2025年九年级数学中考填空题复习 函数之二次函数

第 1页（共 21页） 解析答案 填空题 1．已知� = 2��2+2是二次函数，那么 m的值是 0 ． 【解答】解：根据已知，得 m2+2＝2， 解得：m＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．已知抛物线 y＝（a﹣3）x2有最高点，那么 a的取值范围是 a＜3 ． 【解答】解：∵原点是抛物线 y＝（a﹣3）x2的最高点， ∴a﹣3＜0， 即 a＜3． 故答案为：a＜3． 【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础． 3．已知点 A（0，m）和 B（﹣1，n）都在抛物线 y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么 m ＜ n（填“＞”、 “＝”、“＜”）． 【解答】解：抛物线 y＝x2﹣4x+c的图象开口向上，对称轴为直线 x＝2，当 x＜2时．y随 x的增大而减 小． ∵0＞﹣1， ∴m＜n． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是关键． 4．若抛物线 y＝x2﹣x+c（c是常数）与 x轴没有交点，则 c的取值范围是 c＞ 14 ． 【解答】解：由题意，∵抛物线 y＝x2﹣x+c（c是常数）与 x轴没有交点， ∴Δ＝1﹣4c＜0． ∴c＞ 14． 故答案为：c＞ 14． 【点评】本题主要考查了抛物线与 x轴的交点，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式来进行判断是关 第 2页（共 21页） 键． 5．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 40m/s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出，小球 的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间的函数关系是 h＝﹣5t2+20t，当飞行时间 t为 2 s时，小球达到最高点． 【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵﹣5＜0， ∴当 t＝2时，h有最大值，最大值为 20， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6．将抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移 2个单位，得到的抛物线是 y＝﹣2（x﹣1）2+5 ． 【解答】解：将抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移 2个单位，得到的抛物线是 y＝﹣2（x﹣1）2+3+2， 即 y＝﹣2（x﹣1）2+5． 故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+5． 【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由 y＝ax2平移得到 y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加 右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可． 7．在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移 5个单位长度，所得 抛物线与 x轴有两个公共点 P、Q，则 PQ＝ 1 ． 【解答】解：将二次函数 y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移 5 个单位长度，所得抛物线的 解析式为： y＝（x﹣2023）（x﹣2024）， 令 y＝（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，则（x﹣2023）（x﹣2024）＝0， ∴x﹣2023＝0或 x﹣2024＝0， 解得：x＝2023或 2024， ∴PQ＝2024﹣2023＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换，抛物线与 x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是 熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 8．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴相交于点 A（1，0）、点 B（3，0），与 y轴相交于点 C，点 D在抛物 线上，当 CD∥x轴时，CD＝ 4 ． 第 3页（共 21页） 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴相交于点 A（1，0）、点 B（3，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线 x= 1+32 =2， ∵抛物线与 y轴相交于点 C，点 D在抛物线上，CD∥x轴， ∴点 D的横坐标为：2×2﹣0＝4， ∴CD＝4﹣0＝4， 故答案为：4 【点评】本题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答． 9．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t， 则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 t＝ 2 s． 【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， 且﹣5＜0， ∴当 t＝2时，h取最大值 20， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 10．已知二次函数 y＝﹣x2+4x+5 及一次函数 y＝﹣x+b，将该二次函数在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线 y＝﹣x+b与新图象有 4个交点时， b的取值范围是 − 294 ＜b＜﹣1 ． 第 4页（共 21页） 【解答】解：如图，当 y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝5，则 A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x轴下方的部分图象的解析式为 y＝（x+1）（x﹣5）， 即 y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线 y＝﹣x+b经过点 A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得 b＝﹣1； 当直线 y＝﹣x+b与抛物线 y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程 x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相 等的实数解，解得 b=− 294， 所以当直线 y＝﹣x+b与新图象有 4个交点时，b的取值范围为− 294 ＜b＜﹣1． 故答案为：− 294 ＜b＜﹣1． 【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 11．如图，用一段长为 16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2． 