精品解析：江西省赣州市于都县2024-2025学年 上学期九年级数学期中试卷

2024-2025学年第一学期期中质量检测卷 九年级数学 （考试时间为120分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x 一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 6. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ） A. 14 B. C. 240 D. 44 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线与y轴交于点，则点的坐标为________． 8. 若点与点关于原点对称，则的值为______． 9. 将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为_____． 10. 下表为二次函数自变量x与函数值y之间满足的数量关系，则时，______． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 5 … 11. 如图，已知，拋物线和线段，点和点坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后，抛物线的顶点恰好在线段上，则的值为_________． 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 解下列方程： （1）；（用配方法求解） （2） 14. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，，的对应点分别为，，且，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 15. 已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 16. 若点关于原点对称的点是第一象限的点，求的取值范围． 17. 图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． （1）在图1中，画出将绕点D顺时针旋转得到的； （2）图2中，画出，使与关于点D成中心对称． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 19. 若二次函数的与的部分对应值如表： … … … … （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数图象． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式我们把形如（，，是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：．下面是代数推理过程： 解： ． 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是________． （2）因式分解：的结果是________． （3）请用阅读内容中方法，因式分解：． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系 （1）思路梳理：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点共线，易证________，故之间的数量关系为________． （2）类比引申：如图2，点分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为________，并给出证明． （3）联想拓展：如图3，在中，已知垂足于点D，且．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期中质量检测卷 九年级数学 （考试时间为120分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选D． 4. 如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，根据旋转可得：，即可得到结论． 【详解】解：由旋转可得：， ， ， ， ． 故选：C． 5. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据二次项系数大于0可得开口向上，一次项系数为0，可得对称轴为轴，进而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，故A说法错误，B说法正确， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D说法错误， ∴当时，有最小值，故C说法错误， 故选B． 6. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ） A. 14 B. C. 240 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵在最适宜温度时，酶的活性最强， ∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线与y轴交于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出的值是解题的关键． 令，求出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与y轴交于点， 令， ， 点的坐标为， 故答案为： ． 8. 若点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键．本题直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ∴， 故答案为：． 9. 将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为_____． 【答案】3x2﹣5x﹣10＝0 【解析】 【分析】去括号，移项，即可得出答案． 【详解】解：3x2＝5（x+2）， 3x2＝5x+10， 3x2﹣5x﹣10＝0， 故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键． 10. 下表为二次函数自变量x与函数值y之间满足的数量关系，则时，______． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 5 … 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴时， 故答案为：5． 11. 如图，已知，拋物线和线段，点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后，抛物线的顶点恰好在线段上，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 先将函数解析式化为顶点式，根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，得到平移后的抛物线解析式，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 将抛物线向上平移个单位长度后得到的抛物线为， 抛物线的顶点恰好在线段上， ， 故答案为： ． 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，一是点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，此时；二是点在上，可证明，则是等腰三角形，此时；三是是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，可求得，此时． 【详解】解：如图1，点在上， 由旋转得， ，， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等腰三角形， ； 如图2，点在上， ，， ， ， 是等腰三角形， ； 如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题重点考查平行四边形性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 解下列方程： （1）；（用配方法求解） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用配方法，即可解答； （2）利用公式法，即可解答； 选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。 【小问1详解】 解：， 化， 配方，得，即 直接开平方，得 所以，； 【小问2详解】 解：由方程可得：，，， ， 所以 所以，． 14. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，，的对应点分别为，，且，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，由已知直接可得旋转中心为点，旋转的度数为，而，，即得，由此可求出的度数．解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵等腰直角三角板在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转中心为点，，，， ∴旋转的度数为：， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的度数为． 15. 已知抛物线顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式写出顶点坐标，代入直线解析式求出即可. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，， ， 点在直线上， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式是解题的关键． 16. 若点关于原点对称的点是第一象限的点，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点的性质，直接利用第一象限内点的坐标特征列出不等式组求解即可得出答案．正确记忆各象限内点的坐标特征是解题关键．也考查了解一元一次不等式组． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， 又∵点关于原点对称的点是第一象限的点， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 17. 图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． （1）在图1中，画出将绕点D顺时针旋转得到的； （2）在图2中，画出，使与关于点D成中心对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可． 【小问1详解】 解：如图1，为所作； ； 【小问2详解】 解：如图2，为所作； ． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 19. 若二次函数的与的部分对应值如表： … … … … （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数图象． 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，待定系数法确定函数的解析式，根据表中数据确定抛物线的顶点坐标是解题的关键． （1）由表中数据可得到抛物线的顶点，再把解析式设为顶点式，再把，代入所设的解析式求解即可； （2）根据表中数据用五点法即可画出函数图象； 【小问1详解】 解：由表中数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示： 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴△=， ∴方程总有两个实数根． （2）∵， ∴， 解得：，， ∵该方程有一个根小于2， ∴． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式我们把形如（，，是常数，）多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：．下面是代数推理过程： 解： ． 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是________． （2）因式分解：的结果是________． （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的应用， （1）读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案； 正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解得， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解得， ， ∴，， ∴． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 六、解答题（本大题共12分） 23. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系 （1）思路梳理：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点共线，易证________，故之间的数量关系为________． （2）类比引申：如图2，点分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为________，并给出证明． （3）联想拓展：如图3，在中，已知垂足于点D，且．求的长． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，将沿翻折得，沿翻折得，延长、相交于G，先证明四边形是正方形，再由勾股定理求AD的长即可． 【小问1详解】 解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图2，， 理由是： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则在上， 由旋转得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，将沿翻折得，沿翻折得，延长、相交于G， ∵， ∴， 由翻折可得：，，，，，，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得 解得， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过翻折、旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$