2025年九年级数学中考填空题复习 图形的性质与判定之平面几何初步及相交线与平行线

第 1页（共 15页） 解析答案 填空题 1．如图，已知点 C，D是线段 AB上的两点，若线段 BC＝5cm，DB＝8cm，且 D是线段 AC的中点，则 AC的长是 6 cm． 【解答】解：∵BC＝5cm，DB＝8cm， ∴CD＝BD﹣BC＝3cm， ∵D是线段 AC的中点， ∴AC＝2CD＝6cm， 故答案为：6． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 2．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 两点之间 线段最短 ． 【解答】解：∵两点之间线段最短， ∴他选择走第②条路， 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】本题考查线段的性质，垂线段最短，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 3．一个锐角的大小是 50°30'，则它的余角的大小为 39°30′ ． 【解答】解：∵一个锐角的大小是 50°30'， ∴它的余角为 90°﹣50°30'＝39°30′， 故答案为：39°30′． 【点评】本题考查了余角的定义的应用，熟练掌握余角的定义，角的度分秒运算是解题的关键． 4．如图，AB∥CD，点 E在 CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于 119.5 度． 第 2页（共 15页） 【解答】解：∵∠1＝60°30'＝60.5°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1＝119.5°， ∵AB∥CD， ∴∠ECD＝∠ABC＝119.5°． 故答案为：119.5． 【点评】本题考查平行线的性质，度分秒的计算，关键是由平行线的性质推出∠ECD＝∠ABC． 5．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 ③ （填序号）． ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【解答】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，根据两点确定一条直线； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，根据两点确定一条直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，根据两点之间，线段最短． 故答案为：③． 【点评】本题考查了线段的性质的应用，正确理解“两点之间，线段最短”是解题关键． 6．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图 ②所示，其中 BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的 大小为 130° ． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， 第 3页（共 15页） 过点 C作 CF∥AB， ∵DE∥AB， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCF， ∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°， ∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过 C作 CF∥AB，得到 CF∥ED，由平行线的性质来解 决问题． 7．如图，PA，PB表示以 P为起点的两条公路，其中公路 PA的走向是南偏西 34°，公路 PB的走向是南 偏东 56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ 90 °． 【解答】解：如图： 由题意得： ∠APC＝34°，∠BPC＝56°， ∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°， 故答案为：90． 第 4页（共 15页） 【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 8．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 140° ． 【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点 A、B、C． ∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB． ∵图案是由一张等宽的纸条折成的， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 又∵纸条的长边平行， ∴∠ABC＝∠1＝20°， ∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°． 故答案为：140°． 【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用． 9．如图，一束光沿 CD方向，先后经过平面镜 OB、OA反射后，沿 EF方向射出，已知∠AOB＝120°， ∠CDB＝20°，则∠AEF＝ 40° ． 【解答】解：∵一束光沿 CD方向，先后经过平面镜 OB、OA反射后，沿 EF方向射出， ∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED， 在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°， ∴∠AEF＝∠OED＝40°． 故答案为：40°． 第 5页（共 15页） 【点评】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED 是解题的关键． 10．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点 O照射到抛物线上的光线 OA，OB等反射后都沿着与 POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝ 60 °． 【解答】解：∵BD∥PQ， ∴∠POB＝∠OBD＝90°， ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°， ∵AC∥PQ， ∴∠OAC＝∠AOP＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 11．如图，A，B两点的坐标分别为 A（4，3），B（0，﹣3），在 x轴上找一点 P，使线段 PA+PB的值最小， 则点 P的坐标是 （2，0） ． 【解答】解：如图，连接 AB交 x轴于点 P'， 根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求， 设直线 AB的关系式为：y＝kx+b， 4� + � = 3 � =− 3 ， 第 6页（共 15页） 解得 � = 3 2 � =− 3 ， ∴y= 32 � − 3， 当 y＝0时，x＝2， ∴P'（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点评】本题主要考查了线段的性质，明白两点之间，线段最短是解题的关键． 12．如图，直线 a∥b，点 C、A分别在直线 a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 40° ． 【解答】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°． ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．已知两个角的和是 67°56′，差是 12°40′，则这两个角的度数分别是 40°18′、27°38′ ． 第 7页（共 15页） 【解答】解：设这两个角的度数为 x、y， 则 � + � = 67°56′ � − � = 12°40′ ， 解得：x＝40°18′，y＝27°38′， 故答案为：40°18′、27°38′． 【点评】本题考查了角的计算和度、分、秒之间的换算，能根据题意列出方程组是解此题的关键，注意： 1°＝60′． 14．如图，直线 a∥b，点O在 b上，以O为圆心画弧，交 a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝ 92 °． 