【解答】解：设与墙垂直的一边长为 x m，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m， ∴矩形围栏的面积为 x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0， 第 5页（共 21页） ∴当 x＝4时，矩形有最大面积为 32m2， 故答案为：32． 【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转 180°，再向下平移 5 个单位，所得到的 抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ． 【解答】解：将抛物线 y＝x2+2x﹣1绕原点旋转 180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1， 即 y＝﹣x2+2x+1， 再将抛物线 y＝﹣x2+2x+1向下平移 5个单位得 y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3， ∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）， 故答案为：（1，﹣3）． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键． 13．如图，抛物线� = 12 � 2 − 4� + 6 与 y轴交于点 A，与 x轴交于点 B，线段 CD在抛物线的对称轴上移动 （点 C在点 D下方），且 CD＝3．当 AD+BC的值最小时，点 C的坐标为 （4，1） ． 【解答】解：作 A点关于对称轴的对称点 A′，A′向下平移 3个单位，得到 A″，连接 A″B，交对称 轴于点 C，此时 AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B， 在� = 12 � 2 − 4� + 6 中，令 x＝0，则 y＝6， ∴点 A（0，6）， 令 y＝0，则 1 2 �2 − 4� + 6 = 0， 解得 x＝2或 x＝6， ∴点 B（2，0）， ∵抛物线的对称轴为直线 x=− −4 2×12 =4， ∴A′（8，6）， ∴A″（8，3）， 设直线 A″B的解析式为 y＝kx+b， 第 6页（共 21页） 代入 A″、B的坐标得 8� + � = 32� + � = 0， 解得 � = 1 2 � =− 1 ， ∴直线 A″B的解析式为 y= 12x﹣1， 当 x＝4时，y＝1， ∴C（4，1）． 故答案为：（4，1）． 【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 14．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点 A的坐标为（− 13，n），与 x轴的一个交点位于 0和 1之间，则以下 结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则 y1＞y2；④若关于 x的 一元二次方程 ax2+bx+c＝4无实数根，则 n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点 A的坐标为（− 13，n）， ∴− �2� =− 1 3． ∴a= 32b， ∵抛物线开口方向向下，即 a＜0， ∴b＜0， 当 x＝0时，y＝c＞0， 第 7页（共 21页） ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得：当 x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴5b+2c＜0，故②正确． ∵直线 x=− 13是抛物线的对称轴， ∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2，故③错误． ∵关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝4无实数根， ∴顶点 A（− 13，n）在直线 y＝4的下方， ∴n＜4，故④正确． 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与 x轴的 交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 15．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的 y与 x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为 0＜y＜5； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则 y1＝y2； ⑤满足 ax2+（b+1）x+c＜2的 x的取值范围是 x＜﹣2或 x＞3． 其中正确结论的序号为 ①②④ ． 【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入 y＝ax2+bx+c得： 16� − 4� + � = 0 � − � + � = 9 � + � + � = 5 ， 解得 � =− 1 � =− 2， � = 8 ∴abc＞0， 第 8页（共 21页） 故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8， ∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当 y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9， ∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根， 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线� = −3+12 =− 1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0， ∴当 x＜﹣1时，y随 x的增大而增大；当 x＞﹣1时，y随 x的增大而减小；当 x＝﹣1时，函数取最大 值 9， ∵x＝﹣3与 x＝1时函数值相等，等于 5， ∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为 0＜y≤9， 故③错误； ∵ �+(−�−2) 2 =− 1， ∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴 x＝﹣1对称， ∴y1＝y2， 故④正确； 由 ax2+（b+1）x+c＜2 得 ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和 y＝﹣ x+2图象如下： 由 � =− � + 2 � =− �2 − 2� + 8， 第 9页（共 21页） 解得 �1 = 2 �1 = 0 ， �2 =− 3 �2 = 5 ， ∴A（2，0），B（﹣3，5）， 由图象可得，当 x＜﹣3或 x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即 ax2+（b+1）x+c＜2， 故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 P处）的高度 OP是 7 4 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到 达最高点时，水平距离是 5m，高度是 4m．若实心球落地点为 M，则 OM＝ 35 3 m． 【解答】解：如图，以 O为坐标原点，OM为 x轴正半轴，OP为 y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0， 7 4 ），B（5，4），其中 B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将 P（0， 7 4 ）代入上式， 解得：a=− 9100， 即抛物线的解析式为：y=− 9100（x﹣5） 2+4， M为抛物线与 x轴的交点， 即 y=− 9100（x﹣5） 2+4＝0， 解得：x1= 35 3 ，x2=− 5 3（舍）， 第 10页（共 21页） ∴OM= 353 m． 故答案为： 35 3 ． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键． 17．抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且 0＜m＜1．下列四 个结论： ①b＞0； ②若 0＜x＜1，则 a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若 a＝﹣1，则关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝2无实数解； ④点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若 x1+x2＞ − 1 2，x1＞x2，总有 y1＜y2，则 0＜m≤ 1 2． 其中正确的是 ②③④ （填写序号）． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且 0＜m＜1， ∴对称轴为直线� =− �2� = −1+� 2 ， ∴− 12＜ −1+� 2 ＜0， ∴� =− �2�＜0， ∵a＜0， ∴b＜0，故①错误； ∵0＜m＜1， ∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于 1， 又∵a＜0， ∴x＝m﹣1时，y＞1， ∴若 0＜x＜1，则 a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确； 由①可得− 12＜ −1+� 2 ＜0， ∴− 12＜ � 2＜0，即﹣1＜b＜0， 当 a＝﹣1时，抛物线解析式为 y＝﹣x2+bx+c， 设顶点线坐标为� = 4��−� 2 4� = −4�−�2 −4 ， ∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1）， ∴﹣1﹣b+c＝1， 第 11页（共 21页） ∴c＝b+2， ∴� = −4�−� 2 −4 = �2+4� 4 = 1 4 � 2 + � = 14 � 2 + � + 2 = 14 (� + 2) 2 + 1， ∵﹣1＜b＜0， 1 4 ＞0，对称轴为直线 b＝﹣2， ∴当 b＝0时，t取得最大值为 2，而 b＜0， ∴关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝2无解，故③正确； ∵a＜0，抛物线开口向下，点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，�1 + �2＞ − 1 2，x1＞x2，总有 y1＜ y2， 又� = �1+�22 ＞ − 1 4， ∴点 A（x1，y1）离� = −1+� 2 较远， ∴对称轴− 12＜ −1+� 2 ≤− 1 4， 解得：0＜� ≤ 12，故④正确； 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌 握二次函数性质是解题的关键． 18．如图 1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图 2是棚顶的竖直高度 y（单 位：m）与距离停车棚支柱 AO的水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图 象，点 B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 CD＝4m，高 DE ＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68）， ∴6﹣4＝2， 在 y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中， 当 x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12， ∵2.12＞1.8， 第 12页（共 21页） ∴货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键． 19．若二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移 1个单位长度后关于 y轴对称．则下列说法正确的 序号为 ①③④ ． ① � � = 2； ②当 3 2 ≤ � ≤ 5 2 时，代数式 a2+b2﹣5b+8的最小值为 3； ③对于任意实数 m，不等式 am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且 x1＜x2，当 x1+x2+2＞0时，一定有 y1＜ y2． 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移 1个单位长度后关于 y轴对称， ∴二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线 x＝﹣1． ∴− �2� =−1． ∴b＝2a． ∴ � � =2，故①正确． 将 b＝2a代入 a2+b2﹣5b+8， ∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8 ＝5（a2﹣2a+1）+3 ＝5（a﹣1）2+3． ∵ 3 2 ≤ � ≤ 5 2 ， ∴当 a= 32时，a 2+b2﹣5b+8取最小值为 5×（ 3 2 −1）2+3= 174 ，故②错误． ∵b＝2a， ∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a ＝am2+2am+a ＝a（m2+2m+1） ＝a（m+1）2． ∵a＞0，（m+1）2≥0， ∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即 am2+bm﹣a+b≥0，故③正确． 第 13页（共 21页） ∵x1+x2+2＞0， ∴ �1+�2 2 ＞ −1． ∴x1，x2的中点在对称轴的右侧． ∵x1＜x2， ∴点 P离对称轴的距离比 Q离对称轴的距离近． ∵抛物线开口向上， ∴y1＜y2，故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与 几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．如图，函数 y= �2 − 2� + 3(�＜2) − 34 � + 9 2 (� ≥ 2) 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线 y＝m（m为 常数）相交于三个不同的点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设 t= �1�1+�2�2 �3�3 ，则 t的取值范围是 3 5 ＜t＜1 ． 【解答】解：由二次函数 y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为 x＝1， ∴当 x＝1时函数有最小值为 2，x1+x2＝2， 由一次函数 y=− 34x+ 9 2（x≥2）可知当 x＝2时有最大值 3，当 y＝2时 x= 10 3 ， ∵直线 y＝m（m为常数）相交于三个不同的点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3， ∴2＜x3＜ 10 3 ， ∴t= �1+�2�3 = 2�3 ， 第 14页（共 21页） ∴ 3 5 ＜t＜1． 