1.6.1 余弦定理（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.6.1 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算, 探索三角形边长与角度的关系, 掌握余弦定理 （2）能用余弦定理解决简单的实际问题 （1）掌握余弦定理的内容 （2）掌握余弦定理的变式 （3）能利用余弦定理解决实际问题（难点) 知识点01 余弦定理 1 余弦定理 2 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 【即学即练1】 （23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 知识点02 余弦定理的变形 变形 【即学即练2】 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 知识点03 三角形的判断 · ； · ； · . 【即学即练3】 （23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 【题型一：解已知三边的三角形】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 变式1-1．（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 变式1-2．（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出中等角的大小即可. 【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为24与15， 设长为21的边所对的角为，则最大角与最小角的和是， 由余弦定理可得，， 因为， 则最大角与最小角的和是， 故选：B. 变式1-3．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 在三角形中，大边对大角，小边对小角； 2 若三角形已知三边，则利用余弦定理可求任一内角. 【题型二：解已知两边和一角的三角形】 例2．（2024·河南·二模）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解． 【详解】由以及余弦定理，得，解得（负值舍去）． 故选：B． 变式2-1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将已知数据代入余弦定理中即得的长度. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B 变式2-2． （22-23高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理可得， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 变式2-3．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 若已知三角形的两边与一角，可以利用余弦定理解三角形. 【题型三：三角形形状的判定】 例3．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】设，利用余弦定理可判断角为钝角. 【详解】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 变式3-1．（22-23高一下·河南南阳·期中）在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及余弦定理可判断为钝角，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 变式3-2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角形形状. 【详解】由余弦定理知， 因为，， 所以， 所以，所以， 因此，所以， 即是等边三角形， 故选：D. 变式3-3．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状． 【详解】在中，， 又由余弦定理知，， 两式相加得：， （当且仅当时取“” ，又， （当且仅当时成立），为的内角， ，，又， 的形状为等边△． 故选：． 【方法技巧与总结】 三角形形状的判断 · ； · ； · . 【题型四：余弦定理边角互化的应用】 例4．（21-22高一下·重庆渝中·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及余弦定理可得，再由及基本不等式求C的范围，进而求的最大值. 【详解】由余弦定理，，即， 而，当且仅当时等号成立， 又，则，故， 所以的最大值是. 故选：B 变式4-1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在中，角的对边分别为，且，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行角化边进而判断. 【详解】在中，由余弦定理得， ，， 因为， 所以， 即， 即， 又因为， 所以， 所以为等腰三角形. 故选：A 变式4-2．（23-24高一下·福建福州·期中）已知在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合已知，化简，再利用正弦函数单调性求解即得. 【详解】在中，由，得，则，， 由余弦定理得， 因此，依题意，，则， 所以的取值范围是. 故选：B 变式4-3．（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出，然后利用面积公式计算出 ，再利用余弦定理和基本不等式计算出，最后计算出的最大值. 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得 ， 而，故 ， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而 ，则，其中， 故， 令 ，故. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 利用余弦定理的变形：，可把角变成边； 2 在题中遇到一等式有角又有边，可采取余弦定理把式子的角变成边或式子中的边变成角，统一后便于求解. 【题型五：余弦定理的综合运用】 例5．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，，点在内部，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦定理可得，平方后利用齐次式即可得求解. 【详解】由题意可得.在中，, 在中，， 即，化简得， 两边平方得，则， 所以，化简可得， 解得. 故选：C 变式5-1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据余弦定理的推论求出的值，再利用向量的数量积定义求解即可. 【详解】在中，， 所以， 所以，，所以， 所以. 故选：D. 变式5-2．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案. 【详解】因为G是的重心，所以有． 又，所以． 设，则有．由余弦定理，可得，所以. 故选：D 变式5-3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解． 【详解】已知满足， 设、、对应的边分别为，，， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 即的最小值为． 故选：D． 变式5-4．（22-23高一下·北京·期中）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由得到，再利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】在，上分别取，，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，， 则平分， ，， ， ，， 又，，且， ，即， ， 由余弦定理得， ， ， ， 是底角是的等腰三角形．    故选：A． 【方法技巧与总结】 把问题等价转化简化为解三角形的问题是关键. 【题型六：利用余弦定理解决实际问题】 例6．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 变式6-1．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 变式6-2．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【详解】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 变式6-3．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以 ． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 变式6-4．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出； （2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值. 【详解】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． （2）由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 【方法技巧与总结】 余弦定理可处理高度问题、长度问题、角度问题等实际问题，主要理解题意，把问题简化为解三角形的问题. 一、单选题 1．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得，可求. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 2.（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D 3.（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 【答案】B 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 联立，解得（均大于）， 所以． 故选：B． 4.（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：C 5.（23-24高一下·江西·期中）一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．15海里 【答案】A 【分析】由题意可求得，利用余弦定理可得，可求得. 【详解】在中，由题意可知海里，海里，.    由余弦定理可得， 则海里. 故选：A. 6.（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为， 所以， 整理得， 所以是等腰三角形. 故选：B. 7. （24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知为钝角或为钝角，分类由余弦定理和三角形三边关系可得. 【详解】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 8.（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理求出长，由勾股定理可得直角三形，由求出长，再利用数量积定义即可求. 【详解】在中，已知， 由余弦定理可得 ，则. 由，可得. 故在中，为线段中点，则， 又，则， 且. 故 . 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，，，则边的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用余弦定理解三角形即可求得结果. 【详解】，， 由余弦定理得：， 即，解得：或；经检验，均满足题意. 故选：BD. 10.