精品解析：四川省自贡市中等职业学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

自贡市中等职业学校2022-2023学年高一年级下学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第1卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分. 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 中，，则b等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 函数恒过定点（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 8 设，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，若，则一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形 10. 下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量，则与的方向必不相同； ③，则； ④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．其中正确的有（ ） A. ①⑤ B. ④ C. ⑤ D. ②④ 11. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 12. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳），那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（    ） A. 倍 B. 倍 C. 100倍 D. 1000倍 13. 已知，那么为（ ） A. B. C. D. 14. 将正弦函数图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有2个实根 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答答在试题卷上无效. 2．本部分共2个大题，12个小题．共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知函数，则_______. 17. 已知，且，且__________． 18. 已知是方程的两根，且，则的值等于__________． 19. 已知中，，且，则的面积是__________． 20 已知，则__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21 计算：. 22. 已知是指数函数. （1）求的值； （2）解不等式 23. 在锐角中，，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 24. 如图，已知在中，点M是边上靠近点B四等分点，点N在边上，且，设与相交于点P．记． （1）请用表示向量； （2）若，设的夹角为，若，求证：． 25. 已知函数的部分图象如图． （1）求的解析式； （2）若任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 26. 已知，其中，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间： （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 自贡市中等职业学校2022-2023学年高一年级下学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第1卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分. 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出集合的公共元素即可解得. 【详解】由题， ， 则， 故选：B. 2. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求出半径，再由弧长公式求出圆心角即可. 【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即， 又，故.； 故选：A. 3. 中，，则b等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理列式即可得解. 【详解】因为中，， 由正弦定理，得. 故选：A. 4. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，得到，，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又当时，在第一二象限或轴的正半轴上， 当时，在第二三象限或轴的负半轴上， 综上,在第二象限. 故选：B. 5. 函数恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数性质即可得解. 详解】对于， 令，得，此时， 所以过定点. 故选：B 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数型复合函数的定义域求法列不等式组即可得解. 【详解】对于， 有，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D． 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示求得，再利用向量线性运算与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 则，故， 所以. 故选：A. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知， 所以， . 故选：C. 9. 在中，若，则一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和差的正弦公式即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知， ， 因为为内角，所以， 所以一定是等腰三角形， 故选：. 10. 下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量，则与的方向必不相同； ③，则； ④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．其中正确的有（ ） A. ①⑤ B. ④ C. ⑤ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念逐个分析即可. 【详解】温度有大小，但无方向，故不是向量，故①错误， 对于向量，若，则与不相等，但方向相同，故②错误， 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错误， 单位向量是长度为1个单位的向量，但方向不确定， 故向量与向量不一定共线，故④错误， 方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量方向相反， 所以这两个向量一定平行，故⑤正确， 所以正确的有⑤， 故选：C. 11. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得列方程求解即可. 【详解】已知函数为奇函数， 则有，即， 所以， 故选：B. 12. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳），那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（    ） A. 倍 B. 倍 C. 100倍 D. 1000倍 【答案】D 【解析】 【分析】将震级代入函数式，利用指数幂的运算可解. 【详解】设4级地震释放的能量为，级地震释放的能量为， 所以，， 所以， 即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的倍. 故选：D. 13. 已知，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：C. 14. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图像变化的规则，即可求解析式. 【详解】正弦函数的图象向左平移个单位长度， 根据“左加右减”原则，得到， 将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）时， 根据三角函数伸缩变换规律，将替换为，即， 综上可得，. 故选：B 15. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有2个实根 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可求的关系，从而可得，结合特例可判断A，利用最小正周期公式可判断B，结合的符号可判断C，求出方程在区间上解后可判断D. 【详解】对于A，因为的图象关于直线对称，故， 所以，所以， 所以， 此时，故函数图象关于直线对称， 则， 令， 则，而， 故不是偶函数，故A错误， 对于B，的最小正周期为，故B错误， 对于C，因为的正负无法确定，故在的单调性无法确定，故C错误， 对于D，令，因，则， 因为，故， 故或，即或， 故方程共2个不同的解，故D正确. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答答在试题卷上无效. 2．本部分共2个大题，12个小题．共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量取值范围代值入不同解析式求函数值即可. 【详解】，则； ，则； . 故答案为：. 17. 已知，且，且__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到，再根据二倍角的正切公式求解. 【详解】因为向量和，且， 所以，即， 解得， 即， 故答案为：. 18. 已知是方程的两根，且，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理得到、，再根据两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意知是方程的两根， 所以，， 所以， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 19. 已知中，，且，则的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量的内积公式得到，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】因为，，， 所以， 即，得到， 又，所以， 三角形面积， 故答案为：3. 20. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，即可求解. 【详解】因为， 所以的周期性为， 因为 ， 所以 . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算法则，结合对数的换底公式即可得解. 【详解】 . 22. 已知是指数函数. （1）求的值； （2）解不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义列式求解即可； （2）结合（1），根据对数函数的单调性与定义域列式求解即可. 【小问1详解】 因为是指数函数， 所以， 解得：或（舍去）； 【小问2详解】 不等式，即为， ∵函数为增函数， ∴要使不等式成立，只需满足， 解得：， 即原不等式的解集为. 23. 在锐角中，，，对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题干条件，利用正弦定理求解即可. （2）结合题干条件，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得 因为，故. 又为锐角三角形，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， ，得 解得：或 的周长为. 24. 如图，已知在中，点M是边上靠近点B的四等分点，点N在边上，且，设与相交于点P．记． （1）请用表示向量； （2）若，设的夹角为，若，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据向量基本加减法的关系，结合等分点和中点的坐标，即可求解. （2）根据向量垂直的基本性质，结合向量的内积，即可求解. 小问1详解】 取线段中点D，则有， 因为，即， 因为点M是边上靠近点B的四等分点，即为的中点， 则有； 因为，即N为线段的中点，所以， 所以有. 【小问2详解】 由（1）可得， 故， 因为，且的夹角为，， 则有， 即，所以. 25. 已知函数的部分图象如图． （1）求的解析式； （2）若任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像确定最值得出，由图像确定周期得出，再将点代入解析式求出即可. （2）根据正弦函数单调性确定最值即可确定m的取值范围. 【小问1详解】 由图像可知，函数的最大值为1，最小值为， 所以，且， 则，所以， 解得，所以， 将点代入解析式得，， 即，则， 则，因为， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 设 当时，， 则当，时，单调递增， 当，时，单调递减， 所以，且， ，所以当时，， 则当时，， 则若恒成立，则， 所以，即实数m的取值范围为. 26. 已知，其中，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间： （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的内积运算与坐标表示化简，再由其最小正周期得到的解析式，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解； （2）由题设条件求得，再利用正弦定理的边角变换将转化为关于角的表达式，再利用锐角三角形的性质求得角的范围，结合正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 ， ， 所以 ， 又的最小正周期为，则， 又，则， 所以， 令， 得， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 因为，即， 又是锐角三角形，所以，则， 所以，得， 由正弦定理，可得， 因为是锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，则， 所以，即， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$