专题13 圆锥曲线-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题13 圆锥曲线 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握椭圆的定义、标准方程 理解和掌握椭圆的图像和性质 理解和掌握双曲线的定义、标准方程 理解和掌握双曲线的图像和性质 理解和掌握抛物线的定义、标准方程 理解和掌握抛物线的图像和性质 考点预测 椭圆的定义、标准方程 椭圆的图像和性质 双曲线的定义、标准方程 双曲线的图像和性质 抛物线的定义、标准方程 抛物线的图像和性质 要点自测 （一）椭圆的方程和性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （二）双曲线的方程和性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) （三）抛物线的方程和性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 开口方向 向右 向左 向上 向下 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 考点突破 考点1 椭圆的定义及标准方程 【例1】设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【突破训练】 1、已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 2、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 考点2 椭圆的性质 【例1】椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 2、有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 考点3 双曲线的定义及标准方程 【例1】双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【突破训练】 1、已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2、已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点4 双曲线的性质 【例1】双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【突破训练】 1、已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2、已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点5 抛物线的定义及标准方程 【例1】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 【例1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 考点6 抛物线的性质 【例1】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【突破训练】 1、已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2、对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 模拟演练 一、选择题 1、若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 2、抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3、已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4、过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 5、已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6、若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 7、已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8、双曲线：（，）的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9、已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 10、设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 12、过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 13、已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ． 14、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 . 15、已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 四、解答题 16、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和. 17、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 18、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点，求m，b的值． 19、双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. 20、已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. $$专题13 圆锥曲线 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握椭圆的定义、标准方程 理解和掌握椭圆的图像和性质 理解和掌握双曲线的定义、标准方程 理解和掌握双曲线的图像和性质 理解和掌握抛物线的定义、标准方程 理解和掌握抛物线的图像和性质 考点预测 椭圆的定义、标准方程 椭圆的图像和性质 双曲线的定义、标准方程 双曲线的图像和性质 抛物线的定义、标准方程 抛物线的图像和性质 要点自测 （一）椭圆的方程和性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （二）双曲线的方程和性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) （三）抛物线的方程和性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 开口方向 向右 向左 向上 向下 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 考点突破 考点1 椭圆的定义及标准方程 【例1】设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【解析】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B 【突破训练】 1、已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为的周长等于10，，所以， 因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上， 因此有， 所以顶点的轨迹方程可以是， 故选：A. 2、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点， 故，，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，，， 椭圆方程为， 故选：C. 考点2 椭圆的性质 【例1】椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为的周长为，所以， 所以，椭圆的离心率为， 故选：B. 【突破训练】 1、已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 2、有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 【答案】A 【解析】椭圆方程化为：，则， 则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是. 即A错误，B,C,D正确， 故选：A. 考点3 双曲线的定义及标准方程 【例1】双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【答案】B 【解析】由题知双曲线，所以 ， 记左，右焦点分别为 ，所以根据定义得 ， 因为,所以或， 因为时，，即不满足题意， 所以， 故选B. 【突破训练】 1、已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点， 所以，解得． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 2、已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上， 设双曲线方程为，， 故，又，故， 故双曲线的标准方程为：， 故选：C. 考点4 双曲线的性质 【例1】双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D 【解析】对于双曲线可得：焦点在轴上，, 则离心率，渐近线，实轴长，焦点， 对于双曲线可得：焦点在轴上，， 则离心率，渐近线，实轴长，焦点 ∴ABC错误，D正确， 故选：D． 【突破训练】 1、已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 故选：A. 2、已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为， 得，所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以渐近线方程为，即． 故选：A． 考点5 抛物线的定义及标准方程 【例1】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的焦点坐标为，A错误； 对于B，的焦点坐标为，B错误； 对于C，的焦点坐标为，C错误； 对于D，的焦点坐标为，D正确， 故选：D. 【突破训练】 【例1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴.∴抛物线方程为. 故选：C. 【例2】已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 考点6 抛物线的性质 【例1】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 故选：A. 【突破训练】 1、已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解析】抛物线，准线，, 由抛物线的定义可知，解得. 故选：A. 2、对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式， 可得其开口向上，焦点坐标为， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【解析】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 2、抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，解得：， 故的准线方程为：， 故选：C. 3、已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 4、过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为，所以解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 5、已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知双曲线中，所以， 双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 6、若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知在椭圆中，焦点坐标为， 双曲线中,焦点坐标为,， ，,， 故双曲线的方程为， 故选：A. 7、已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为， 因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合， 所以， 故选：B. 8、双曲线：（，）的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线：（，）的右焦点为， 且渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离， 化简得，所以双曲线的离心率． 故选：A． 9、已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为三个数，，成等比数列，所以，则． 当时，曲线方程为，表示椭圆， 则长半轴长为，半焦距为，所以离心率为； 当时，曲线方程为，表示双曲线， 则实半轴长为，半焦距为，所以离心率为， 故选：D. 10、设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 二、填空题 11、若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知且. 故答案为：. 12、过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】由双曲线方程知：其左顶点为， 根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2， 所以所求直线为，则， 故答案为：. 13、已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ． 【答案】 【解析】因为椭圆，则，所以，， 因为, 所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即． 14、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 . 【答案】20 【解析】由，得，由椭圆定义可知，的周长为， 故答案为：20. 15、已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 【答案】 【解析】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 四、解答题 16、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和. 【解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：(). 又图象过点得：，又， 所以. 故所求椭圆的标准方程为：. （2）因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：(). 因为椭圆经过点和， 所以，故所求椭圆的标准方程为：. 17、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 【解】（1）由，又，所以. 设双曲线方程为：，把点带入，得： . 所求双曲线的标准方程为：. （2）因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且. 所以抛物线的标准方程为：. 18、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点，求m，b的值． 【答案】 【解析】解：由题意得：，故焦点在x轴上，所以， 把代入椭圆与双曲线中，，解得：， 代入中，解得：， 所以． 19、双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. 【答案】 【解析】解：椭圆焦点为，， 根据题意得双曲线的焦点为，， 设双曲线的标准方程为，且有． 又由，得，得， 所求双曲线的方程为． 20、已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 【答案】（1），焦点坐标为；（2）8. 【解析】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为. （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 设，联立方程组消去可得，则， 所以. $$