精品解析：广东省“3+证书”考试月度中职联合模拟考试2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试题

2023年广东省“3+证书”考试月度联合模拟考试第三次月考 数学试卷 2023-10 本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举行，在选拔参赛队员时，我国女子沙滩排球队从4名运动员中选出了2名来参加比赛，那么参赛运动员名单组合的结果有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 4. 下列函数在实数范围内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，若，则等于（ ） A. 7 B. C. D. 5 8. 已知双曲线的焦点坐标为和，则该双曲线的顶点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 11. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知的平均数为5，那么的平均数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 13. 已知函数则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 已知圆心为的圆被直线截得的弦长为4，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数和满足，其中为偶函数，当时，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 16. 在一个不透明的箱子里，装有10个大小相同但颜色不全相同的小球，若其中有2个红球，现从中任取1个球，则取到红球的概率为_______. 17. 函数的最小正周期为_______． 18. 已知点，点，则_______． 19. 已知等差数列的前三项为，则实数_______． 20. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，直角梯形的顶点为原点，顶点在轴上，点为的中点，其中，设点的横坐标为，直角梯形的面积为． （1）求关于的函数解析式； （2）设的面积为，当时，求点的坐标． 22. 已知在中，是边上的点，且. （1）求的大小； （2）若，，求的周长. 23. 已知数列的前项和，等比数列满足． （1）求出的值，并求等比数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 24. 如图所示，已知椭圆的左，右焦点分别为，且，椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，定点的坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）当取得最小值时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年广东省“3+证书”考试月度联合模拟考试第三次月考 数学试卷 2023-10 本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解 【详解】因为集合， 集合包含所有大于或等于2的实数， 所以， 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负且分母不为零，即可解得. 【详解】要使函数 有意义，则且， 解得， 因此，函数的定义域为 ， 故选：A 3. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举行，在选拔参赛队员时，我国女子沙滩排球队从4名运动员中选出了2名来参加比赛，那么参赛运动员名单组合的结果有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合的意义与计算公式即可得解. 【详解】依题意，从4名运动员中选出了2名，有种组合结果. 故选：B. 4. 下列函数在实数范围内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，逐项分析反比例函数，指数函数，二次函数以及幂函数的单调性. 【详解】选项A，反比例函数定义域为，函数在区间和区间上分别单调递减，不符合， 选项B，指数函数的底数，在定义域上单调递减，不符合， 选项C，二次函数的对称轴为，开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，不符合， 选项D，函数的定义域为，设且， 则，， 函数在定义域上单调递增，符合. 故选：D 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂运算和对数运算性质，即可求解. 【详解】选项A中，，错误， 选项B中，，错误 选项C中，，错误， 选项D中，，正确. 故选：D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】当时，所以“”“”， 当时或，所以“”“”， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知向量，若，则等于（ ） A. 7 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解. 【详解】因为向量和，且， 根据向量平行的性质得到， 解得， 故选：B 8. 已知双曲线的焦点坐标为和，则该双曲线的顶点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的方程与焦点坐标求得，从而得解. 【详解】因为双曲线的焦点坐标为和， 所以，则，则， 所以该双曲线的顶点坐标为和. 故选：C. 9. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的正切值与角的范围求得的值，再利用诱导公式即可得解. 【详解】因为，且，所以， 所以. 故选：B. 10. 已知数列满足，则等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系依次计算各项，即可求解. 【详解】因为数列中，（）， 根据递推关系，可以依次计算出数列的后续项： ， ， ， ， 所以，. 故选：A. 11. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准式，即可得到准线方程. 【详解】抛物线化为标准式为，抛物线开口向左， 所以，抛物线的准线方程为， 故选：D. 12. 已知的平均数为5，那么的平均数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数的计算公式即可得解. 【详解】因为的平均数为5， 所以， 所以的平均数为 . 故选：B. 13. 已知函数则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将自变量代入分段函数中对应的解析式，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：C. 14. 已知圆心为的圆被直线截得的弦长为4，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，再利用垂径定理和勾股定理求半径，最后得出圆的标准方程. 【详解】圆心到直线的距离为， 由于圆心为的圆被直线截得的弦长为， 所以，即， 即圆的半径， 根据圆心和半径，得到圆的标准方程为， 故选：A. 15. 已知函数和满足，其中为偶函数，当时，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件得到，进而由的奇偶性求得，进而求即可得解. 【详解】因为，， 所以， 因为是偶函数，， 又由，得， 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 16. 在一个不透明的箱子里，装有10个大小相同但颜色不全相同的小球，若其中有2个红球，现从中任取1个球，则取到红球的概率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】依题意，设事件A为取到红球， 从题干可知，从10个球中任取1个球，那么基本事件的总数， 因为箱子里有2个红球，事件A包含的基本事件个数， 所以，即所求概率为. 故答案为：. 17. 函数的最小正周期为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可求解. 【详解】函数 ， 最小正周期为，得， 故答案为：. 18. 已知点，点，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，求出模长，即可. 【详解】由题意知点，点， 所以， 所以. 故答案为：5. 19. 已知等差数列的前三项为，则实数_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为为等差数列的前三项， 所以，解得， 经检验，满足题意，故. 故答案为：. 20. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线垂直的性质假设出所求直线，再代入点即可得解. 【详解】因为所求直线与直线垂直， 所以设所求直线为， 又该直线过点，所以，得， 则所求直线为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，直角梯形的顶点为原点，顶点在轴上，点为的中点，其中，设点的横坐标为，直角梯形的面积为． （1）求关于的函数解析式； （2）设的面积为，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，结合等腰直角三角形的性质，得到梯形的上底、下底和高，即可得到面积函数. （2）先求得的面积为，结合，建立方程即可求解. 【小问1详解】 过点作于点，由于且， 根据等腰直角三角形的性质，得到， 因此，点的坐标为， 设点的横坐标为，，则，， 所以点的横坐标为，且， 故 ， 故关于的函数解析式为. 【小问2详解】 因为点为的中点，所以, 即， 当时，， 解得， 因此，点的坐标为. 22. 已知在中，是边上的点，且. （1）求的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可得解； （2）在中利用正弦定理求得，再利用等腰直角三角形的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 在中，已知，，， 则， 由正弦定理，得，则， 在中，， 则，，故， 所以的周长为. 23. 已知数列的前项和，等比数列满足． （1）求出的值，并求等比数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的前项和公式求出的值，再根据等比数列的性质求出的通项公式. （2）通过裂项相消法求出数列的前项和. 【小问1详解】 根据数列的前项和， 所以， ， ， 即，， 所以等比数列公比， ，故. 【小问2详解】 由（1）得， 数列的前项和， 所以. 24. 如图所示，已知椭圆的左，右焦点分别为，且，椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，定点的坐标为. （1）求椭圆的标准方程； （2）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用焦距与离心率依次求得，从而得解； （2）利用椭圆的定义，分析得点的位置，再联立直线与椭圆方程求得点坐标，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又离心率为，即，则， 故， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆的定义，可知， 所以， 则当三点共线，且在和之间，即处时，取得最小值， 由题可知，，， 此时，直线的方程为，即， 联立，解得或（舍去），即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $