】如图，为的重心，且，，设、、分别为、、的中点， 则，，所以， 同理可得，， 所以， ， ． 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 重难点三、根据向量基本定理求参数 11．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 【答案】4 【详解】由可得, 四点共面且任意三点不共线，所以， 故， 由于均为正数，所以， 当且仅当，即等号成立， 故答案为：4 12．所在平面内一点满足：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 又，且、不共线， 所以，所以. 故选：B 13．在中，点满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，点满足， 则， 又，所以. 故选：B. 14．在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图:过作，故, 由于，，，不妨设，则， 故， 结合可得，故， 故选：D 15．在中，设，E为BC中点，与交于点，则 .若，则的值为 . 【答案】 / / 【详解】如图： ， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，解得. 故答案为：，. 重难点四、平面向量基本定理的综合问题 16．等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 17．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 18．已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 即， 所以， 因为⊥，所以 ， 解得 故选：A 19．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意，, ∵， ， ∴． （2）设则 ∴， ∴， 显然为增函数，因，故． 20．如图，在平行四边形ABCD中，，，，，，    (1)求的值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 故，； （2）因为， 故 . 一、单选题 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 2．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 3．如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A 4．某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，与的交点为G，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，，设，的交点为H，，的交点为I，由于O是和的中心，所以O在上，H为的中点， 因为O为的重心，所以.由题意得，则, ，即，所以, ，得. 故选：C    5．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 6．在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点是的中点， 所以， 因为在上，故可设，， 所以, 因为点三点共线，所以，得， 即，故， 所以， 两边平方， ， 所以. 故选：B 二、多选题 7．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，， 所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确； 对于B，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确； 对于C，因为，，所以， 所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误； 对于D，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确. 故选：ABD 8．在三角形中，令，，若，，，，则（    ） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 【答案】ABD 【详解】A.设，的夹角为，则，所以，所以A正确； B.因为，，所以，，所以B正确； C.令，则， 因为，不共线，所以，这样的不存在，所以C不正确； D.设D为的中点，则， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知为等边的中心，若，则 ．（用表示） 【答案】 【详解】解：由题可得如图：   是的重心，，O是各边中线的交点， ， ， 又D为的中点，，故： , 所以：， 故答案为：. 10．四边形ABCD中，，且，若，则 ． 【答案】2 【详解】如图，由可得且， 易得,则有 于是,  因， 故得由，解得：. 故答案为：2. 11．在中，点在边上，且．点满足．若，，则 . 【答案】 【详解】由题意可知 ， 所以 ， 所以， 故答案为： 四、解答题 12．设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 13．如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 14．如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）等腰梯形，，，，，， ， 为的中点，， 作，垂足为，因为，， 所以，又，所以， ， ； （2）， 又， 在中， . 15．如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以 ， 所以. 所以 ， 又，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$