14.8 一次函数的应用（8大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.8 一次函数的应用 知识点一 用一次函数解决问题 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点二 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 题型一 利用一次函数解决销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•安徽三模）某商户以每件6元的价格购进若干件饰品，销售一部分饰品后，为增加销售量，该商户决定降价促销，销售过程中总利润y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，根据图象，降价后每件饰品的售价为（　　） A．13元 B．14元 C．20元 D．25元 2．（2024秋•晋源区期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（kg）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A．20kg B．21kg C．22kg D．23kg 3．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 4．（2024秋•宁德期末）某品牌专卖店经营篮球鞋，每个月的净利润y元（总收入﹣总成本），与销售量x双的函数关系如图所示． ①每双鞋的利润为25元； ②当销售量超过100双时开始盈利； ③y与x的函数关系式为：y＝50x﹣5000； ④若专卖店从下个月起店租增加500元，则增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数图象可以由原图象向下平移得到． 以上说法正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 5．（2024秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 6．（2023秋•武侯区校级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 7．（2024秋•瑶海区期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携1935.3克的月球背面土壤样品荣耀归来．为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格； （2）如果购买挂件a盒，则购买印章 　 　盒（用含有a的式子表示）恰好能够配套分发； （3）累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费w元，求w关于a的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 8．（2024秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 9．（2024秋•武汉月考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润w（元）的部分对应值如下表：[月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x/（元/件） 30 35 月销售量y/件 300 250 月销售利润w/元 4500 5000 （1）商品的进价为 　 元/件，y关于x的函数表达式为 　 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤10）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m＝　 　． 题型二 利用一次函数解决行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•道里区校级月考）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（　　）时． A．2 B．1 C． D． 2．（2024•平房区一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　） A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为60km/h D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 3．（2024秋•乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 4．（2024秋•滨湖区期末）已知甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程s（km）与甲货车出发时间t（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．有下列说法：①乙货车的速度为60km/h；②乙到终点时，甲乙相距80km；③点E的坐标为（4，180）；④当t＝1.4h或3.4h时，两车之间距离为100km．其中正确说法的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 6．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 7．（2024•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）a＝　 　； （2）求CD所在直线的函数表达式； （3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？ 8．（2024秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 题型三 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 2．（2024秋•本溪期中）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始3min内只进水不出水，在随后的5min内既进水又出水，最后的5min只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（　　）L． A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2024•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 4．（2024春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 5．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 6．（2024春•广元期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 7．（2024秋•郑州期末）某小区的物业公司在日常检查中发现，小区内的一个蓄水池存在漏水问题．为了解漏水情况，物业人员决定进行监测． 上午9：00，物业人员开始记录蓄水池的水位高度，此时蓄水池的水位高度为6米，每隔1小时记录一次蓄水池的水位高度，相关数据如表： 记录时间 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 流水时间t/时 0 1 2 3 4 水位高度h/米 6 5.5 5 4.5 4 （1）根据表中信息发现，蓄水池的水位高度h（米）与流水时间t（时）是一次函数关系，求h关于t的函数解析式； （2）请你估算物业人员在第6.5小时测量时，蓄水池的水位高度是多少米； （3）请你判断蓄水池中的水完全漏完是几点钟． 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2024秋•雁塔区校级月考）某通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（　　） A．若通话时间少于120min，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200min，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间长 D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145min或185min 2．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 3．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 4．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 5．（2025秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 6．（2024•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 7．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式． 日期 销售记录 6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）． 6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg． 6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg． 6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg． 6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元． 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2023秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 2．（2024秋•紫金县期末）“十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家260km的某地，下面是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象，乐乐一家出发2.3h时，离目的地还有（　　） A．22km B．32km C．238km D．228km 3．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 4．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 5．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 6．