【解答】解：∵点 A和点 B都在以点 O为圆心的圆上， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵a∥b，且θ＝44°， ∴∠OBA＝θ＝44°， ∴∠OAB＝∠OBA＝44°， ∴∠AOB＝180°﹣44°﹣44°＝92°． 故答案为：92． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 15．如图所示，1条直线将平面分成 2个部分，2条直线最多可将平面分成 4个部分，3条直线最多可将平 面分成 7个部分，4条直线最多可将平面分成 11个部分．现有 n条直线最多可将平面分成 56个部分， 则 n的值为 10 ． 【解答】解：依题意有 1 2 n（n+1）+1＝56， 解得 n1＝﹣11（不合题意舍去），n2＝10． 答：n的值为 10． 故答案为：10． 第 8页（共 15页） 【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是 解决本题的难点． 16．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 AB与水杯 下沿 CD平行，光线 EF从水中射向空气时发生折射，光线变成 FH，点 G在射线 EF上，已知∠HFB ＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 25° ． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠GFB＝∠FED＝45°． ∵∠HFB＝20°， ∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 17．如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使边 AB、CB均落在对角线 BD上，得折痕 BE、BF，则∠EBF＝ 45 °． 【解答】解：∵四边形 ABCD是矩形， 根据折叠可得∠ABE＝∠EBD= 12∠ABD，∠DBF＝∠FBC= 1 2∠DBC， ∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC＝∠ABC＝90°， ∴∠EBD+∠DBF＝45°， 即∠EBF＝45°， 故答案为：45． 【点评】此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计 算，是一道基础题． 18．如图，直线 AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝ 52 度． 第 9页（共 15页） 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2， ∵OA⊥OB， ∴∠O＝90°， ∵∠1＝∠3+∠O＝142°， ∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°， 故答案为：52． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 19．直线上有 2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入 1个点，经过 3次这样的操作后，直 线上共有 16073 个点． 【解答】解：第一次：2010+（2010﹣1）＝2×2010﹣1， 第二次：2×2010﹣1+2×2010﹣1﹣1＝4×2010﹣3， 第三次：4×2010﹣3+4×2010﹣3﹣1＝8×2010﹣7． ∴经过 3次这样的操作后，直线上共有 8×2010﹣7＝16073个点． 故答案为：16073． 【点评】此题为规律型题．解题的关键是找对规律． 20．如图，将矩形 ABCD折叠，折痕为 EF，BC的对应边 B'C′与 CD交于点 M，若∠B′MD＝50°，则 ∠BEF的度数为 70° ． 【解答】解：∵∠C'＝∠C＝90°，∠DMB'＝∠C'MF＝50°， ∴∠C'FM＝40°， 设∠BEF＝α，则∠EFC＝180°﹣α，∠DFE＝∠BEF＝α，∠C'FE＝40°+α， 第 10页（共 15页） 由折叠可得，∠EFC＝∠EFC'， ∴180°﹣α＝40°+α， ∴α＝70°， ∴∠BEF＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解题时注意：两直线平行，内错角相等，同旁内 角互补． 21．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边 BC及四边形②的边 CD 都在 x轴上，“猫”耳尖E在 y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 (− 24 − 1 4, 1 2 + 2 4 ) ． 【解答】解：如图，作 AH⊥x轴于 H,过点 F作 FJ⊥y轴于 J交 PQ于 K,延长 PQ交 OB于 T．设大正方 形的边长为 4a,则 OC＝a,CD＝2a, 在 Rt△ADH中，∠ADH＝45°, ∴AH＝DH＝a, ∴OH＝4a, ∵点 A的横坐标为 1， ∴4a＝1, ∴a= 14, 在 Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a= 12, 第 11页（共 15页） ∴PQ= 2PF= 22 , ∵FK⊥PQ, ∴PK＝KQ, ∴FK＝PK＝QK= 24 , ∵KJ= 14，PT＝1+( 2 2 − 1 2 )= 12+ 2 2 , ∴FJ= 24 + 1 4,KT＝PT﹣PK= 1 2 + 2 2 − 2 4 = 1 2 + 2 4 , ∴F(− 24 − 1 4, 1 2 + 2 4 )． 故答案为：(− 24 − 1 4, 1 2 + 2 4 )． 【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形 的判定和性质等知识，解题的关键是理解七巧板的特征，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创 新题型． 22．如图，将长方形纸片 ABCD沿 EF折叠（折线 EF交 AD于 E，交 BC于 F），点 C、D的对应点分别是 C1，D1，ED1交 BC于 G，再将四边形 C1D1GF沿 FG折叠，点 C1、D1的对应点分别是 C2、D2，GD2 交 EF于 H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 ②③④ ． 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF， ∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， 第 12页（共 15页） ∵∠D1GF是△EGF一个外角， ∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE， 设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°， 当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°， 但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误； ∵ED1∥FC1， ∴∠EGC＝∠GFC1， 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则 2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确； 由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1． 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1， ∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， ∴26°+α+52°＝180°， 解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确； 由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD2是△HGF的一个外角， ∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识， 数形结合，利用相关几何性质． 23．如图，点 O是量角器的中心点，射线 OM经过刻度线 90．若∠AOB＝∠COD．