专题12 直线和圆-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题12 直线和圆 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握中点坐标、两点间的距离公式 理解和掌握斜率和倾斜角 掌握直线方程的几种形式 理解和掌握两直线的位置关系 理解和掌握圆的概念和方程 理解和掌握直线与圆的位置关系 理解和掌握圆与圆的位置关系 考点预测 中点坐标、两点间距离公式 倾斜角、斜率 直线方程 两直线的位置关系 圆的方程 直线和圆的位置关系 圆与圆的位置关系 要点自测 （一）平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． （2）两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. （3）线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常用α表示. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. (2)计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 （三）两直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. （四）圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. （五）直线和圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d. 由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r （六）圆与圆的位置关系 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 考点突破 考点1 中点坐标、两点间距离公式 【例1】已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，的端点及中点， 则 ，解得：， 故点的坐标为， 故选：B. 【突破训练】 1、已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【答案】 【解析】由已知，， 设AB的中点为D， AB的中点D坐标为 ， 故答案为：. 2、若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线段的中点为，设， 所以， 所以， 故选：A. 考点2 倾斜角、斜率 【例1】若倾斜角为的直线过，两点，则实数（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 所以，解得； 故选：C. 【突破训练】 1、已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【解析】由题可得，即，解得． 故选：B 2、已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】B 【解析】由题得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以， 故选：B. 考点3 直线方程 【例1】如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：，即． 故选：D. 【突破训练】 1、过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率， 过点的直线与直线平行， 所以该直线的斜率， 设该直线的方程为， 且该直线过点， 则，得， 所以该直线的方程为，即. 故选：. 2、经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1　　　　　　　 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 【答案】C 【解析】由方程知，已知直线的斜率为， 所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为：y－1＝(x＋1)， 故选：C． 考点4 两直线的位置关系 【例1】已知两直线和，若，则（    ） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【解析】由题可知，. 故选：A. 【突破训练】 1、已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 化为：，解得或． 经过验证时，两条直线重合，舍去． ． 故选：B． 2、与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线l的斜率为2，则所求直线方程的斜率为， 设直线方程为，因为直线过点，所以， 则直线方程为，整理得 故选：C. 考点5 圆的方程 【例1】方程表示的圆的圆心为 ，半径为 . 【答案】 3 【解析】根据题意，方程， 即， 所以圆心为，半径为3 【突破训练】 1、已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 2、已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 【【答案】 【解析】由得，由得， ，，以为直径的圆的圆心是，半径， 所以圆的方程为：. 考点6 直线与圆的位置关系 【例1】直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 【突破训练】 1、已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，， 所以圆心到直线的距离为， 则，而， 所以，解得：. 故选：B. 2、若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 考点7 圆与圆的位置关系 【例1】两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 【答案】B　 【解析】由题意，知2r＝ ＝，r＝， 故选：B. 【突破训练】 1、已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7； 圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为， 因为，故这两圆的位置关系是相交， 故选：B. 模拟演练 一、选择题 1、过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程是， 即， 故选：B. 2、直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：直线l的方程：可化为， 直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则， 又，所以， 故选：C. 3、已知点，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点，根据斜率公式， 代入数据得：， 故选：B． 4、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（　　） A．x2+y2＝4 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝2 D．(x－4)2+(y－4)2＝16 【答案】B 【解析】由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4， 故所求轨迹方程为：x2+y2＝16． 故选：B． 5、圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，圆心到轴的距离， 因为轴与圆相切，所以， 所以圆的方程为， 故选：A. 6、已知点，则线段垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得中点坐标为，而， 故垂直平分线的斜率为，方程为， 即， 故选：A． 7、已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为2， 又直线和圆有两个不同的交点， 所以，解得， 即实数的取值范围是， 故选：C. 8、已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 9、直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 10、若过点，且与圆相切的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】圆的圆心是 ，半径是 ， 把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外， 当直线斜率不存在时， 直线为 ，不满足题意； 当直线斜率存在时， 设直线为 ，即 ， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 解得 或 ， 切线为或 ， 故选：D. 二、填空题 11、已知直线在轴上的截距为1，则 . 【答案】 【解析】因为直线，令，得到， 由题有，解得， 故答案为：. 12、过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】 化简得： 故答案为： 13、过点且与直线垂直的直线l的方程是 ． 【答案】 【解析】因为直线l与直线垂直， 所以，解得：， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 14、设，若圆的面积为，则 ． 