（2024春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？ 7．（2024秋•兰州期末）某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元/kg、20元/kg、甲种苹果的进货总金额y（单位：元）与甲种苹果的进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元/kg． （1）求甲种苹果进货总金额y（单位：元）与甲种苹果的进货量x（单位：kg）之间的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若该水果店购进甲、乙两种苹果共200kg，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于50kg，且不高于100kg． ①求销售两种苹果所获总利润w（单位：元）与甲种苹果进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元/kg（a＞0），若所获总利润恰好为940元，则a的值为 　 　． 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2024秋•福田区期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 （1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ （2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 2．（2024秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 3．（2024春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 4．（2024秋•盐都区期末）我区某学校计划举办以“庆元旦，颂祖国”为主题的演讲比赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知2件甲种奖品和1件乙种奖品共需50元，3件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共30件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数表达式； （3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 5．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 6．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 7．（2024春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2024•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式； （2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 2．（2025•福田区一模）某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）写出点A表示的实际意义； （2）观察图象可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择　 　种套餐划算； （3）李明预计每月的通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用． 3． （2024秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 4．（2024秋•中牟县期末）创新中学在举办秋季运动会前，要购置一批体育用品，他们到学校附近的甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下： 甲：一次购买商品总额不超过400元的按原价出售，超出400元的部分按原价的六折出售；乙：所有商品按原价的八折出售． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲专卖店购买实付y甲元，去乙专卖店购买实付y乙元． （1）分别求出y甲，y乙关于x的函数表达式； （2）若学校计划购买1200元的体育用品，选择去哪个专卖店购买比较合算？为什么？ （3）当x＞400时，y甲，y乙的图象交于点P，求出点P的坐标，说明点P的实际意义． 5．（2024•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球． （1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式； （2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 6．（2024秋•碑林区校级期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 7．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 3．（2024春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 4．（2024春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ （北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.8 一次函数的应用 知识点一 用一次函数解决问题 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点二 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 题型一 利用一次函数解决销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•安徽三模）某商户以每件6元的价格购进若干件饰品，销售一部分饰品后，为增加销售量，该商户决定降价促销，销售过程中总利润y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，根据图象，降价后每件饰品的售价为（　　） A．13元 B．14元 C．20元 D．25元 【分析】由图象可知20件总利润为160元，100件的总利润为720元，所以降价后买了100﹣20＝80件，总利润为720﹣160＝560元，即可求解． 【解答】解：∵由图象可知20件总利润为160元，100件的总利润为720元， ∴降价后卖了100﹣20＝80件，降价后的总利润为720﹣160＝560元， ∴降价后每件商品销售的价格为560÷80+6＝13元． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象的性质，解决本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 2．（2024秋•晋源区期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（kg）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A．20kg B．21kg C．22kg D．23kg 【分析】设超过部分的函数解析式为y＝kx+b，将点代入确定函数解析式，然后代入求解即可． 【解答】解：设超过部分的函数解析式为y＝kx+b， 将点（5，30），（15，80）代入得：， 解得：， ∴超过部分的函数解析式为y＝5x+5， 当y＝120时，即5x+5＝120， 解得：x＝23， ∴小丽购买的数量为23kg， 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键． 3．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 4．（2024秋•宁德期末）某品牌专卖店经营篮球鞋，每个月的净利润y元（总收入﹣总成本），与销售量x双的函数关系如图所示． ①每双鞋的利润为25元； ②当销售量超过100双时开始盈利； ③y与x的函数关系式为：y＝50x﹣5000； ④若专卖店从下个月起店租增加500元，则增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数图象可以由原图象向下平移得到． 以上说法正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据图象获取信息分别进行解答和判断即可． 【解答】解：由图象可知，每个月的净利润y元（总收入﹣总成本），与销售量x双的函数关系是一次函数，设函数解析式为y＝kx+b，由图象可知经过点（100，0），（200，5000）， 则， 解得， 即y与x的函数关系式为：y＝50x﹣5000，故③正确， 由图象可知每双的利润为（元），故①错误，不符合题意， 当x＝100时，y＝0，则当销售量超过100双时，开始盈利，故②正确，符合题意， 若专卖店从下个月起店租增加500元，则增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数关系式为y＝50x﹣5000﹣500＝50x﹣5500， ∴增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数图象可以由原图象向下平移500个单位得到的．故④正确，符合题意， 综上可知，说法正确的是②③④， 故选：D． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、从函数图象获取信息等知识，数形结合是解题的关键． 5．（2024秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 【分析】根据图象先求出农民自带零钱和降价前的销售量，再求出降价前每千克的售价，从而得出降价后每千克的售价，从而得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，农民自带零钱为5元，降价前售出土豆30千克， 降价前每千克售价为0.5（元）， ∴降价后每千克售价为0.4元， ∴降价后销售的土豆为15（千克）， ∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克）， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解题关键． 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 【分析】（1）分没有超过10斤和超过10斤两种情况，分别根据“付款金额＝单价×数量”列出函数关系式即可； （2）将x＝8代入相应的解析式求解即可； （3）将y＝130代入函数解析式中计算对应的x的值即可． 