射线 OA、OB分别经 过刻度线 40 和 60，∠COD在刻度线 OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠ BOC互补，则射线 OD经过刻度线 165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有 6 对角互为余角．其中 正确的是 ①③ （填序号）． 第 13页（共 15页） 【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD，故正确； ②由题意可得：∠AOB＝60°﹣40°＝20°＝∠COD， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOB+∠BOC+∠BOC＝180°，即 20°+∠BOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝80°， ∴60°+80°+20°＝160°，即射线 OD经过刻度线 160，故错误； ③如图： ∵∠MOC＝3∠COD＝3∠AOB＝60°，∠MOB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM和∠COM互为余角， ∵射线 OM经过刻度线 90， ∴∠EOM＝∠FOM＝90°， ∴∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM，∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为 余角， 即共有 6对角互为余角，故正确； ∴正确的有①③， 故答案为：①③． 第 14页（共 15页） 【点评】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，看清图形是解题的关键． 24．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C′ EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，正确的有 ①②③④ ． 【解答】解：∵AC′∥BD′， ∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确； ∵∠C′EF＝∠FEC， ∴∠C′EC＝2×32°＝64°， ∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②正确； ∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确； ∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 25．图 1是一张足够长的纸条，其中 PN∥QM，点 A、B分别在 PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如 图 2，将纸条折叠，使 BM与 BA重合，得折痕 BR1，如图 3，将纸条展开后再折叠，使 BM与 BR1重合， 得折痕 BR2，将纸条展开后继续折叠，使 BM与 BR2重合，得折痕 BR3…依此类推，第 n次折叠后，∠ ARnN＝ 180°− � 2�−1 （用含 a和 n的代数式表示） 【解答】解：由折叠可知∠AR1B= 1 2�， ∠AR2B= 1 2 × 1 2� = 1 22α， .....． ∠ARn﹣1B= 1 2 �−1 α， 第 15页（共 15页） ∴∠MAR1＝∠AR1B+∠ABR1＝α， 同理∠MR1R2= 1 2α， ∠MR2R3= 1 22α， .....． ∠MRn﹣1Rn= 1 2�−1α， ∴∠ARnN＝180°− � 2�−1； 故答案为：180°− �2�−1。 中考数学第一轮复习 填空题练习 图形的性质与判定之平面几何初步及相交线与平行线 填空题： 1．如图，已知点C，D是线段AB上的两点，若线段BC＝5cm，DB＝8cm，且D是线段AC的中点，则AC的长是 　 　cm． 2．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 　 　． 3．一个锐角的大小是50°30'，则它的余角的大小为　 　． 4．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于 　 　度． 5．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 　 　（填序号）． ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 6．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 7．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　 　°． 8．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　． 9．如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　 　． 10．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 　°． 11．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　 　． 12．如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　． 13．已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是　 　． 14．如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝ 　 　°． 15．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　 　． 16．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 　 　． 17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF＝　 　°． 18．如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　 　度． 19．直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有　 　个点． 20．如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为　 　． 21．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　 　． 22．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　 　． 23．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若∠AOB＝∠COD．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是 　 　（填序号）． 24．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C′EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，正确的有 　 　． 25．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　 　（用含a和n的代数式表示） 熊生泉数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共25小题，总分100.0分） 1．如图，已知点C，D是线段AB上的两点，若线段BC＝5cm，DB＝8cm，且D是线段AC的中点，则AC的长是 　6　cm． 【考点】两点间的距离；线段的和差．版权所有 【解答】解：∵BC＝5cm，DB＝8cm， ∴CD＝BD﹣BC＝3cm， ∵D是线段AC的中点， ∴AC＝2CD＝6cm， 故答案为：6． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 2．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 　两点之间线段最短　． 【考点】垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【解答】解：∵两点之间线段最短， ∴他选择走第②条路， 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】本题考查线段的性质，垂线段最短，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 3．