【答案】3 【解析】由题意得圆的标准方程为， 则圆的半径为， 圆的面积为， 解得：， 故答案为：3. 15、若曲线与直线有公共点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】曲线是以为圆心，半径为的圆， 由于曲线与直线有公共点， 所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 16、已知直线l经过两点，同当m取何值时； (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l斜率不存在； (3)直线的倾斜角为锐角？ 【解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以． （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即，解得． 17、在中，，，. （1）求的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由，，得的中点为， 又，所以， 所以中线所在直线的方程为， 即. （2）由，，得， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为． 18、已知直线，，若圆C的圆心在x轴上，且与直线，都相切，求圆C的方程． 【答案】或. 【解析】解：设所求圆的方程为(r＞0)， 则， 或， 圆的方程为或． 19、已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则， 由垂径定理得：． 20、已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. 若直线与圆相切，求直线的方程； 【解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. $$专题12 直线和圆 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握中点坐标、两点间的距离公式 理解和掌握斜率和倾斜角 掌握直线方程的几种形式 理解和掌握两直线的位置关系 理解和掌握圆的概念和方程 理解和掌握直线与圆的位置关系 理解和掌握圆与圆的位置关系 考点预测 中点坐标、两点间距离公式 倾斜角、斜率 直线方程 两直线的位置关系 圆的方程 直线和圆的位置关系 圆与圆的位置关系 要点自测 （一）平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． （2）两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. （3）线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按 方向绕着交点旋转到和直线l首次 时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常用α表示. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 . 2.直线的斜率 (1)定义：称k＝ (其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. (2)计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝ . 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 （三）两直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2 . (2)两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ . 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ . （四）圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件： 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. （五）直线和圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d. 由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r （六）圆与圆的位置关系 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 考点突破 考点1 中点坐标、两点间距离公式 【例1】已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 2、若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（     ） A． B． C． D． 考点2 倾斜角、斜率 【例1】若倾斜角为的直线过，两点，则实数（      ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 2、已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 考点3 直线方程 【例1】如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2、经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1　　　　　　　 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 考点4 两直线的位置关系 【例1】已知两直线和，若，则（    ） A． B．8 C． D．2 【突破训练】 1、已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 2、与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点5 圆的方程 【例1】方程表示的圆的圆心为 ，半径为 . 【突破训练】 1、已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2、已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 考点6 直线与圆的位置关系 【例1】直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【突破训练】 1、已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 2、若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 考点7 圆与圆的位置关系 【例1】两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 【突破训练】 1、已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 模拟演练 一、选择题 1、过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2、直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3、已知点，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 4、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（　　） A．x2+y2＝4 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝2 D．(x－4)2+(y－4)2＝16 5、圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 6、已知点，则线段垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 7、已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8、已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 9、直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 10、若过点，且与圆相切的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 11、已知直线在轴上的截距为1，则 . 12、过点且与直线平行的直线方程为 . 13、过点且与直线垂直的直线l的方程是 ． 14、设，若圆的面积为，则 ． 15、若曲线与直线有公共点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 16、已知直线l经过两点，同当m取何值时； (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l斜率不存在； (3)直线的倾斜角为锐角？ 17、在中，，，. （1）求的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 18、已知直线，，若圆C的圆心在x轴上，且与直线，都相切，求圆C的方程． 19、已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 20、已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. 若直线与圆相切，求直线的方程； $$