【解答】解：（1）由题意得： 当0＜x≤10时，y＝5x， 当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）∵8＜10， ∴小李在该果园购买8斤苹果的花费为：8×5＝40元． 答：小李花了40元． （3）令y＝130，则4x+10＝130，解得：x＝30． 答：小李一共能购买30斤苹果． 【点评】本题主要考查了函数的关系式，利用分类讨论的方法依据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．（2023秋•武侯区校级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式； （2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160； （2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得：x1＝40，x2＝70． 又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售， ∴x＝40， 答：每天的销售单价应为每千克40元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式． 7．（2024秋•瑶海区期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携1935.3克的月球背面土壤样品荣耀归来．为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格； （2）如果购买挂件a盒，则购买印章 　 　盒（用含有a的式子表示）恰好能够配套分发； （3）累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费w元，求w关于a的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【分析】（1）分别设每盒挂件的价格和每盒印章的价格为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买印章的盒数为未知数，根据“购买挂件的个数＝购买印章的个数”列方程，将购买印章的盒数用含a的代数式表示出来即可； （3）分0≤a≤20、a＞20两种情况，将w关于a的函数关系式写成分段函数的形式；将a22代入该函数，求出对应w的值即可． 【解答】解：（1）设每盒挂件的价格为x元，每盒印章的价格为y元． 根据题意，得， 解得． 答：每盒挂件的价格为40元，每盒印章的价格为30元． （2）设购买印章m盒，则30a＝20m， 解得ma， ∴购买印章a盒． 故答案为：a． （3）40a+30a＝85a． 当85a≤1700时，解得a≤20； 当85a＞1700时，解得a＞20． 当0≤a≤20时，w＝85a； 当a＞20时，w＝1700+0.8×85（a﹣20）＝68a+340． 综上，w． 当a22时，w＝68×22+340＝1836． 答：w关于a的函数关系式为w，若有660名学生参加活动，共需要1836元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法是解题的关键． 8．（2024秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可； （3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx， ∵点（120，2400）在该函数图象上， ∴2400＝120k， 解得k＝20， 即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x； （2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n， ∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300， 由可得， 即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元； （3）由图象可得， 甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元）， 当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元）， 由题意可得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1695， 解得a＝113， 即a的值为113． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2024秋•武汉月考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润w（元）的部分对应值如下表：[月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x/（元/件） 30 35 月销售量y/件 300 250 月销售利润w/元 4500 5000 （1）商品的进价为 　 元/件，y关于x的函数表达式为 　 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤10）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m＝　 　． 【分析】（1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤42时，利用函数性质求解即可． 【解答】解：（1）由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为y＝kx+b， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+600； 故答案为：15，y＝﹣10x+600； （2）设该商品的月销售利润为w元， 则w＝（x﹣15）y ＝（x﹣15）（﹣10x+600） ＝﹣10x2+750x﹣9000 ＝﹣10（x﹣37.5）2+5062.5， ∵﹣10＜0，x为整数， ∴当x＝37或38时，w最大，最大值为5060， ∴当该商品的售价是37或38元时，月销售利润最大，最大利润为5060元； （3）根据题意得： w＝（x﹣15﹣m）（﹣10x+600）＝﹣10x2+（750+10m）x﹣9000﹣600m， 对称轴为直线， ∵m≤10， ∴， ∵﹣10＜0， ∴当x＝42时，w取得最大值为3960元， ∴（42﹣15﹣m）（﹣10×42+600）＝3960， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 题型二 利用一次函数解决行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•道里区校级月考）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（　　）时． A．2 B．1 C． D． 【分析】先求出乙的速度，可得甲行驶300千米时，所用的时间为时，从而得到甲的速度，进而得到甲到达B地所用的时间，即可求解． 【解答】解：根据图象中所给的数据可得：乙速度为千米/时， 当y＝300时，乙用的时间为300÷100＝3时， 甲行驶的时间为时， ∴甲的速度为千米/时， ∴甲到达B地的时间为400÷80＝5时， ∴乙比甲从A地到B地时间少5﹣4＝1时． 故选：B． 【点评】本题主要查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024•平房区一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　） A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为60km/h D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 【分析】根据函数图象逐项判断即可． 【解答】解：A、小明全家去阳屏湖时的平均速度为80（km/h）， 故A选项错误，符合题意； B、由图象可知，小明全家停车游玩的时间为6﹣1.5＝4.5（h）， 故B选项正确，不符合题意； C、小明全家返回时的平均速度为60（km/h）， 故B选项正确，不符合题意； D、设小明全家出发后x小时时距家90km， 根据题意得：80x＝90或120﹣60（x﹣6）＝90， 解得x或x， ∴小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时或小时． 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确获取信息是解题的关键． 3．（2024秋•乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可； ②甲出发36分钟后距离乙270米（此时乙到达终点），据此计算起点到终点的距离即可； ③根据速度＝路程÷时间计算即可； ④根据时间＝路程÷速度计算即可； ⑤甲3分钟步行的路程除以两者速度差即可． 【解答】解：甲步行的速度为225÷3＝75（米/分钟）， ∴①正确，符合题意； 起点到终点的距离为75×36+270＝2970（米）， ∴②不正确，不符合题意； 乙步行的速度为2970÷（36﹣3）＝90（米/分钟）， ∴③正确，符合题意； 甲走完全程用了2970÷75＝39.6（分钟）， ∴④不正确，不符合题意； 乙用75×3÷（90﹣75）＝15（分钟）追上甲， ∴⑤正确，符合题意． 综上，①③⑤正确． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． 4．（2024秋•滨湖区期末）已知甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程s（km）与甲货车出发时间t（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．有下列说法：①乙货车的速度为60km/h；②乙到终点时，甲乙相距80km；③点E的坐标为（4，180）；④当t＝1.4h或3.4h时，两车之间距离为100km．其中正确说法的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①设乙货车的速度为v km/h，根据两车在D点相遇时所行路程之和A、B两地之间的距离，列关于v的方程并求解即可； ②根据时间＝路程÷速度求出乙到终点时所用时间，再由路程＝速度×时间求出甲货车在这段时间内行驶的路程，即乙到终点时，甲乙两车之间的距离即可； ③根据②判断即可； ④利用待定系数法分别求出线段CD、DE对应的函数关系式，分别令s＝100，列关于t的方程并求解即可． 