1.6.2 正弦定理（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.6.2 正弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算, 探索三角形边长与角度的关系, 掌握正弦定理 （2）能用正弦定理解决简单的实际问题 （1）掌握正弦定理的内容 （2）掌握正弦定理的变式 （3）能利用正弦定理解决实际问题（难点) 知识点01 正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 【即学即练1】 （23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 正弦定理的变式 化边为角 化角为边 【即学即练2】 （23-24高一下·河北邢台·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 知识点03 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 【即学即练2】 （23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【题型一：解已知两个角及任意一边的三角形】 例1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 变式1-1．（21-22高一下·四川绵阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 变式1-2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的两角与一边，可直接使用正弦定理求出一角的对边。 【题型二：解已知两边和其中一边的对角的三角形】 例2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 变式2-1．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 变式2-2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 变式2-3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 已知三角形的两边及其一边的对角，可以直接使用正弦定理求出另一边的对角或其三角函数值； 2 题中已知某角的三角函数值，也相当确定了该角或其补角. 【题型三：判断三角形的个数】 例3．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-1．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 变式3-2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断三角形的个数问题，可以利用正弦定理余弦定理求解进行判断；利用数形结合的方法会更简便些。 【题型四：正弦定理边角的互化的应用】 例4．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 变式4-1．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（2023·陕西榆林·一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（2023·四川南充·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用正弦定理的变式可以把角化为边或边化为角，当题中有角又有边的等式，往往需要把等式统一为角或边更容易求解. 【题型五：三角形面积的公式及其应用】 例5．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 变式5-2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 变式5-3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三角形的面积公式，往往题中涉及哪个角就有含哪个角的公式. 【题型六：解三角形的最值问题】 例6．（24-25高三上·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 变式6-1．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知中，，，则面积的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）设的内角的对边分别为，，,已知，在边上，平分，且，则的最小值为（ ） A．9 B．18 C．24 D．36 变式6-3．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求解三角形的最值，注意三个内角和为，则，； 2 利用正弦余弦定理把边化为角，构建函数求最值；或利用基本不等式求最值是常见的解题方法. 【题型七：解三角形的综合】 例7.1（24-25高二上·四川巴中·开学考试）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，点D为AC的中点，交AB于E，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例7.2（24-25高三上·河北沧州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为，，．已知 (1)求C； (2)若，求c的最小值． 变式7-1．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 变式7-2．（多选）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 变式7-3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知中，. (1)求角； (2)是边上一点，且，求的长. 变式7-4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 2.（2024·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 3.（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5.（23-24高一下·广西百色·期中）在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（    ） A．的面积有最大值，且最大值为 B．的面积有最大值，且最大值为 C．的面积有最小值，且最小值为 D．的面积有最小值，且最小值为 7. （24-25高三上·吉林长春·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 8.（24-25高三上·江西新余·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（21-22高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，下列关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题 12．（24-25高三下·山东·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 13.（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 14.（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 四、解答题 15．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 16. （2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 17.（24-25高三下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若为边上一点，且的面积为，证明：． 18. （江西省部分高中学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 19. （23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6.2 正弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算, 探索三角形边长与角度的关系, 掌握正弦定理 （2）能用正弦定理解决简单的实际问题 （1）掌握正弦定理的内容 （2）掌握正弦定理的变式 （3）能利用正弦定理解决实际问题（难点) 知识点01 正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 【即学即练1】 （23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角形的性质及正弦定理，即可求出结果. 