一个锐角的大小是50°30'，则它的余角的大小为　39°30′　． 【考点】余角和补角；度分秒的换算．版权所有 【解答】解：∵一个锐角的大小是50°30'， ∴它的余角为90°﹣50°30'＝39°30′， 故答案为：39°30′． 【点评】本题考查了余角的定义的应用，熟练掌握余角的定义，角的度分秒运算是解题的关键． 4．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于 　119.5　度． 【考点】平行线的性质；度分秒的换算．版权所有 【解答】解：∵∠1＝60°30'＝60.5°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1＝119.5°， ∵AB∥CD， ∴∠ECD＝∠ABC＝119.5°． 故答案为：119.5． 【点评】本题考查平行线的性质，度分秒的计算，关键是由平行线的性质推出∠ECD＝∠ABC． 5．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 　③　（填序号）． ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【考点】线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【解答】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，根据两点确定一条直线； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，根据两点确定一条直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，根据两点之间，线段最短． 故答案为：③． 【点评】本题考查了线段的性质的应用，正确理解“两点之间，线段最短”是解题关键． 6．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　130°　． 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， 过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCF， ∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°， ∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解决问题． 7．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　90　°． 【考点】方向角．版权所有 【解答】解：如图： 由题意得： ∠APC＝34°，∠BPC＝56°， ∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 8．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　140°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C． ∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB． ∵图案是由一张等宽的纸条折成的， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 又∵纸条的长边平行， ∴∠ABC＝∠1＝20°， ∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°． 故答案为：140°． 【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用． 9．如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　40°　． 【考点】角的计算．版权所有 【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出， ∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED， 在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°， ∴∠AEF＝∠OED＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解题的关键． 10．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　60　°． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵BD∥PQ， ∴∠POB＝∠OBD＝90°， ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°， ∵AC∥PQ， ∴∠OAC＝∠AOP＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 11．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　（2，0）　． 【考点】线段的性质：两点之间线段最短；坐标与图形性质．版权所有 【解答】解：如图，连接AB交x轴于点P'， 根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求， 设直线AB的关系式为：y＝kx+b， ， 解得， ∴y， 当y＝0时，x＝2， ∴P'（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点评】本题主要考查了线段的性质，明白两点之间，线段最短是解题的关键． 12．如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　40°　． 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°． ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是　40°18′、27°38′　． 【考点】角的计算；度分秒的换算．版权所有 【解答】解：设这两个角的度数为x、y， 则， 解得：x＝40°18′，y＝27°38′， 故答案为：40°18′、27°38′． 【点评】本题考查了角的计算和度、分、秒之间的换算，能根据题意列出方程组是解此题的关键，注意：1°＝60′． 14．如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝ 　92　°． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵点A和点B都在以点O为圆心的圆上， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵a∥b，且θ＝44°， ∴∠OBA＝θ＝44°， ∴∠OAB＝∠OBA＝44°， ∴∠AOB＝180°﹣44°﹣44°＝92°． 故答案为：92． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 15．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　10　． 【考点】点、线、面、体．版权所有 【解答】解：依题意有 n（n+1）+1＝56， 解得n1＝﹣11（不合题意舍去），n2＝10． 答：n的值为10． 故答案为：10． 【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点． 16．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 　25°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠GFB＝∠FED＝45°． ∵∠HFB＝20°， ∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF＝　45　°． 【考点】角的计算；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， 根据折叠可得∠ABE＝∠EBD∠ABD，∠DBF＝∠FBC∠DBC， ∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC＝∠ABC＝90°， ∴∠EBD+∠DBF＝45°， 即∠EBF＝45°， 故答案为：45． 