【解答】解：设乙货车的速度为v km/h，则2.4（40+v）＝240， 解得v＝60， ∴乙货车的速度为60km/h， ∴①正确，符合题意； 乙到终点时所用时间为240÷60＝4（h），此时甲距离A地40×4＝160（km）， ∴当乙到终点时，甲乙相距160km， ∴②不正确，不符合题意； 根据②，点E的坐标为（4，160）， ∴③不正确，不符合题意； 设线段CD对应的函数关系式为s＝k1t+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将坐标C（0，240）和D（2.4，0）分别代入s＝k1t+b1， 得， 解得， ∴线段CD对应的函数关系式为s＝﹣100t+240（0≤t≤2.4）， 当s＝100时，得﹣100t+240＝100， 解得t＝1.4； 设线段DE对应的函数关系式为s＝k2t+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将坐标D（2.4，0）和E（4，160）分别代入s＝k2t+b2， 得， 解得， ∴线段DE对应的函数关系式为s＝100t﹣240， 当s＝100时，得100t﹣240＝100， 解得t＝3.4， ∴当t＝1.4h或3.4h时，两车之间距离为100km， ∴④正确，符合题意． 综上，正确说法的个数为2，分别为①④． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 5．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【分析】（1）根据图象中的数据，可以写出工厂离目的地的路程； （2）根据图象中的数据，可以计算出s与t之间的函数表达式； （3）根据题意和题目中的数据，可以计算出货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【解答】解：（1）由图可得， 工厂离目的地的路程为880千米， 故答案为：880； （2）设s与t之间的函数表达式为s＝kt+b， ∵点（0，880），（4，560）在该函数图象上， ∴， 解得， 即s与t之间的函数表达式为s＝﹣80t+880； （3）（60﹣10）÷0.1 ＝50÷0.1 ＝500（千米）， 令s＝880﹣500＝380， 则380＝﹣80t+880， 解得t＝6.25， 答：货车行驶6.25小时后会显示加油提醒． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 7．（2024•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）a＝　 　； （2）求CD所在直线的函数表达式； （3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？ 【分析】（1）根据图象中的数据和小林的速度，可以求得小林家与公园之间的路程； （2）根据图象可知：点（9，600），（12，0）在哥哥返回家的过程中y与x之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式； （3）可以分别计算出两次时间，然后作差即可得到小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔． 【解答】解：（1）由图象可得， 小林家与公园之间的路程为：12×50＝600（米）， 故答案为：600； （2）设哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， ∵点（9，600），（12，0）在该函数图象上， ∴， 解得， 即哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+2400（9≤x≤12）； （3）哥哥的速度为：600÷（9﹣6）＝200（米/分钟）， 设小林出发a分钟时，两人相遇， 第一次相遇时，200（a﹣6）＝50a， 解得a＝8； 第二次相遇时，200（a﹣9）+50a＝600， 解得a＝9.6； 即小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2024秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的一半，求得快车速度； （2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式； （3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可． 【解答】解：（1）慢车的速度＝180÷（）＝60千米/时， 快车的速度＝60×2＝120千米/时； （2）快车停留的时间：2（小时）， 2（小时），即C（2，180）， 设CD的解析式为：y＝kx+b，则 将C（2，180），D（，0）代入，得 ， 解得， ∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x）； （3）相遇之前：120x+60x+90＝180， 解得x； 相遇之后：120x+60x﹣90＝180， 解得x； 快车从甲地到乙地需要180÷120小时， 快车返回之后：60x＝90+120（x） 解得x，综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用． 题型三 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可． 【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0）， 把（4，370）和（5，480）代入解析式得：， 解得， ∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70， 当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150， ∴该工程队提高效率前每天修路的长度是75（米）． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 2．（2024秋•本溪期中）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始3min内只进水不出水，在随后的5min内既进水又出水，最后的5min只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（　　）L． A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据图象可得每分钟的进水量为9÷3＝3（L），出水量为24÷（13﹣3）＝2.4（L），容器内水量最多时是在8分钟即可解答． 【解答】解：∵一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始3min内只进水不出水，结合图象得每分钟的进水量为9÷3＝3（L）， 则8分钟的进水量为8×3＝24（L）， ∴每分钟的出水量为24÷（13﹣3）＝2.4（L）， ∴在整个过程中，容器内水量最多有24﹣（8﹣3）×2.4＝12（L）， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象反应的意义是解题的关键． 3．（2024•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 【分析】由图象可得开始4min内进水20L，可求出每分钟进水5L，在随后的8min内既进水又出水，则12min时的水量是30L，列式计算求出每分钟出水量，当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式，即可得出结论． 【解答】解：A．每分进水的速度为：20÷4＝5（L/min）； B．出水管的出水速度是每分钟53.75（L/min）； C．设当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， ∴yx+15（4≤x≤12）； 设t min时该容器内的水恰好为25升，根据题意得， t+15＝25或30﹣3.75×（t﹣12）＝25， 解得t＝8或． 即容器中水为25L的时间是8min或min； D．设m分钟时该容器内的水恰好为10升，根据题意得， 5m＝10或30﹣3.75×（m﹣12）＝10， 解得m＝2或， 即第2或min时容器内的水恰为10升． 故说法中错误的是C． 故选：C． 【点评】本题是一次函数实际应用问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，然后作差即可． 【解答】解：由图象可得， 进水管的速度为20÷4＝5（升/分钟）， 则出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升/分钟）， 5﹣3.75＝1.25（升）， 即水量比出水量每分钟多1.25升， 故答案为：1.25． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即可． 【解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1， ∴， 解得， 即y1＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1）， 设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2， ∴， 解得， 即y2＝6x+2 （0≤x≤1）； 令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2， 解得：x， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 6．（2024春•广元期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）根据函数图象中的数据，可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值，然后再说明a的实际意义即可； （3）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b， ， 解得， 即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）由图象可得， 甲的工作效率为120÷3＝40（个/时）， a＝120+40×（8﹣4）＝280， 即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件； （3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480， 解得c＝7， 即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2024秋•郑州期末）某小区的物业公司在日常检查中发现，小区内的一个蓄水池存在漏水问题．为了解漏水情况，物业人员决定进行监测． 上午9：00，物业人员开始记录蓄水池的水位高度，此时蓄水池的水位高度为6米，每隔1小时记录一次蓄水池的水位高度，相关数据如表： 记录时间 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 流水时间t/时 0 1 2 3 4 水位高度h/米 6 5.5 5 4.5 4 （1）根据表中信息发现，蓄水池的水位高度h（米）与流水时间t（时）是一次函数关系，求h关于t的函数解析式； （2）请你估算物业人员在第6.5小时测量时，蓄水池的水位高度是多少米； （3）请你判断蓄水池中的水完全漏完是几点钟． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将t＝6.5代入h关于t的函数解析式，求出对应h的值即可； （3）将h关于t的函数解析式代入h＝0，解方程求出对应t的值，结合开始记录的时间计算即可． 【解答】解：（1）设h关于t的函数解析式为h＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）． 将t＝0，h＝6和t＝2，h＝5分别代入h＝kt+b， 得， 解得， ∴h关于t的函数解析式为ht+6． （2）当t＝6.5时，h6.5+6＝2.75． 答：蓄水池的水位高度是2.75米． （3）当h＝0时，得t+6＝0， 解得t＝12． 答：断蓄水池中的水完全漏完是下午9：00． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2024秋•雁塔区校级月考）某通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（　　） A．若通话时间少于120min，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200min，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间长 D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145min或185min 【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的函数解析式，再求对应的时间． 【解答】解：A方案的函数解析式为：ya； B方案的函数解析式为：yb； 当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元， 将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故D不符合题意； 观察函数图象可知A、B、C符合题意， 故选：D． 【点评】本题需注意两种付费方式都是分段函数，难点是根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，而后结合图象进行判断． 2．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可； （2）当x＝6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值． 【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴yx+29.75． ∴y关于x的函数关系式为：y29.75； （2）当x＝6.2时， y6.2+29.75＝37.5． 答：此时体温计的读数为37.5℃． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 3．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式； （2）令y＝5400，解方程即可． 【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨， 根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200， ∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200； （2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400， 解得x＝20， 此时30﹣x＝10， 答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 4．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解； （2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b， 则， 解之得：k，b， ∴yx； （2）当x＝39时，y3978.2， ∴一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌不配套． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题时扇形正确理解题意，然后根据题意求出函数关系式即可解决问题． 5．（2025秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）令y＝0时求出x的值即可； （3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可． 【解答】解：（1）∵y是 x的一次函数， ∴设y＝kx+b（k≠0） 将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得 ， 解得： ∴函数表达式为y＝0.2x﹣2， （2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2， ∴x＝10， （3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20， 把y＝7代入解析式，可得：x＝45， 所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45， 故答案为：20≤x≤45． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量． 6．（2024•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题； （2）列出方程组，即可解决问题； （3）由题意当y＝0，x＝150，当x＝0时，y＝75，可得75≤l≤150． 【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b， 则有， 解得， ∴yx+75， 当x＝150时，y＝0， 答：y关于x的函数解析式为yx+75，当x＝150时y的值为0； （2）由题意， 解得， 所以单层部分的长度为90cm； （3）由题意得l＝x+y＝xx+75x+75， 因为0≤x≤150， 所以75x+75≤150， 即75≤l≤150． 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 7．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式． 日期 销售记录 6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）． 6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg． 6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg． 6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg． 6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元． 【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可； （2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可． 【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元） 答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元； （2）设点B坐标为（a，400），根据题意得： （10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200， 解这个方程，得a＝350， ∴点B坐标为（350，400）， 设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），则： ，解得， ∴线段BC所在直线对应的函数表达式为． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2023秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 甲园的门票费用是60元，故选项A正确； 草莓优惠前的销售价格是200÷5＝40（元/千克），故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打40×10＝5折，故选项C正确； 若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园和乙园采花费一样多，故选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024秋•紫金县期末）“十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家260km的某地，下面是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象，乐乐一家出发2.3h时，离目的地还有（　　） A．22km B．32km C．238km D．228km 【分析】用待定系数法可求出1.5＜x≤2.5所对应的函数关系式，再把x＝2.3代入AB所对应的关系式，可求出y的值，再从总路程260千米减去y的值即可． 【解答】解：设1.5＜x≤2.5所对应的y与x的关系式为：y＝kx+b，把（1.5，150），（2.5，260）代入得， ， 解得， ∴线段AB所对应的y与x的关系式为：y＝110x﹣15，（1.5＜x≤2.5）， x＝2.3时，代入y＝110x﹣15得，y＝238， 260﹣238＝22（千米）， 即他们出发2.3小时，离目的地还有22千米． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数的关系式是解决问题的关键，同时要充分了解分段函数的意义． 3．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可． 【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s）， 这段高度为：14﹣11＝3（cm）， 设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3， 解得x＝5， 即匀速注水的水流速度为5cm3/s； “几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5， 解得a＝6， 所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm）， 设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18）， 解得S＝24， 即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2． 