专题10 数列-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题10 数列 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解数列的概念，掌握Sn与an的关系 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等差数列的性质 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等比数列的性质 考点预测 Sn与an的关系 等差数列的通项公式和前n项和公式 等差数列的性质 等比数列的通项公式和前n项和公式 等比数列的性质 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 考点突破 考点1 Sn与an的关系 【例1】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， ，也满足上式， ∴， 故答案为：6n－5． 【突破训练】 1、已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 2、已知数列的前项和，则______. 【答案】7 【解析】当时，； 当时，. 所以，所以. 故答案为： 考点2 等差数列的公式 【例1】等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，解得，所以， 则． 故选：D． 【突破训练】 1、在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】等差数列中,,， 由通项公式可得 ，解得 ， 故选：A． 2、等差数列满足，则数列前项的和为 . 【答案】 【解析】等差数列的公差为，因为，， 两式相减，，即， 所以，且，所以， 所以数列前项的和为. 故答案为：. 考点3 等差数列的性质 【例1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故， 故选：D 【突破训练】 1、在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【解析】因为，为方程的两根，所以， 又数列是等差数列，所以， 故选：C. 2、设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【解析】由题可知：成等差数列， 所以， 又，所以， 故选：A. 考点4 等比数列的公式 【例1】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 【突破训练】 1、在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【答案】A 【解析】设的公比为q，由，则， 解得（舍去），故， 所以，. 故选：A. 2、在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 3、设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则， 由，解得， 故， 故选：A. 考点5 等比数列的性质 【例1】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【答案】C 【解析】依题意，得，而，所以． 故选：C 【突破训练】 1、等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且为等比数列， 故为等比数列， 故， 解得， 故选：B. 2、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 【答案】364 【解析】设等比数列的公比为，由得， 由，解得或， 因为数列为递增数列，所以，所以，得， 因为等比数列的每一项都是正数，所以，， 所以， 故答案为：364． 3、在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为与的等比中项为2，所以， 所以． 故选：D． 模拟演练 一、选择题 1、已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 2、已知数列为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【解析】，故，， 故选：B． 3、在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】在等比数列中，，解得，则， 故选：A. 4、在等比数列中，，，则公比q的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】，， 得，∴， 故选：A． 5、已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（    ） A．0或 B． C． D． 【答案】B 【解析】成等差数列， ， 又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：B. 6、已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（    ） A．14 B．28 C．35 D．70 【答案】C 【解析】因为为等差数列， 所以， 所以， 则数列的前14项之和， 故选：C. 7、已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（    ） A．55 B．50 C．45 D．10 【答案】A 【解析】∵，，成等比数列， ∴，可得， 又等差数列{}的公差为1， ，解得：， 则{}的前10项和， 故选：A． 8、若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时，， 经检验，可得， 故选：D. 9、已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意可知,所以. 故选：A. 10、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（    ） A．568 B．566 C．675 D．696 【答案】C 【解析】在等差数列中，设公差为， 因为，所以，解得：， 又，，成等比数列，所以， 故有，整理得， 因为，所以，从而， 即，∵， ∴，故， 故选：C. 二、填空题 11、在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是 【答案】35 【解析】由题意可发现：，，，， 总结规律，该数列第项为， 所以. 故答案为：35. 12、在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ． 【答案】4 【解析】因为等差数列前5项的和， 所以，所以， 故答案为：4. 13、等比数列的前n项和为，若，则公比 ． 【答案】 【解析】， 故． 14、已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= 【答案】 【解析】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得.所以. 故答案为：. 15、已知是公比为的等比数列，若，则 . 【答案】25 【解析】因为 所以 四、解答题 16、设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【解】（1） 解得： （2） 解得： 17、在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 【解】（1）因为，， 所以，； （2）因为，， 所以，解得，所以， 所以，. 18、设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，，成等比数列，求m的值． 【解】（1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）知，． （3）∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为， 解得. 19、 已知等差数列满足，前4项和． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，数列的通项公式． 【答案】(1)；(2)或 【解析】解：（1）设等差数列首项为，公差为d， ∵，∴，解得：， ∴等差数列通项公式. （2）设等比数列首项为，公比为q， ∵，∴，解得：， 即或， ∴等比数列通项公式或． 20、已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）;（2）. 【解析】（1）设数列的公差为， 由题意知， 解得：， 故. （2）由（1）得，数列是首项为4，公比为4的等比数列， 设数列的前n项和为， 则. $$专题10 数列 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解数列的概念，掌握Sn与an的关系 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等差数列的性质 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等比数列的性质 考点预测 Sn与an的关系 等差数列的通项公式和前n项和公式 等差数列的性质 等比数列的通项公式和前n项和公式 等比数列的性质 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的 的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝ 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 . （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的 的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示(q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝± ，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝ . 考点突破 考点1 Sn与an的关系 【例1】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【突破训练】 1、已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2、已知数列的前项和，则______. 考点2 等差数列的公式 【例1】等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、等差数列满足，则数列前项的和为 . 考点3 等差数列的性质 【例1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 2、设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 考点4 等比数列的公式 【例1】已知数列满足，且，则 . 【突破训练】 1、在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 2、在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 3、设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 考点5 等比数列的性质 【例1】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【突破训练】 1、等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 3、在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 模拟演练 一、选择题 1、已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 2、已知数列为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．15 D．24 3、在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4、在等比数列中，，，则公比q的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 5、已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（    ） A．0或 B． C． D． 6、已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（    ） A．14 B．28 C．35 D．70 7、已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（    ） A．55 B．50 C．45 D．10 8、若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9、已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 10、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（    ） A．568 B．566 C．675 D．696 二、填空题 11、在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是 12、在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ． 13、等比数列的前n项和为，若，则公比 ． 14、已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= 15、已知是公比为的等比数列，若，则 . 四、解答题 16、设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 17、在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 18、设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，，成等比数列，求m的值． 19、 已知等差数列满足，前4项和． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，数列的通项公式． 20、已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. $$