专题11 立体几何-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题11 立体几何 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握空间中点线面的位置关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面平行关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面垂直关系 理解和掌握线面角的求法 理解和掌握二面角的求法 掌握几何体的表面积和体积公式 考点预测 异面直线所成角 四个判定定理和四个性质定理 求线面角 求二面角 求表面积 求体积 要点自测 （一）三个公理 基本事实 内容 图形 符号 公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l （二）公理3的推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 （三）空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α (四)直线与平面平行的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α (五)平面与平面平行的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （六）直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α (七)两个平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β (八)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (九)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 （十）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l （十一）简单几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 考点突破 考点1 点、线、面的位置关系 【例1】下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【解析】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B错误； 对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C错误； 对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D正确． 故选：D． 【突破训练】 1、有下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题是（    ） A．① B．②③ C．③ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确； 对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确； 对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确； 对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确. 故选：B. 2、如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 考点2 空间中的平行关系 【例1】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 【答案】C 【解析】由题意，取 B1C1的中点 E，连接 EM，NE，B1D1，BD， 如图．M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点， 所以 BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1， 所以平面 EMN∥平面 BB1D1D， 那么 MN∥平面 BB1D1D， 故选：C. 【突破训练】 1、下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误， 对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误， 对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误， 对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确， 故选：B 2、为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . 【答案】平行 【解析】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. 考点3 空间中的垂直关系 【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】C 【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误； 对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误； 对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确； 对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误， 故选：. 【突破训练】 1、已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立， 故选：A. 2、设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 【答案】D 【解析】，平行于同一个平面时，则，A错误； ，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误； 内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确. 故选：D． 考点4 求线面角 【例1】如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【解析】如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 【突破训练】 1、在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【解析】 长方体中，直线平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以，所以， 故选：A. 考点5 求二面角 【例1】在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，, 所以二面角的正切值为. 【突破训练】 1、在正方体中，二面角的大小为__________. 【答案】 【解析】 平面，平面，， 又，平面，即为二面角的平面角，  ， 二面角的大小为， 故答案为：. 2、如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得. 故选：B. 考点6 求表面积 【例1】若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 【答案】C 【解析】设球的半径为R，依题意有 ，所以， 所以球的表面积为， 故选：C. 【突破训练】 1、如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所得几何体的表面积为， 故选：D 2、已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为，则，解得， 则该圆锥的表面积为， 故选：C. 考点7 求体积 【例1】某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得， 所以.该圆锥体积为， 故选：B. 【突破训练】 1、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，即 ， 由圆心角的计算公式 ，即 ，解得 ， 所以高 ， 体积 ， 故答案为：. 2、已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 因为， 所以， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行 D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 【答案】D 【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误； 对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误； 对于C，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误； 对于D，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故D正确. 故选：D. 2、已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】如图1， 满足，但不垂直，充分性不成立， 当时，因为，由线面垂直的定义可知：，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3、在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（    ） A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤ 【答案】B 【解析】当两直线平行时夹角为0，故两直线所成角的范围为，故①⑤错误， 其他选项根据对应的定义均为正确， 故选：B． 4、若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体的体对角线长为，所以球的直径， 所以球的表面积为， 故选：C. 5、在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 6、长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可知，， 所以是二面角的平面角， ，所以. 故选：D. 7、已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由已知可设，圆柱和圆锥的底面半径为，母线为， 则，，所以， 故选：C. 8、若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得， 设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以， 故选：C. 9、如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面，    ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 10、已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】 如图，平面平面，平面，但平面，A错误； 分别是的中点，则平面，平面，平面，平面，显然平面与平面不平行，B项错误； 平面平面，平面，而平面，D项错误； 对于C项，，，则或.又，则. 故选：C. 二、填空题 11、在空间四边形的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有 对 【答案】3 【解析】如图所示，为异面直线，为异面直线，为异面直线， 其他各对直线不为异面直线，异面直线共有3对. 12、已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为 【答案】 【解析】设圆锥的高为h，则由圆锥的底面半径为2，体积为， 可得， 故该圆锥的母线长为. 故答案为：. 13、在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】底面，是与底面所成的角， 设正方体的棱长为，则，，， ， 故答案为：. 14、如图，在长方体中，，则二面角的平面角大小是，则 ． 【答案】/0.5 【解析】在长方体中，平面，为二面角的平面角， 在中，， ，即. 故答案为：/0.5. 15、如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ． 【答案】 【解析】因为F是PC的中点，PA⊥平面ABC，PA＝4， 所以F到平面ABC的距离为2， 所以三棱锥BEFC的体积为， 故答案为：. 四、解答题 16、如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 【解】半球形的冰激凌的体积为，圆锥形空杯子的体积为， 而，如果冰激凌融化了，不会溢出来. 17、如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 18、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． （1）求证：平面; （2）求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）由题知D,E分别是的中点,, 平面平面, 平面,得证; （2）由题知,D是的中点, , 平面,平面且, 故平面得证． 19、如图，在正方体中， （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】 解：（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为． 20、如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）解：平面，四边形为矩形， ， . （2）证明：平面，， 又，且点是的中点，， 又，，，平面， 又平面，， 由，，， 平面， 平面， . $$专题11 立体几何 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握空间中点线面的位置关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面平行关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面垂直关系 理解和掌握线面角的求法 理解和掌握二面角的求法 掌握几何体的表面积和体积公式 考点预测 异面直线所成角 四个判定定理和四个性质定理 求线面角 求二面角 求表面积 求体积 要点自测 （一）三个公理 基本事实 内容 图形 符号 公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l （二）公理3的推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 （三）空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α (四)直线与平面平行的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α (五)平面与平面平行的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （六）直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α (七)两个平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β (八)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (九)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 （十）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l （十一）简单几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 考点突破 考点1 点、线、面的位置关系 【例1】下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【突破训练】 1、有下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题是（    ） A．① B．②③ C．③ D．①④ 2、如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 考点2 空间中的平行关系 【例1】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 【突破训练】 1、下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 2、为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . 考点3 空间中的垂直关系 【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【突破训练】 1、已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 考点4 求线面角 【例1】如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【突破训练】 1、在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 考点5 求二面角 【例1】在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在正方体中，二面角的大小为__________. 2、如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 考点6 求表面积 【例1】若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 【突破训练】 1、如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2、已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 考点7 求体积 【例1】某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 2、已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行 D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 2、已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3、在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（    ） A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤ 4、若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 5、在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A．B．C．D． 6、长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 7、已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8、若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 9、如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 10、已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 二、填空题 11、在空间四边形的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有 对 12、已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为 13、在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 14、如图，在长方体中，，则二面角的平面角大小是，则 ． 15、如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ． 四、解答题 16、如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 17、如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 18、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． （1）求证：平面; （2）求证：平面． 19、如图，在正方体中， （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的大小． 20、如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：. $$