专题09 平面向量-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题9 平面向量 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的相关概念，掌握向量的线性运算 · 掌握平面向量的坐标及其线性运算的坐标表示，会解向量共线、垂直的坐标问题 · 掌握内积的定义及向量的夹角，并会用坐标计 算两个向量的内积 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的模长 · 平面向量的内积及两个向量的夹角 · 两个向量平行和垂直的条件 要点自测 （一）向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有 又有 的量 用a，b，c，…或，，…表示 向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或|| 零向量 长度为0的向量 用0表示 单位向量 长度等于 个单位的向量 用e表示，|e|＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b 相等向量 长度相等且方向 的向量 a＝b 相反向量 长度相等，方向 的向量 向量a的相反向量是－a （二）向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb （四）平面向量坐标运算及共线的坐标表示 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( )，a－b＝( )，λa＝( )，|a|＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝. 2.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. （五）平面向量内积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 内积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝ 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 考点突破 考点1 向量的有关概念 【例1】下列命题正确的是( ) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【突破训练】 1、下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 2、下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 考点2 向量的线性运算 【例1】已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在中，，则（    ） A． B． C． D． 2、已知与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点3 向量的坐标表示 【例1】若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2、已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 考点4 向量的数量积 【例1】设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【突破训练】 1、已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2、已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点5 向量的模 【例1】已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 考点6 向量的夹角 【例1】已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 【突破训练】 1、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（   ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2、设向量，，若，则（    ） A．0或-6 B．4或 C．2或 D．0或 3、已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 4、已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5、设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 6、已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 7、已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 8、已知向量，，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 9、已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．18 B．9 C． D． 10、已知向量，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、已知向量，．若，则 ． 12、若菱形的边长是1，则 . 13、已知平面向量与的夹角为，，，则 ． 14、已知向量，若，则 ． 15、已知向量，则向量与的夹角余弦值为 . 四、解答题 16、已知向量，，．求满足的实数的值． 17、已知向量，向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18、已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求． 19、已知平面向量，满足，，其中. （1）若，求实数m的值. （2）若，若与夹角的余弦值． 20、已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与垂直，求实数的值． $$专题9 平面向量 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的相关概念，掌握向量的线性运算 · 掌握平面向量的坐标及其线性运算的坐标表示，会解向量共线、垂直的坐标问题 · 掌握内积的定义及向量的夹角，并会用坐标计 算两个向量的内积 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的模长 · 平面向量的内积及两个向量的夹角 · 两个向量平行和垂直的条件 要点自测 （一）向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示 向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或|| 零向量 长度为0的向量 用0表示 单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b 相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a （二）向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb （四）平面向量坐标运算及共线的坐标表示 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 2.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. （五）平面向量内积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 内积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 考点突破 考点1 向量的有关概念 【例1】下列命题正确的是( ) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【答案】D 【解析】当时，A不对； 如图，△ABC的中位线EF，a＝，c＝，b＝，显然满足B的条件，但a∥c，故B不对； 当与的基线平行或重合时，与共线，但显然前者A、B、C、D四点不共线，故C错； 假若a与b中存在一个向量为0，则一定有a∥b，与a、b不共线条件矛盾，∴D正确， 故选：D. 【突破训练】 1、下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 【答案】B 【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等， 两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小， 故选：B. 2、下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【答案】D 【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有∥，知A错； 取，则对于任意向量，都有∥，∥，但得不到∥，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错； 由两向量相等的概念知D正确， 故选：D． 考点2 向量的线性运算 【例1】已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】＝＋＋＝＝＝2， 故选：C. 【突破训练】 1、在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，则. 故选：C 2、已知与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量共线可得+λ=k(-3)，即+λ=k-3 k， ∴，解得λ=-， 故选：B. 考点3 向量的坐标表示 【例1】若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 【例2】已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，解得. 故选：A 【突破训练】 1、已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，， 所以. 故选：A. 2、已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，解得. 故选：A 考点4 向量的数量积 【例1】设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】，故， 故选：C. 【突破训练】 1、已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】, 故选：C. 2、已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直，故，解得， 则,，设与夹角为， 则， 故选：A. 考点5 向量的模 【例1】已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，. 故选：A. 【突破训练】 1、已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，，故， 所以. 故选：C. 考点6 向量的夹角 【例1】已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以． 【突破训练】 1、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 模拟演练 一、选择题 1、关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误； B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确； C.向量不能比较大小，故C错误； D.当向量时，与不一定平行，故D错误； 故选：B． 2、设向量，，若，则（    ） A．0或-6 B．4或 C．2或 D．0或 【答案】B 【解析】，，， 故，解得或， 故选：B 3、已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】向量，，而与共线， 则，解得， 所以实数的值为， 故选：C. 4、已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为向量，所以， 所以， 故选：D. 5、设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，所以， 则， 所以. 故选：C. 6、已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 故选：B. 7、已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知向量，，所以， 因为，所以， 解得，则， 故选：A. 8、已知向量，，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由已知得，， 又，所以， 即. 解得， 故选：D. 9、已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B 10、已知向量，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，所以， 由，可得， 所以，因为，所以， 故选：A. 二、填空题 11、已知向量，．若，则 ． 【答案】 【解析】．因为，所以，解得． 故答案为: . 12、若菱形的边长是1，则 . 【答案】1 【解析】. 13、已知平面向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【解析】由题得，，， 所以， 故答案为：. 14、已知向量，若，则 ． 【答案】-2 【解析】因为向量，且， 所以，所以， 故答案为：-2. 15、已知向量，则向量与的夹角余弦值为 . 【答案】0 【解析】由题意得，，故与的夹角余弦值为0. 故答案为：0. 四、解答题 16、已知向量，，．求满足的实数的值． 【解】由得， 则，解得. 所以. 17、已知向量，向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】(1)2；(2) 【解析】解：（1）∵，且， ∴， ∴. （2）∵， ∴，即， ∴， ∴. 18、已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1），， . （2）， ∴． 19、已知平面向量，满足，，其中. （1）若，求实数m的值. （2）若，若与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2). 【解析】解：（1）因为，， 所以，即， 所以， 又，所以， 解得； （2）因为，所以，解得，所以， 所以，， 所以，， 所以． 20、已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与垂直，求实数的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】解：（1）因为向量，且与的夹角为， 所以， 解得，所以 ， 则. （2）由（1）知m = 1，故， 故，， 因为 与 垂直， 所以， 解得． $$