17.5 一元二次方程的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 17.5 一元二次方程的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性. （重点、难点） 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 情景导入 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 新知探究 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次降低前的量 5000(1-x) 第一次降低后的量 5000 下降率x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1-x)2 5000(1-x) 5000(1-x)2 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 知识归纳 例 1 17.1 节中的问题 2. 解 设小路的宽是 x m. 根据题意，得 32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570. 解得 x1 = 1，x2 = 35. 结合题意，x = 35 不可能，因此，只能取 x = 1. 答：小路的宽应为 1 m. 例题讲解 例 2 原来每盒 27 元的一种药品（如图），经两次降价后每盒售价为 9 元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 解 设该种药品两次平均降价率是 x. 根据题意，得 27(1 – x)2 = 9. 解得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42. 答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%. 例 3 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3 000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 .求新品种花生产量的增长率. 分析：设新品种花生产量的增长率为 x，则新品种花生出油率的增长率为 ，根据“新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980”可列出方程. 解 设新品种花生产量的增长率为 x，根据题意，得 3 000（1 + x）·[ 50%（1+ x）] = 1 980. 解方程，得 x1 = 0.2，x2 = –3.2（不合题意，舍去） 答：新品种花生产量的增长率为 20%. 例 3 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3 000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 .求新品种花生产量的增长率. （1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解； （2）若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是A，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”，降低取“－”. x x – 40 20 20 解 设原金属片的边长为 x cm， 则方盒的底边长是（x – 40）cm. 根据题意，得 20(x – 40)2 = 2880. 解方程得 x1 = 52，x2 = 28. x2 不符合题意，所以 x = 52. 答：原金属片的边长为 52 cm. 例 4 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高 20 cm，容积为 2 880 cm3 的开口方盒.问原金属片的边长是多少？ 例 5 一组学生组织春游，预计共需费用 120 元.后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3 元.问原来这组学生的人数是多少？ 分析：设原来这组学生的人数是 x 人，则把题中信息理成下表： 总费用/元 人数/人 每人费用/元 原来 120 现在 120 x 120 x x+2 120 x+2 本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用 – 加人后该组学生每人分摊的费用 = 3 元. 解 设原来这组学生的人数是 x 人，那么每人分摊的费用是 元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是 元. 根据等量关系得 120 x 120 x+2 方程两边同乘以 x（x + 2），整理，得 x2 + 2x – 80 = 0. 解这个方程，得 x1 = –10（不合题意，舍去），x2 = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 例 5 一组学生组织春游，预计共需费用 120 元.后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3 元.问原来这组学生的人数是多少？ 课堂练习 1.如果两个连续偶数的积是 288,求这两个数。 解:设较小的偶数为x,则较大的偶数为 x+2. 根据题意,得x(x+2)= 288,整理,得 x²+2x-288=0. 解这个方程,得x1= 16,x₂=-18. 当x=16 时,x+2=18; 当x=-18 时,x+2=-16. 答：这两个数是 16,18 或-18.-16. 解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为： 整理，得5x2-108x+324=0 解得 x1=18，x2=3.6 3.6＜3+3时，3不合题意，舍去. ∴x=18 答：这根水管原来的内壁直径18 mm. 2.一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来 的.求这根水管原来的内壁直径. 解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x， 可列方程为： 整理，得25x2+50x−11=0 解得 x1=0.2，x2= −2.2 −2.2 ＜0不合题意，舍去. ∴x=0.2 答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%. 