【详解】由，，得，由正弦定理得， 所以， 故选：C. 知识点02 正弦定理的变式 化边为角 化角为边 【即学即练2】 （23-24高一下·河北邢台·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据正弦定理进行边角互化，进而可判断三角形形状. 【详解】因为， 由正弦定理得， 则该三角形的形状是直角三角形， 故选：A. 知识点03 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 【即学即练2】 （23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【题型一：解已知两个角及任意一边的三角形】 例1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 变式1-1．（21-22高一下·四川绵阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 变式1-2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 变式1-3．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，从而求出，再由余弦定理得，由此能求出． 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 【方法技巧与总结】 已知三角形的两角与一边，可直接使用正弦定理求出一角的对边。 【题型二：解已知两边和其中一边的对角的三角形】 例2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和为，可求得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 又因为，， 所以. 故选：A. 变式2-1．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得. 故选：D. 变式2-2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 变式2-3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，结合题目条件利用正弦定理与三角函数内角关系可计算出及，即可在中借助面积公式与余弦定理求出长. 【详解】由， 则， 又由， 所以， 又由，可得， 在中，由正弦定理得：， 所以，可得， 由，可得， 又由的面积为，有，可得， 在中，由余弦定理有. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 已知三角形的两边及其一边的对角，可以直接使用正弦定理求出另一边的对角或其三角函数值； 2 题中已知某角的三角函数值，也相当确定了该角或其补角. 【题型三：判断三角形的个数】 例3．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 变式3-1．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 变式3-2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 由满足条件，的有两个，得，且，即， 因此，所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 判断三角形的个数问题，可以利用正弦定理余弦定理求解进行判断；利用数形结合的方法会更简便些。 【题型四：正弦定理边角的互化的应用】 例4．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 变式4-1．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得. 【详解】， 由正弦定理可得， 又在中， ， ， ， 在中，， ，且为的内角， ， 故选：C． 变式4-2．（2023·陕西榆林·一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得.又， 所以.因为， 所以，故. 故选：A. 变式4-3．（2023·四川南充·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得. 【详解】，，即， ， ，则 故选：D 【方法技巧与总结】 利用正弦定理的变式可以把角化为边或边化为角，当题中有角又有边的等式，往往需要把等式统一为角或边更容易求解. 【题型五：三角形面积的公式及其应用】 例5．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 变式5-1．（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 变式5-2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 【答案】C 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 变式5-3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长AC，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B 【方法技巧与总结】 三角形的面积公式，往往题中涉及哪个角就有含哪个角的公式. 【题型六：解三角形的最值问题】 例6．（24-25高三上·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【详解】因为在中，，所以，则 又角的内角平分线，则， 又， 则， 即， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立， 因此，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 变式6-1．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知中，，，则面积的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理计算出，然后求出，由三角形的面积公式计算，最后转化为函数的最大值即可求解. 【详解】设，则， 由余弦定理得：， 所以， 所以， 所以当时，即时，的面积最大，最大为， 故选：C 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）设的内角的对边分别为，，,已知，在边上，平分，且，则的最小值为（ ） A．9 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由余弦定理可得，由，，可得，即，再结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，由余弦定理得：，整理得：， 所以，又因为， 则， 因为平分， 所以， 根据题意有：，， 所以， 即， 整理有：，即， 所以， 因为，，所以，， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 变式6-3．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】由题设知，， 由正弦定理得， 即, 又，所以，所以，得，所以， 又， 即，又锐角，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 求解三角形的最值，注意三个内角和为，则，； 2 利用正弦余弦定理把边化为角，构建函数求最值；或利用基本不等式求最值是常见的解题方法. 【题型七：解三角形的综合】 例7.1（24-25高二上·四川巴中·开学考试）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，点D为AC的中点，交AB于E，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出．根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出的大小，最后求出面积． 【详解】，由得， 由余弦定理得， ，. 连接，如下图：是的中点，，，   ， 在中，由正弦定理得， ，， ，， ，，， ，， . 故选：C. 例7.2（24-25高三上·河北沧州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为，，．