精品解析：2022年湖南省"沃米杯"第三届对口招生考试数学联考试题

湖南省2022年“沃米杯”第三届对口招生考试 数学联考试题 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若是圆上一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图像如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列四个命题中：①平行于同一个平面的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在中，M是的中点，，，则（ ） A. 11 B. 16 C. 30 D. 61 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 某校老年、中年和青年教师人数见下表： 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有7人，则该样本中的中年教师人数为______人． 12. 已知向量，，且，则______． 13. 的展开式中的常数项为，则实数______． 14. 已知数列是等差数列，且，则数列前19项的和______. 15. 已知奇函数在上是增函数，若，则m取值范围是______（结果用区间表示)． 三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列为等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，求n的值． 17. 5件产品中有1件不合格品，每次取一件，有放回地抽取两次，用表示取到不合格品的次数，求： （1）随机变量的分布列； （2）求随机变量期望与方差． 18. 已知函数，且． （1）求m的值； （2）若，求x的取值范围． 19. 如图，在三棱柱中，侧面ABEF与ABCD是全等的矩形． （1）证明：平面ADF； （2）若，，二面角的大小为，求三棱柱的体积． 20. 已知是抛物线C：的焦点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l经过点且与抛物线C交于A、B两点，若点P是线段AB的中点，求直线l的方程． 选做题：请考生在第21、22题中选择一道题作答．如果两题都做'则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号． 21. 中角、、所对边长分别为，且，． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 22. 某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为46个、50个，所用原料为、两种规格的金属板，每张面积分别为、，用种金属板可同时造甲产品3个、乙产品5个，用种金属板可同时造甲、乙产品各5个，则、两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省2022年“沃米杯”第三届对口招生考试 数学联考试题 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集结果求出参数即可解得. 【详解】由题，集合， 又知，则，即. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 3. 过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再将点代入求出的值即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，，解得， 所以所求直线方程为， 故选：C. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求其在指定区间内的值域即可. 【详解】函数，其中， 所以时，为增函数， 则当时，， ， 所以函数的值域是， 故选：D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法求解. 【详解】不等式可化为, 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D. 6. 已知且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】由题意知且为第二象限角， 所以. 故选：B. 7. 已知点，若是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】圆外一点到圆的距离最小值为两点距离减去半径，最大值为两点距离加半径. 【详解】圆的圆心为，半径， 点到圆心的距离为， 所以的最小值为：， 最大值为：， 所以的取值范围是. 故选：C. 8. 函数的部分图像如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像，结合周期公式，即可求解. 【详解】由图可知，的最小正周期为， 故，即. 故选：B. 9. 下列四个命题中：①平行于同一个平面的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面关系，面面关系，结合线面垂直的性质逐个分析即可. 【详解】命题①：平行于同一个平面的两条直线可能平行或相交或异面，故①错误； 命题②：平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交，故②错误； 命题③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确； 命题④：垂直于同一条直线的两个平面平行，故④正确； 综上所述，正确的命题有2个， 故选：B. 10. 在中，M是的中点，，，则（ ） A. 11 B. 16 C. 30 D. 61 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量之间的关系，结合向量的模长公式，联立方程，即可求解. 【详解】 因为M是的中点，则有， 因为，故的模长为5，故的模长为，即， 因为，又因为，故有， 联立可得， 根据模长公式定义，可得 ， 解方程可得. 故选：B. 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表： 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有7人，则该样本中的中年教师人数为______人． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求解即可解得. 【详解】由题，分层抽样的抽样比为. 则样本中的中年教师人数为人. 故答案为： 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质，结合向量的坐标表示，即可求解未知数. 【详解】因为向量，，且， 则有，即， 解得. 故答案为：2. 13. 的展开式中的常数项为，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项，即可求解. 【详解】由题，的展开式中的通项为， 令，即， 可得常数项为， 又因为常数项为，即， ，解得. 故答案为：. 14. 已知数列是等差数列，且，则数列前19项的和______. 【答案】95 【解析】 【分析】根据前n项和公式以及等差数列的性质求解即可. 【详解】. 故答案为：95. 15. 已知奇函数在上是增函数，若，则m的取值范围是______（结果用区间表示)． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简求出不等式即可解得. 【详解】由题为上奇函数， 则， 又知在上单调递增， 则，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列为等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件和等比数列的定义即可求解； （2）由等比数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 数列为等比数列，，． 得， 故的通项公式为． 【小问2详解】 数列的前n项和为 由得， 解得． 17. 5件产品中有1件不合格品，每次取一件，有放回地抽取两次，用表示取到不合格品的次数，求： （1）随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望与方差． 【答案】（1）答案见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求得概率，写出分布列即可解得. （2）根据分布列求出期望和方差即可解得. 【小问1详解】 由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 故故的分布列为： 0 1 2 P 【小问2详解】 由题，随机变量的期望， 方差． 18. 已知函数，且． （1）求m的值； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解； （2）由函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由，且 得，即， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，函数， 由得，， 因为在上单调递增， 所以，解得， 即x的取值范围是． 19. 如图，在三棱柱中，侧面ABEF与ABCD是全等的矩形． （1）证明：平面ADF； （2）若，，二面角的大小为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定即可求解； （2）先将二面角转为平面角，结合三棱柱的体积公式即可求解. 小问1详解】 证明：因为与是矩形，所以，， 因为，是平面内的两条相交直线，所以平面． 【小问2详解】 因为，， 所以是二面角的平面角，由已知有， 三角形ADF的面积， 三棱柱的体积． 20. 已知是抛物线C：的焦点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l经过点且与抛物线C交于A、B两点，若点P是线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用焦点求抛物线的标准方程，即可. （2）设出A、B两点的坐标，利用点P是线段AB的中点，以及A、B两点在抛物线上，即可求解. 【小问1详解】 因为是抛物线C：的焦点， 所以，得， 故抛物线C的标准方程为． 【小问2详解】 设，，易知点在抛物线内， 代入抛物线方程得， 两式相减得，变形得 因为点是线段AB的中点， 所以，得，， 即直线l的斜率， 故直线l的方程为，即． 选做题：请考生在第21、22题中选择一道题作答．如果两题都做'则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号． 21. 中角、、所对边长分别为，且，． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解. （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由已知可得， 由正弦定理有，变形得： ． 【小问2详解】 由余弦定理有， 将，，代入得： ， 解方程组， 得，， 的面积为： ． 22. 某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为46个、50个，所用原料为、两种规格的金属板，每张面积分别为、，用种金属板可同时造甲产品3个、乙产品5个，用种金属板可同时造甲、乙产品各5个，则、两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？ 【答案】、两种金属板各取2张，8张时，能完成计划并能使总用料面积最省 【解析】 分析】设出约束条件，建立目标函数，作出可行域，找到最优解求解. 【详解】设两种金属板各取张，张，总用料面积为， 由题意可得线性约束条件为， 目标函数为， 画可行域如下图阴影部分所示： 画零值线：， 当等值线经过可行域内的点时，目标函数有最大值， 解方程组，得，即， 当，时，， 故、两种金属板各取2张，8张时，能完成计划并能使总用料面积最省． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$