3.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率. 知识点 几何问题 1.[2024杭州模拟] 有一张长方形桌子的桌面长 ，宽 .有一块长方形 台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等.设台 布各边垂下的长度为 ，由题意可列方程( ) C A. B. C. D. 分层练习 基础题 18 2.[2024北京顺义区模拟] 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为 ，宽为 .停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地总面积为 ， 列方程求解车道宽度时，设车道宽度为 ，下列方程正确的是( ) D A. B. C. D. 19 3.[2024淮北期中] 阿进同学有一块长 ， 宽 的长方形纸板，他想制作一个有盖的 长方体盒子.为了合理使用材料，他设计了如 D A. B. C. D. 图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左 侧两个空白部分为正方形.如果裁剪并折出底面积为 的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左 侧正方形的边长是( ) 20 知识点 增长（降低）率问题 4.[2024重庆] 重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线 安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第 二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为_____ ______________. 5.一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒为27元，两次降价的百分率相 同，则每次降价的百分率为( ) C A. B. C. D. 21 知识点 传播问题 6.[2024哈尔滨一模] 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮 感染就会有81台电脑被感染.设每轮感染中平均一台电脑可感染 台，下面所列方 程正确的是( ) D A. B. C. D. 22 知识点 销售问题 7.[2024长沙模拟] 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比” 的说法.察觉到商机的某服装超市以每件80元的价格购进一批军大衣，经调查发 现，定价为每件130元时，一天可以卖出100件，每降价1元，可以多卖出10件， 服装超市一天要想获得8 000元利润，应降价多少元？设应降价 元，则由题意 列方程应为( ) D 23 A. B. C. D. 【点拨】降价元，则每天可卖出 件， 由题意得 ，即 .故选D. 24 知识点 数字问题 8.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方 和比这个两位数大4，设个位数字为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 25 知识点 将分式方程转化为一元二次方程 9.把分式方程 化为整式方程，正确的是( ) B A. B. C. D. 26 知识点 可转化为一元二次方程的分式方程的应用 10.某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销 活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，求 则该品牌饮料每箱的数量. 【解】设该品牌饮料每箱的数量为 瓶， 由题意得 ， 解得（不合题意舍去）， ， 经检验， 是原分式方程的解. 该品牌饮料每箱的数量为10瓶. 27 11.[2024济南期中] 对于一元二次方程， 我国古代数学家研究过其几何解法， 以方程 ，即 为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的 方法是：构造图（如图①）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四 个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得方程的正 数解 综合应用题 28 为 .下列方程中能用图②解释其几 何解法的方程是 ( ) A. B. C. D. D 12.如图是一块长方形菜地,, ，面积为.现将边 增加 . 30 （1）如图①，若，边减少 ，得到的长方形面积不变，则 的值是___. 6 【点拨】根据题意，得起始长方形的 面积为 ，变化后 长方形的面积为 . ，边减少 ，得到的长方形面积不变， ，解得 . 31 （2）如图②，若边增加，有且只有一个 的值，使得到的长方形面积 为，则 的值是_________. 32 根据题意，得 ，变化后长方形的面积为 ， ， ， ， . 有且只有一个 的值满足该方程， ， ， 解得,（舍去） . 33 13.[2024阜阳三模] 某健身达人2024年2月份在网上开通直播分享健身经验和 健康饮食，吸引了大批粉丝.2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人 数为14.4万人. （1）求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率. 【解】设新增关注人数的月平均增长率为 ，则 ， 解得, （舍去）. 答：2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均 增长率为 . 34 （2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增 关注人数能达到20万人？ 5月份新增关注人数为 （万人）， 6月份新增关注人数为 （万人）. 答：6月份该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人. 35 14.