故答案为：24cm2． 【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 4．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 【分析】（1）依题意计算求解即可； （2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可． 【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元） 答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元； （2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则 ， 即函数关系式为： ． 【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 5．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再计算即可． 【解答】解：（1）由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为25÷10＝2.5（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝kx+b． ∵点（10，25），（16，49）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝4x﹣15； （3）∵65＞25， ∴该户居民用水量超过10吨． 将y＝65 代入y＝4x﹣15， 4x﹣15＝65， 解得x＝20， 答：该户居民8月共用水20吨． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？ 【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500， 解得k1＝30； ∴y＝30x； 当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0）， 根据题意得，， 解得：， ∴y＝24x+300． ∴y； （2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克， ∴50≤x≤60， w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800． ∵﹣1＜0 ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝60时，wmin＝2740元， 此时乙种水果100﹣60＝40（千克）． 答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 7．（2024秋•兰州期末）某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元/kg、20元/kg、甲种苹果的进货总金额y（单位：元）与甲种苹果的进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元/kg． （1）求甲种苹果进货总金额y（单位：元）与甲种苹果的进货量x（单位：kg）之间的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若该水果店购进甲、乙两种苹果共200kg，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于50kg，且不高于100kg． ①求销售两种苹果所获总利润w（单位：元）与甲种苹果进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元/kg（a＞0），若所获总利润恰好为940元，则a的值为 　 　． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①分50≤x≤60、60＜x≤100两种情况，根据“总利润＝甲种苹果总利润+乙种苹果总利润”分别写出w与x之间的函数关系式，并根据一次函数的增减性和x的取值范围，分别求出w的最大值并比较大小即可； ②由①得到的总利润最大时对应x的值，根据“甲种苹果总利润+乙种苹果总利润＝940”列关于a的方程并求解即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤60时，设y与x之间的函数解析式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）， 将坐标（60，1200）代入y＝k1x， 得60k1＝1200， 解得k1＝20， ∴y＝20x； 当60＜x≤120时，设y与x之间的函数解析式为y＝k2x+b（k2、b为常数，且k2≠0）， 将坐标（60，1200）和（120，2280）分别代入y＝k2x+b， 得， 解得， ∴y＝18x+120． 综上，y与x之间的函数解析式为y． （2）①当50≤x≤60时，w＝25x﹣20x+（20﹣14）（200﹣x）＝﹣x+1200， ∵﹣1＜0， ∴w随x的减小而增大， ∵50≤x≤60， ∴当x＝50时，w值最大，w最大＝﹣50+1200＝1150，200﹣50＝150（kg）； 当60＜x≤100时，w＝25x﹣（18x+120）+（20﹣14）（200﹣x）＝x+1080， ∵1＞0， ∴w随x的增大而增大， ∵60＜x≤100， ∴当x＝100时，w值最大，w最大＝100+1080＝1180，200﹣100＝100（kg）， 1150＜1180． 答：w与x之间的函数关系式为w，甲、乙两种苹果各进货100kg获得的总利润最大． ②由①可知，当x＝100时，总利润最大． 根据题意，得（25﹣a）×100﹣（18×100+120）+（20﹣a﹣14）×（200﹣100）＝940， 解得a＝1.2． 故答案为：1.2． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及一次函数的增减性是解题的关键． 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2024秋•福田区期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 （1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ （2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 【分析】（1）分别设每箱百香果的售价、每箱金桔的售价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可； （2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400﹣m）箱，获利W元．根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集；写出W关于m的函数关系式，并根据一次函数的增减性，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值及此时 400﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：每箱百香果的售价是40，每箱金桔的售价是55元． （2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400﹣m）箱，获利W元． 根据题意，得， 解得100≤m≤300． W＝（40﹣30）m+（55﹣40）（400﹣m）＝﹣5m+6000， ∵﹣5＜0， ∴W随m的减小而增大， ∵100≤m≤300， ∴当m＝100时，W值最大， 400﹣100＝300（箱）． 答：张先生销售100箱百香果、300箱金桔在满足公司要求的情况下，获利最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 2．（2024秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 【分析】（1）设买A种笔记本n本，则买B种笔记本（30﹣n）本，根据总费用＝A，B两种笔记本费用之和列出函数解析式； （2）根据购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，求出n的取值范围，再由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）由题意得：w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240， ∴w关于n的函数表达式为w＝4n+240； （2）由题意得，， 解得5≤n， ∵w＝4n+240， ∴w随着n的增大而增大， ∴当n＝5时，w取最小值，最小值为260， 此时30﹣n＝25． 答：购买A种笔记本5本，B种笔记本25本时费用最少，最少的费用是260元． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 3．（2024春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据（1）的结论，结合“总利润＝甲种特产的利润+乙种特产的利润”解答即可； （3）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨， 10x+（100﹣x）×1＝235， 解得，x＝15， ∴100﹣x＝85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨； （2）W＝（10.5﹣10）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20； （3）由（2）可知W＝0.3x+20， ∵0.3＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵0≤x≤20， ∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 4．（2024秋•盐都区期末）我区某学校计划举办以“庆元旦，颂祖国”为主题的演讲比赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知2件甲种奖品和1件乙种奖品共需50元，3件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共30件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数表达式； （3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【分析】（1）设甲种奖品的单价为a元，乙种奖品的单价为b元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，问题得解； （2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（30﹣x）件，根据总费用等于甲乙两种奖品费用之和得到y与x的函数关系式，化简即可； （3）根据乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，得到x的取值范围，结合一次函数的性质和x为正整数，即可得出结果． 