（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 11. （23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】 对于A，是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错误； 对于B，由，得，所以 ， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，，C正确； 对于D，由，得 ， 所以 ，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 13.（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 14. （24-25高三上·安徽·开学考试）平面四边形中，，则 . 【答案】 【分析】设，将整理成，利用余弦定理求出和，最后利用向量数量积的定义计算即得. 【详解】 设，则（*）, 由余弦定理，，, 则由（*）可得：. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知分别为三个内角的对边，若 且. (1)求角A； (2)若，求边的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积得，代入余弦定理即可； （2）直接利用余弦定理即可. 【详解】（1）由得 ，，. （2）由余弦定理得： 故. 16.（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 17. （24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用诱导公式化简再解一元二次方程即可求值； （2）由余弦定理结合已知条件得出，，由即可证明. 【详解】（1）， 可得， 即， 也即， 解得； （2）由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 18. （24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义列方程求解即可； （2）根据向量共线的性质求出以及，再利用余弦定理求解即可； （3）利用余弦定理求出 ，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为 所以 ， ，即； （2），且， ， ， ； （3） 19. （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）著名的“费马”问题是法国数学家皮埃尔·德费马于1643年提出的，“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点.经过证明，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，则三角形最大内角的顶点即为费马点.试用以上知识解决下面问题： (1)在中，，，求的费马点到，，三点的距离之和. (2)为锐角的“费马点”，若，，. ①求的面积；②若实数，满足，求的值. (3)已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为多少？ 【答案】(1)4； (2)①；②； (3)-3. 【分析】（1）利用费马点的定义，已知有三个角是，再利用余弦定理，即可求解； （2）①利用费马点的定义，再把三角形面积分割成三个三角形面积来求解； ②以费马点为原点，建立坐标系，来表示各点坐标，即可用坐标法来求解； （3）利用三角恒等变形，即可求解，再利用余弦定理，可以求解出，从而计算出三角形的面积，再利用费马点分割成三个三角形面积和，最后转化到向量积上去，即可求解. 【详解】（1） 根据题意，为等腰三角形， ， 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得：， 在中，由余弦定理可得： 即.，解得：， 其费马点到三点距离之和为4. （2）①由题意可知， ②以为坐标原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系， 如下图所示： 由， 得：,, 由.可得： 则，故. （3），， 即， ， ， ， 即， ， ， 由余弦定理知，，可得 ，， ， ，即 则. 【点睛】方法点睛：以费马点为原点，建立平面直角坐标系，然后用坐标法来研究向量关系即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6.1 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算, 探索三角形边长与角度的关系, 掌握余弦定理 （2）能用余弦定理解决简单的实际问题 （1）掌握余弦定理的内容 （2）掌握余弦定理的变式 （3）能利用余弦定理解决实际问题（难点) 知识点01 余弦定理 1 余弦定理 2 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 【即学即练1】 （23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 余弦定理的变形 变形 【即学即练2】 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点03 三角形的判断 · ； · ； · . 【即学即练3】 （23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【题型一：解已知三边的三角形】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 在三角形中，大边对大角，小边对小角； 2 若三角形已知三边，则利用余弦定理可求任一内角. 【题型二：解已知两边和一角的三角形】 例2．（2024·河南·二模）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 变式2-1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2-2． （22-23高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【方法技巧与总结】 若已知三角形的两边与一角，可以利用余弦定理解三角形. 【题型三：三角形形状的判定】 例3．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 变式3-1．（22-23高一下·河南南阳·期中）在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 变式3-2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 变式3-3．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【方法技巧与总结】 三角形形状的判断 · ； · ； · . 【题型四：余弦定理边角互化的应用】 例4．（21-22高一下·重庆渝中·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 变式4-1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在中，角的对边分别为，且，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 变式4-2．（23-24高一下·福建福州·期中）已知在中，角所对的边分别为a，b，c，若， ，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 利用余弦定理的变形：，可把角变成边； 2 在题中遇到一等式有角又有边，可采取余弦定理把式子的角变成边或式子中的边变成角，统一后便于求解. 【题型五：余弦定理的综合运用】 例5．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，，点在内部，且，记，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在中，，则（   ） A．3 B． C． D． 变式5-2．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 变式5-3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（22-23高一下·北京·期中）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【方法技巧与总结】 把问题等价转化简化为解三角形的问题是关键. 【题型六：利用余弦定理解决实际问题】 例6．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 变式6-1．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 变式6-2．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 变式6-3．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 变式6-4．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【方法技巧与总结】 余弦定理可处理高度问题、长度问题、角度问题等实际问题，主要理解题意，把问题简化为解三角形的问题. 一、单选题 1．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 .（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高一下·江西·期中）一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．15海里 6.（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7. （24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，，，则边的长可能为（    ） A． B． C． D． 10.（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 11. （23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 13.（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 14. （24-25高三上·安徽·开学考试）平面四边形中，，则 . 四、解答题 15．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知分别为三个内角的对边，若 且. (1)求角A； (2)若，求边的值． 16.（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 17. （24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，证明：是直角三角形. 18. （24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，且． (1) 求的长；(2)求的长；(3)求． 19. （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）著名的“费马”问题是法国数学家皮埃尔·德费马于1643年提出的，“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点.经过证明，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，则三角形最大内角的顶点即为费马点.试用以上知识解决下面问题： (1)在中，，，求的费马点到，，三点的距离之和. (2)为锐角的“费马点”，若，，. ①求的面积；②若实数，满足，求的值. (2) 已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$