【点评】此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题． 18．如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　52　度． 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2， ∵OA⊥OB， ∴∠O＝90°， ∵∠1＝∠3+∠O＝142°， ∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°， 故答案为：52． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 19．直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有　16073　个点． 【考点】直线、射线、线段．版权所有 【解答】解：第一次：2010+（2010﹣1）＝2×2010﹣1， 第二次：2×2010﹣1+2×2010﹣1﹣1＝4×2010﹣3， 第三次：4×2010﹣3+4×2010﹣3﹣1＝8×2010﹣7． ∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2010﹣7＝16073个点． 故答案为：16073． 【点评】此题为规律型题．解题的关键是找对规律． 20．如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为　70°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵∠C'＝∠C＝90°，∠DMB'＝∠C'MF＝50°， ∴∠C'FM＝40°， 设∠BEF＝α，则∠EFC＝180°﹣α，∠DFE＝∠BEF＝α，∠C'FE＝40°+α， 由折叠可得，∠EFC＝∠EFC'， ∴180°﹣α＝40°+α， ∴α＝70°， ∴∠BEF＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解题时注意：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 21．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　(,)　． 【考点】七巧板；坐标与图形性质．版权所有 【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a, 在Rt△ADH中，∠ADH＝45°, ∴AH＝DH＝a, ∴OH＝4a, ∵点A的横坐标为1， ∴4a＝1, ∴a, 在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a, ∴PQPF, ∵FK⊥PQ, ∴PK＝KQ, ∴FK＝PK＝QK, ∵KJ，PT＝1+(), ∴FJ,KT＝PT﹣PK, ∴F(,)． 故答案为：(,)． 【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解七巧板的特征，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型． 22．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　②③④　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF， ∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， ∵∠D1GF是△EGF一个外角， ∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE， 设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°， 当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°， 但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误； ∵ED1∥FC1， ∴∠EGC＝∠GFC1， 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确； 由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1． 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1， ∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， ∴26°+α+52°＝180°， 解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确； 由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD2是△HGF的一个外角， ∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质． 23．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若∠AOB＝∠COD．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是 　①③　（填序号）． 【考点】余角和补角．版权所有 【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD，故正确； ②由题意可得：∠AOB＝60°﹣40°＝20°＝∠COD， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOB+∠BOC+∠BOC＝180°，即20°+∠BOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝80°， ∴60°+80°+20°＝160°，即射线OD经过刻度线160，故错误； ③如图： ∵∠MOC＝3∠COD＝3∠AOB＝60°，∠MOB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM和∠COM互为余角， ∵射线OM经过刻度线90， ∴∠EOM＝∠FOM＝90°， ∴∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM，∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； ∴正确的有①③， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，看清图形是解题的关键． 24．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C′EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，正确的有 　①②③④　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵AC′∥BD′， ∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确； ∵∠C′EF＝∠FEC， ∴∠C′EC＝2×32°＝64°， ∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②正确； ∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确； ∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 25．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　180°　（用含a和n的代数式表示） 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【解答】解：由折叠可知∠AR1B， ∠AR2Bα， .....． ∠ARn﹣1Bα， ∴∠MAR1＝∠AR1B+∠ABR1＝α， 同理∠MR1R2α， ∠MR2R3α， .....． ∠MRn﹣1Rnα， ∴∠ARnN＝180°； 故答案为：180°． 【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/12 11:24:32；用户：考试管理员；邮箱：XFS-7814584635306914.42133300；学号：61921877 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$