【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为a元，乙种奖品的单价为b元， ∴， ∴． 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元； （2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（30﹣x）件， ∴y＝20x+10（30﹣x）＝10x+300； （3）由题意得 0＜30﹣x≤2x， ∴10≤x＜30且为整数， ∵y＝10x+300，10＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝10时， y最小值＝10×10+300＝400（元），30﹣10＝20（件）， ∴当购买甲种奖品10件，乙种奖品20件时，所需费用最少，最少费用为400元． 【点评】本题为二元一次方程组，不等式，一次函数应用题，理解题目中的数量关系，根据题意列出方程组和函数关系式，并熟知一次函数的性质是解题关键． 5．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“50个哈密瓜搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜，B礼盒装1个哈密瓜，结果哈密瓜全部装完，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份．”可得2x+y＝50，变形即可求解； （2）根据“50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余”可列不等式，求解即可； （3）根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可得：y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+50； （2）由题意得：y＝﹣2x+50①，7x+2y＜140②， 把①代入②，得7x+2（﹣2x+50）＜140， 解得， ∵x为整数， ∴x的值最大为13． 答：A礼盒最多可以装13份； （3）设利润为w， 则w＝90x+30y+8（140﹣7x﹣2y）﹣10×50﹣6×140＝34x+14y﹣220， 把y＝﹣2x+50代入，整理得w＝6x+480， ∵6＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝13时，w的值最大，最大值为：6×13+480＝558（元）， 此时y＝﹣2x+50＝﹣2×13+50＝24（份）， 答：装13份A礼盒，24份B礼盒时利润最大，最大利润为558元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是根据题意列出不等式或函数解析式去求解． 6．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【分析】（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆．根据表格可列出等量关系式7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，化简得y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）由利润＝车辆数×每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆． 7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60， ∴y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）w＝7×0.15x+6×0.2（﹣2x+10）+5×0.1[10﹣x﹣（﹣2x+10）]， 即w＝﹣0.85x+12， ∵﹣0.85＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝2时，w有最大值10.3万元， ∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元． 【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键． 7．（2024春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式； （2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300， ∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300； （2）由题意，得100﹣x≥3x， 解得x≤25． ∵y＝7x+300， ∴k＝7＞0， ∴y随x增大而增大， ∴x＝25时，y的值最大， 100﹣25＝75， 答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题． 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2024•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式； （2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式； （2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可． 【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40； 方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32． ∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32； （2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190； y2＝15.2×10+32＝184， ∵190＞184， ∴选择方案②更为优惠． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式． 2．（2025•福田区一模）某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）写出点A表示的实际意义； （2）观察图象可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择　 　种套餐划算； （3）李明预计每月的通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用． 【分析】（1）结合图象，即可得到答案． （2）结合图象，当时间＜100时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方，即可得到答案． （3）分别求出两种套餐的费用，即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意， 点A表示的实际意义是：通话时间为100分钟，甲、乙两种套餐的通话费用都是40元． （2）根据图象可知， 当时间t＜100时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方，若每月通话费用不足100分钟，则选择甲种套餐划算． 故答案为：甲； （3）根据题意， 甲种套餐的费用：300120元， 乙种套餐的费用：30020＝80元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想解答． 3． （2024秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）将x＝60代入（1）中的函数关系式，求出yA，yB的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算． 【解答】解：（1）由题意可得， 当x≥50时，yA与x之间的函数关系式为：yA＝70+（x﹣25）×6＝6x﹣80， yB与x之间的函数关系式为：yB＝100+（x﹣50）×8＝8x﹣300； （2）当x＝60时， yA＝6×60﹣80＝280， yB＝8×60﹣300＝180， ∵280＞180， ∴yA＞yB， 故选择B方式上网学习合算． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值． 4．（2024秋•中牟县期末）创新中学在举办秋季运动会前，要购置一批体育用品，他们到学校附近的甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下： 甲：一次购买商品总额不超过400元的按原价出售，超出400元的部分按原价的六折出售；乙：所有商品按原价的八折出售． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲专卖店购买实付y甲元，去乙专卖店购买实付y乙元． （1）分别求出y甲，y乙关于x的函数表达式； （2）若学校计划购买1200元的体育用品，选择去哪个专卖店购买比较合算？为什么？ （3）当x＞400时，y甲，y乙的图象交于点P，求出点P的坐标，说明点P的实际意义． 【分析】（1）根据两个专卖店的优惠活动分别写出y甲，y乙关于x的函数表达式即可； （2）将x＝1200分别代入y甲，y乙关于x的函数表达式求出对应函数值并比较大小即可得出结论； （3）设点P的坐标为（x，y），将它分别代入y甲，y乙关于x的函数表达式，两方程联立构成二元一次方程组并求解，根据点P的坐标描述基实际意义即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤400时，y甲＝x；当x＞400时，y甲＝400+0.6（x﹣400）＝0.6x+160；y乙＝0.8x， ∴y甲关于x的函数表达式为y甲，y乙关于x的函数表达式为y乙＝0.8x． （2）选择去甲专卖店购买比较合算．理由如下： 当x＝1200时，y甲＝0.6×1200+160＝880，y乙＝0.8×1200＝960， ∵880＜960， ∴选择去甲专卖店购买比较合算． （3）设点P的坐标为（x，y），则， 解得， ∴点P的坐标为（800，640），实际意义为当购买800元的体育用品时，两个专卖店需要的实付款均为640元． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式、掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 5．