小明的爸爸做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购 甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果 的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8 元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出 时，出现滞销，他便按原售价 的五折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚 钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 36 【解】设甲种水果的批发价为 元/千克，则乙种水果的批发价为 元/千克， 由题意，得 ，化为整式方程，得 ， 解得 ， .经检验，， 都是原分式方程的根. 但时，乙种水果的批发价为 （元），高于零售价， 故不合题意，舍去， . 甲： （元）， 乙： （元）， （元） 这天卖水果赚钱了，赚了44元. 37 15.【实践活动】学校课外兴趣活动小组准备利用长为 的墙和一段长为 的篱笆围一个长方形苗圃园，设平行于墙的一边的长为 . 创新拓展题 38 （1）如图①，长方形苗圃园的一边靠墙，另三边 ,,均由篱笆围成. 当苗圃园的面积为时，用含 的代数式表示的长，并求 的值； 39 【解】由题意得 . 当苗圃园的面积为时， ， 整理,得，解得, . 长方形苗圃园的一边靠墙，墙的长为 ， ， . 当苗圃园的面积为时， 的值为6. 40 （2）如图②，如果长方形苗圃园的一边由墙 和一节篱笆构成，另三边 ,, 均由篱笆围成.当苗圃园的面积为时，求 的值. 由题意得 .当苗圃园的面积为时， ，整理,得，解得, . 由题意可得解得， . 当苗圃园的面积为时， 的值为12. 41 16.[2024淄博期中] 小李大学毕业后自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款 节能灯，该灯的成本是40元/盏.通过调研发现，若按50元/盏的价格销售，一个月 可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏. （1）写出月销售量（盏）与销售单价 （元/盏）之间的函数关系式. 【解】根据题意，得 . 42 （2）若想让节能灯的月销售利润达到8 000元，且尽快减少库存，则节能灯的 销售单价应定为多少？ 根据题意，得 ， 解得或 （舍去）， 节能灯的销售单价应定为60元/盏. 43 （3）在解决数学问题中，借助“配方”的方法可以求某些代数 式的最大值，例如： . ， 44 ， 当时，取得最大值 ， 即代数式的最大值为，此时 . 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出 这种节能灯的销售单价定为多少时，月销售利润能取得最大 值，最大利润是多少元？ 根据题意，得 . ， ， 当时， 取得最大值9 000. 销售单价定为70元/盏时，月销售利润能取得最大值，最大 利润是9 000元. 返回 46 1．在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离 h（单位：m）与下落时间 t（单位：s）有如下关系：h = 4.9t2．今有一铁球从 h = 44.1 m 的高处自由落下（如图），求铁球落到地面所用的时间． 解：根据题意得 44.1 = 4.9t2，即 t2 = 9， 解得 t1 = 3，t2 = – 3（舍去）． 答：铁球落到地面所用的时间为 3 s． 习题 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 3，且个位上的数字的平方等于这个两位数，求这个两位数． 解：设个位上的数字为 x，则十位上的数字是 (x – 3)，这个两位数是 10 (x – 3) + x． 依题意得 x2 = 10 (x – 3) + x， 解得 x1 = 5，x2 = 6，∴ x – 3 = 2 或 3． 答：这个两位数是 25 或 36． 3．有一张长方形的桌子，长 2 m，宽 1 m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的 2 倍．问桌布的长和宽各是多少？ 解：设桌布的长为 x m，则各边垂下的长度为 ( − 1) m，桌布的宽为 (1 + x − 2) = (x − 1) m． 依题意得 x (x − 1) = 2×2×1，即 x2 − x − 4 = 0． 解得 x1 = ，x2 = （舍去）．x − 1 = . 答：桌布长为 m，宽为 m． 4．某中学开展植树活动，连续四年共植树 1999 棵．已知第一年植树 344 棵，第二年植树 500 棵．如果第三年和第四年植树棵数的增长率相同，那么该校第三年和第四年各植树多少棵？ 解：设第三年植树棵数的增长率为 x，依题意，得 344 + 500 + 500 (1 + x) +500 (1 + x)2 = 1999， 整理，得 100x2 + 300x − 31 = 0， 解得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = − 3.1（不合题意，舍去）. 500×(1 + 10%) = 550(棵)，550×(1 + 10%) = 605(棵). 答：该校第三年和第四年各植树 550 棵和 605 棵． 5．把 195 张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少 2．问学生有多少人？ 解：设学生有 x 人．根据题意，得 x (x − 2) = 195， 解得 x1 = 15，x2 = − 13（舍去）． 答：学生有 15 人． 6．果园内种了 600 棵橘子树，每行所种的棵数比行数的 2 倍少 10，问每行种多少棵橘子树？ 解：设所种橘子树行数为 x ，根据题意，得 x (2x − 10) = 600， 解得 x1 = 20，x2 = − 15（舍去）． 则每行所种的棵数为 2×20 − 10 = 30． 答：每行种 30 棵橘子树． 一元二次方程的应用 增长率 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 降低率 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 平均变化率问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 其他类型问题 课堂小结 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$