故答案为： 3 5 ＜t＜1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点 表示出各个变量的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数 y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上， 当 A，B运动时，点 C也在另一个二次函数图象上运动，设 C（x，y），则 y关于 x的函数表达式为 y ＝x2+2 ． 【解答】解：过 A作 AD⊥x轴于 D，过 B作 BE⊥x轴于 E，连接 AB、OC，如图： 设 A（m，m2），B（n，n2），又 C（x，y）， ∵四边形 OACB是矩形， ∴AB与 OC中点重合，AB＝OC， 而 AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2， ∴ �+ � = 0 + � �2 + �2 = 0 + � �2 +�4 + �2 + �4 = �2 + �2 ， 消去 m、n得： (�2−�)2 2 +（x2﹣y）＝0， ∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0， ∴y＝x2（舍去）或 y＝x2+2， 故答案为：y＝x2+2． 【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是根据四边形 OACB是矩形列出关于 m、 第 15页（共 21页） n、x、y的方程组． 22．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x＝1，给出下列结 论：①abc＜0；②若点 C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于 2；③M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线上两点（x1＜x2），若 x1+x2＞2，则 y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程 ax2+bx+c+1 ＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ． 【解答】解：①抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 ab＜0，而 c＞0，故 abc＜0，正确，符合题意； ②△ABC的面积= 12AB•yC= 1 2 ×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点 A（0，0），即 c＝0 与图象不符，故 ②错误，不符合题意； ③函数的对称轴为 x＝1，若 x1+x2＞2，则 1 2 （x1+x2）＞1，则点 N离函数对称轴远，故 y1＞y2，故③错 误，不符合题意； ④抛物线经过点（3，﹣1），则 y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0）， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程 ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符 合题意； 故答案为：①④． 【点评】本题考查的是抛物线与 x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函 数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 23．已知抛物线 y1＝﹣x2+4x（如图）和直线 y2＝2x+b．我们规定：当 x取任意一个值时，x对应的函数值 分别为 y1和 y2．若 y1≠y2，取 y1和 y2中较大者为 M；若 y1＝y2，记 M＝y1＝y2．①当 x＝2时，M的 最大值为 4；②当 b＝﹣3时，使 M＞y2的 x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当 b＝﹣5时，使 M＝3的 x 的值是 x1＝1，x2＝3；④当 b≥1时，M随 x的增大而增大．上述结论正确的是 ②④ ．（填写所有 正确结论的序号） 第 16页（共 21页） 【解答】解：①当 x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断 4与 4+b的大小，故①错误． ②如图 1中，b＝﹣3时， 由 � =− �2 + 4� � = 2� − 3 ，解得 � =− 1 � =− 5或 � = 3 � = 3， ∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3）， 观察图象可知，使 M＞y2的 x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确， ③如图 2中，b＝﹣5时，图象如图所示， M＝3时，y1＝3， ∴﹣x2+4x＝3， 解得 x＝1或 3， y2＝3时，3＝2x﹣5，解得 x＝4，也符合条件， 故③错误， ④当 b＝1时，由 � = 2� + 1 � =− �2 + 4�，消去 y得到，x 2﹣2x+1＝0， 第 17页（共 21页） ∵Δ＝0， ∴此时直线 y＝2x+1与抛物线只有一个交点， ∴b＞1时，直线 y＝2x+b与抛物线没有交点， ∴M随 x的增大而增大，故④正确． 故答案为②④． 【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思 想思考问题，属于中考常考题型． 24．如图，已知点 A（3，0），B（1，0），两点 C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线 y＝x2上，向左或向右平 移抛物线后，C，D的对应点分别为 C′，D′．当四边形 ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式 为 y＝（x− 2513） 2 ． 【解答】解：过 C、D作 x轴平行线，作 A关于直线 y＝4的对称点 A'，过 A'作 A'E∥CD，且 A'E＝CD， 连接 BE交直线 y＝9于 C'，过 C'作 C'D'∥CD，交直线 y＝4于 D'，如图： 作图可知：四边形 A'ECD和四边形 C'D'DC是平行四边形， ∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且 A'E＝CD，C'D'＝CD， ∴C'D'∥A'E且 C'D'＝A'E， ∴四边形 A'EC'D'是平行四边形， ∴A'D'＝EC'， 第 18页（共 21页） ∵A关于直线 y＝4的对称点 A'， ∴AD'＝A'D'， ∴EC'＝AD'， ∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时 BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为 BE的长度， 而 AB、CD为定值， ∴此时四边形 ABC′D′的周长最小， ∵A（3，0）关于直线 y＝4的对称点 A'， ∴A'（3，8）， ∵四边形 A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4）， ∴E（﹣2，13）， 设直线 BE解析式为 y＝kx+b，则 0 = � + �13 =− 2� + �， 解得 � =− 133 � = 133 ， ∴直线 BE解析式为 y=− 133 x+ 13 3 ， 令 y＝9得 9=− 133 x+ 13 3 ， ∴x=− 1413， ∴C'（− 1413，9）， ∴CC'=− 1413 −（﹣3）= 25 13， 即将抛物线 y＝x2向右移 25 13 个单位后，四边形 ABC′D′的周长最小， ∴此时抛物线为 y＝（x− 2513） 2， 故答案为：y＝（x− 2513） 2． 