（2024•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球． （1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式； （2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可； （2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可． 【解答】解：（1）方案一的总费用为y1＝0.8×50x＝40x； 当x≤80时，方案二的总费用为y2＝50x， 当x＞80时，方案二的总费用为y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600， ∴方案二的总费用为y2； （2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．理由： ①当x≤80时， ∵40x＜50x， ∴y1＜y2， ∴选择方案一更省钱； 当80＜x＜160时， ∵40x＜30x+1600， ∴y1＜y2， ∴选择方案一更省钱； ②当x＝160时， ∵40x＝30x+1600， ∴y1＝y2， ∴两种购买方式花费相同； ③当x＞160时， ∵40x＞30x+1600， ∴y1＞y2， ∴选择方案二更省钱． 综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 6．（2024秋•碑林区校级期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y甲、y乙的解析式； （2）根据（1）中解析式，将x＝15代入分别求出，比较即可； （3）分三种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 【解答】解：（1）由题意得： y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550， y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720， （2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元）， y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元）， ∵925＜1057.5， ∴方案甲更省钱； （3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50， 当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48， ∵50＞48， ∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 【点评】本题考查一次函数的实际应用以及方案设计，理清数量关系是解决问题的关键． 7．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 【分析】（1）根据题意可得y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标，再根据点C，D，E的坐标可得结论． 【解答】解：（1）由题意得y1＝0.45x；y2＝0.15x+600；y3＝1350； （2）解方程0.45x＝0.15x+600，得x＝2000， 0.45×2000＝900， 故点C的坐标为（2000，900）； 解方程0.45x＝1350，得x＝3000， 故点D的坐标为（3000，1350）； 解方程0.15x+600＝1350，得x＝5000， 故点E的坐标为（5000，1350）； 由图象可知，当0＜x＜2000时，采用方案一更合算；当x＝2000时，费用方案一，二费用一样；当2000＜x≤5000时，采用方案二更合算；当x＝5000时，方案二，三费用一样，当x＞5000时，采用方案三更合算． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，yAD×AP4×x＝2x； 当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，yAD×AB4×3＝6； 当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，yAD×PD4×（10﹣x）＝﹣2x+20， 综上所述，y； （2）函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴△APD的面积的最大值是6． 【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s； （2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t； （3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t，t． 【解答】解：（1）点P在AB上运动的时间为 6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s， 当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是6×6＝18cm2； 故答案为：6，2，18； （2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t， SAD•PD6×（30﹣2t）＝90﹣6t； （3）当0≤t≤6时，S＝3t， △APD的面积为10cm2，即S＝10时， ∴3t＝10， ∴t， 当12≤t≤15时，90﹣6t＝10， ∴t， 所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10cm2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，函数的图象，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分类讨论思想的运用． 3．（2024春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 【分析】（1）由图象知，当x＝0时，S＝12，代入三角形面积公式，可得AF的长； （2）根据SCP×AF12﹣2x即可； （3）由题意知，y2x，当△APC的面积与△ABP的面积相等时，则2x＝12﹣2x，从而得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时， S＝S△ABC12， ∴12， ∴AF＝4， 故答案为：4； （2）SCP×AF12﹣2x， 故答案为：12﹣2x； （3）由题意知，y2x， 当△APC的面积与△ABP的面积相等时， 2x＝12﹣2x， ∴x＝3， ∴x＝3时，△APC的面积与△ABP的面积相等． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解函数图象中关键点所代表的意义，理解动点的完整运动过程． 4．（2024春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．； （3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程． 【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变， 则a秒时，点P在点AB上，则10AP＝30， ∴AP＝6，即6秒时，P、Q两点同时改变速度， ∴a＝6； （2）由（1）6秒后点P变速， ∴点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6（6≤x≤20）， ∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm， ∴点Q还剩的路程为y2＝34﹣12（x﹣6）x（6≤x）； （3）当P、Q两点相遇前相距3cm时， x（2x﹣6）＝3， 解得x＝10； 当P、Q两点相遇后相距3cm时， （2x﹣6）﹣（x）＝3， 解得x， ∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm． 【点评】本题是四边形综合题，考查双动点问题，矩形的性质，一次函数的基本性质和函数的图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 【分析】（1）由题意得出AB＝6，AB+BC＝18，得出AD＝BC＝12即可； （2）当0≤x≤3时，由三角形面积公式得出y＝6x； （3）分两种情况：①当点P在AB上时，则y＝12x＝12，得出x＝1； ②当点P在CD上时，由三角形面积公式得出y＝144﹣12x，由题意得出144﹣12x＝12，解得x＝11即可； （4）延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，此时△APD的周长最小；证出△AA'D是等腰直角三角形，得出∠A'＝45°，由线段垂直平分线的性质得出AP＝PA'，得出∠A'＝∠BAP＝45°，由三角形外角性质即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝AB＝3×2＝6，AB+BC＝9×2＝18， ∴AD＝BC＝18﹣6＝12， 故答案为：6，12； （2）当0≤x≤3时，动点P在线段AB上，如图1所示： ∴y12×2x＝12x； 即y与x之间的关系式为y＝12x（0≤x≤3）； （3）分两种情况： ①当点P在AB上时，如图1所示： 则y＝12x＝12， 解得：x＝1； ②当点P在CD上时，如图3所示： 则AB+BC+CP＝2x，CP＝2x﹣6﹣12＝2x﹣18， ∴PD＝CD﹣CP＝6﹣（2x﹣18）＝24﹣2x， ∴△APD的面积为yAD×PD12×（24﹣2x）＝144﹣12x， 当y＝12时，144﹣12x＝12， 解得：x＝11； 综上所述，当y＝12时，x的值为1s或11s； （4）存在点P使得△APD的周长最小，∠APD＝90°；理由如下： 延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，如图4所示： 此时△APD的周长最小； AA'＝AB+A'B＝6+6＝12， ∴AD＝AA'＝12， ∴△AA'D是等腰直角三角形， ∴∠A'＝45°， 又∵∠ABC＝90°，BP是AA'的中垂线， ∴AP＝PA'， ∴∠A'＝∠BAP＝45°， ∴∠APD＝∠A'+∠BAP＝90°． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形面积公式、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数图象以及分类讨论等知识；理解题意和图象，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 6 / 27 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