已知 (1)求C； (2)若，求c的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）法一：由已知化简得，两边同时除以，再由余弦定理、正弦定理可得答案；法二：由已知利用余弦定理得，再由余弦定理可得答案： （2）由余弦定理、基本不等式可得答案． 【详解】（1）法一：因为， 得， 两边同时除以得，， ，由正弦定理得， 所以， 得， 即， 又，所以，所以， 又，得． 法二： 因为，由余弦定理得 ， ， ，，所以， 又，得； （2）由余弦定理得， 又，得． ， 当且仅当“”时，等号成立． 则，故的最小值为2． 变式7-1．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 变式7-2．（多选）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 【答案】ABC 【分析】用正弦定理求解判断AB，由勾股定理判断C，数形结合判断D． 【详解】选项A，因为，由正弦定理得， 又，所以，而，所以，A正确； 选项B，因为，所以，所以，B正确； 选项C，取中点，如图所示，在中， ， 在中，，，C正确； 选项D，，当且仅当圆心在上时取等号，所以 ，D错误． 故选：ABC． 变式7-3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知中，. (1)求角； (2)是边上一点，且，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式计算得解. （2）利用正弦定理建立方程，身后利用三角恒等变换计算得解. 【详解】（1）在中，由，得， 又，，则，所以. （2）由（1）知，，而，则，，设， ， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因此，即，整理得， 又，则，所以. 变式7-4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据已知有，由基本不等式、三角形的三边关系得，再由得，进而有，根据函数单调性求最大值. 【详解】（1）由已知及正弦定理有，即， 由余弦定理有，，则. （2）由（1）可知，则①， 由基本不等式有，可得， 又，则， ∵， ∴，可得， 由①有， 令，则在上单调递增， 所以AD的最大值为. 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算得解. 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：B 2.（2024·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理将、余弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 3.（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 4.（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，得，由正弦定理即可求解． 【详解】由题意，得， 又C为的内角，因为 则， 由正弦定理，得. 故选：B. 5.（23-24高一下·广西百色·期中）在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知式，运用正弦定理化角为边，得勾股定理，利用直角三角形中三角函数定义，计算即得. 【详解】由和正弦定理可得，，，是直角三角形. 则，，. 故选：A. 6.（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（    ） A．的面积有最大值，且最大值为 B．的面积有最大值，且最大值为 C．的面积有最小值，且最小值为 D．的面积有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得，再通过余弦定理求得的范围，即可求解. 【详解】因为 所以 所以，又为三角形内角， 所以，所以 设角的对边分别为，边的高为， 由三角形面积公式可得：，又， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选:D 7. （24-25高三上·吉林长春·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 8.（24-25高三上·江西新余·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性质，可得答案. 【详解】由，，则， 根据正弦定理，可得 ， 在中，，则， ， 在中，易知，当时，. 故选：B. 二、多选题 9．（21-22高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，下列关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正弦定理分析判断即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以AC错误，BD正确， 故选：BD 10.（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 11.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABD 【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得，代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三下·山东·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角化简得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 所以. 故答案为： 13.（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 14.（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【答案】 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）利用正弦定理得，再结合（1）中结果，求得，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （2）由（1）知，又，所以， 又，所以， 又， 所以. 16. （2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件和正弦定理，结合三角恒等变换即可证明； （2）由a、b、c的关系结合余弦定理可求cosC及sinC，根据三角形面积公式可得b与CD的一个关系式，再利用余弦定理得b与CD的另外一个关系式，联立即可求得答案. 【详解】（1）由条件及正弦定理得， 所以，即， 因为，所以，即， 所以. （2）由（1）及条件知， 所以， 从而得. 设， 则，得.① 由余弦定理得，所以，② 由①②，得，所以， 所以的周长为. 17.（24-25高三下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若为边上一点，且的面积为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求，即可得角的大小； （2）应用余弦定理求得，再应用面积公式有、，作商即可证结论. 【详解】（1）由，则， 所以，，则. （2）由，可得（负值舍）， 则，而， 所以，即，得证. 18. （江西省部分高中学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）在中，应用余弦定理列方程解之可得； （2）在中，由余弦定理求得，再计算出，然后由面积公式计算． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. ， 即 整理得 ， 所以（负值舍去）. （2）在中，由余弦定理得 ， 所以 所以的面积为 19. （23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可知：，利用正弦定理求外接圆半径； （2）先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证； （3）根据（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证. 【详解】（1）由题意可知：， 所以的外接圆的半径. （2）若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）由（2）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$