【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到 C'的坐标． 25．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为 D，其图象与 x轴的交点 A，B的横坐标分别为﹣ 1，3，与 y轴负半轴交于点 C．下面五个结论： ①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当 a= 12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的 a的值可以有三个． 第 19页（共 21页） 那么，其中正确的结论是 ①④ ． 【解答】解：①∵图象与 x轴的交点 A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x=− �2� =1， 即 2a+b＝0； 故①正确； ②由抛物线的开口方向向上可推出 a＞0，而− �2�＞0 ∴b＜0， ∵对称轴 x＝1， ∴当 x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； 故②错误； ③∵图象与 x轴的交点 A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0， ∴10a+2b+2c＝0， ∴5a+b+c＝0， ∴a+4a+b+c＝0， ∵a＞0， ∴4a+b+c＜0， 故③错误； ④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证 D到 x轴的距离等于 AB长的一半； D到 x轴的距离就是当 x＝1时 y的值的绝对值． 当 x＝1时，y＝a+b+c， 第 20页（共 21页） 即|a+b+c|＝2， ∵当 x＝1时 y＜0， ∴a+b+c＝﹣2， 又∵图象与 x轴的交点 A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当 x＝﹣1时 y＝0即 a﹣b+c＝0； x＝3时 y＝0． ∴9a+3b+c＝0， 解这三个方程可得：b＝﹣1，a= 12，c=− 3 2； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证 AB＝BC＝4或 AB＝AC＝4或 AC＝BC， 当 AB＝BC＝4时， ∵AO＝1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2＝16﹣9＝7， ∵由抛物线与 y轴的交点在 y轴的负半轴上， ∴c=− 7， 与 2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得 a= 73 ； 同理当 AB＝AC＝4时， ∵AO＝1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2＝16﹣1＝15， ∵由抛物线与 y轴的交点在 y轴的负半轴上， ∴c=− 15 与 2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得 a= 153 ； 同理当 AC＝BC时 在△AOC中，AC2＝1+c2， 在△BOC中 BC2＝c2+9， ∵AC＝BC， ∴1+c2＝c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个 a值满足条件． 第 21页（共 21页） 故⑤错误． 故答案为：①④． 【点评】二次函数 y＝ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a＞0；否则 a＜0； （2）b由对称轴和 a的符号确定：由对称轴公式 x=− �2�判断符号； （3）c由抛物线与 y轴的交点确定：交点在 y轴正半轴，则 c＞0；否则 c＜0； （4）b2﹣4ac由抛物线与 x轴交点的个数确定： ①2个交点，b2﹣4ac＞0； ②1个交点，b2﹣4ac＝0； ③没有交点，b2﹣4ac＜0。 中考数学第一轮复习 填空题练习 函数之二次函数 填空题： 1．已知是二次函数，那么m的值是 　 　． 2．已知抛物线y＝（a﹣3）x2有最高点，那么a的取值范围是 　 　． 3．已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m 　 　n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 4．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 　． 5．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　 　s时，小球达到最高点． 6．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移2个单位，得到的抛物线是 　 　． 7．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　 　． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝　 　． 9．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝　 　s． 10．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　． 11．如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 　 　m2． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 　 　． 13．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　 　． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 　 　（请填写序号）． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3． 其中正确结论的序号为 　 　． 16．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　m． 17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 18．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 19．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　． ①； ②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2． 20．如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t，则t的取值范围是 　 　． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 　 　． 22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为　 　． 23．已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号） 24．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　． 25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论： ①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个． 那么，其中正确的结论是　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$