专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握正弦、余弦、正切的和差公式 理解和掌握二倍角公式 理解和掌握辅助角公式 理解和掌握三角形面积公式 理解和掌握正余弦定理 考点预测 实正弦、余弦、正切的和差公式 二倍角公式 辅助角公式 三角形面积公式 正余弦定理 要点自测 （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ． (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ． (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ． (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ． (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ． (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ． （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin2α＝ ． (2)公式C2α：cos2α＝ ＝ ＝ ． (3)公式T2α：tan2α＝ ． （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 △ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝ ； b2＝ ； c2＝ ＝ ＝ 常见变形 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝； (3)a∶b∶c＝ ； （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 考点突破 考点1 和差公式 【例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 2、的值为（    ） A． B． C． D． 考点2 二倍角公式 【例1】下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、若，则（    ） A． B． C． D． 2、 的值是（    ） A． B． C． D． 考点3 辅助角公式 【例1】计算的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【突破训练】 1、函数的最小值是 . 2、的值为（       ） A． B． C． D． 考点4 正余弦定理 【例1】在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 【突破训练】 1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 2、在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 考点5 面积公式 【例1】的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【突破训练】 1、在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 2、在中，，，，则 . 模拟演练 一、选择题 1、（    ） A． B． C． D．— 2、已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 3、=（     ） A． B． C． D． 4、在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 5、的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 7、化简的结果为（       ） A．x B． C． D． 8、已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．或 D．2或 9、在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10、已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、已知,且,则 ． 12、在△ABC中，已知，则 . 13、化简 ． 14、中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 15、在中，，，，则 ． 四、解答题 16、已知均为锐角，求的值． 17、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 18、在△中，角的对边分别为，若，且. （1）求的值； （2）若，求△的面积. 19、已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域． 20、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，. (1)求的值； (2)若，求的周长. $$专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握正弦、余弦、正切的和差公式 理解和掌握二倍角公式 理解和掌握辅助角公式 理解和掌握三角形面积公式 理解和掌握正余弦定理 考点预测 实正弦、余弦、正切的和差公式 二倍角公式 辅助角公式 三角形面积公式 正余弦定理 要点自测 （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ． (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ． (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ． (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ． (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝． (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝． （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα． (2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)公式T2α：tan2α＝． （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 △ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝ 常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 考点突破 考点1 和差公式 【例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A． 2、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 . 故选：D. 考点2 二倍角公式 【例1】下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A符合，； B不符合，； C不符合，； D不符合，. 故选：A. 【突破训练】 1、若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A 2、 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：， 故选：A． 考点3 辅助角公式 【例1】计算的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B． 【突破训练】 1、函数的最小值是 . 【答案】 【解析】， 其中，，所以， 故答案为：. 2、的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B． 考点4 正余弦定理 【例1】在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 则， 故或. 因为，所以，所以， 故选：A. 【突破训练】 1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 2、在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【解析】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 考点5 面积公式 【例1】的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由余弦定理得，则， 则，则的面积为 故选：B. 【突破训练】 1、在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 整理得：， 由余弦定理得：， 即，即， 又，解得. 故选：C. 2、在中，，，，则 . 【答案】 【解析】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 模拟演练 一、选择题 1、（    ） A． B． C． D．— 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 2、已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 所以. 故选：A 3、=（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 所以， 故选：D. 4、在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得，故 故选：C. 5、的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得， 故选：C． 6、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】在中，，∵， ∴， 由正弦定理得， 故选：C． 7、化简的结果为（       ） A．x B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B. 8、已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， ，即， 解得或， 故选：C. 9、在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】在中，由及正弦定理，得， 则，而， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 10、已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理，由 因为，所以，于是有， 故选：A. 二、填空题 11、已知,且,则 ． 【答案】 【解析】由题意得：， ， 解得：，， 故答案为：. 12、在△ABC中，已知，则 . 【答案】4 【解析】由正弦定理得， 由余弦定理得， 故答案为：. 13、化简 ． 【答案】0 【解析】， ， 化简原式， 故答案为：0. 14、中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 【答案】 【解析】在中，利用正弦定理，得， 由，得，所以. 15、在中，，，，则 ． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理可得， 即，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 16、已知均为锐角，求的值． 【答案】 【解析】由均为锐角，可知 ,， 由得， 由得， 所以 . 17、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】(1)；(2)7 【解析】解：（1）变形为：， 所以，因为， 所以. （2）因为，且， 所以， 由正弦定理得：， 即， 解得：． 18、在△中，角的对边分别为，若，且. （1）求的值； （2）若，求△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵, ∴， ∴ . （2）由（1）可得 ， 在△中，由正弦定理得 ， ∴． 19、已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1) ， 所以函数的最小正周期为． (2)由知， 则， 故， 故函数的值域是． 20、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【解】（1）根据以及可得； 利用正弦定理由可得， 即； 可得，又，即可得， 又，所以； （2）若，由正弦定理可得， 又，结合，可得； 易知； 所以， 因此的周长为. $$