专题07 三角函数的图像和性质、正弦型函数及图像变换-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题07 三角函数的图像和性质、正弦型函数及图像变换 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 会用五点法做正弦、余弦函数的图像 掌握正余弦函数及正切函数的图像和性质 理解和掌握正弦型函数的图像和性质 掌握正弦型函数图像变换的方法 考点预测 正余弦函数的图像和性质 正弦型函数的图像和性质 图像变换的方法 要点自测 （一）三角函数的图像及性质 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， (π，0)， ， (2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， (π，－1)， ， (2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 （二）正弦型函数及图像变换 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 3．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 考点突破 考点1 三角函数的周期、奇偶性 【例1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、函数的最小正周期是 . 2、函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 考点2 三角函数的最值 【例1】函数的最小值为 ，最大值为 . 【突破训练】 1、函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2、函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 考点3 三角函数的对称性 【例1】若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 2、函数的图象的一个对称轴方程是（       ） A． B． C． D． 考点4 三角函数的单调性 【例1】函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 【突破训练】 1、函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 2、函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 考点5 三角函数的图像变换 【例1】如图是函数的图象，那么（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ） A． B． C． D． 2、将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、下列选项中，函数，的是（    ） A．  B．  C．  D．   2、函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3、要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4、函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 5、如果函数（）的最小正周期是，那么常数为（    ） A．4 B．2 C． D． 6、关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 7、函数的图像的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 8、设函数，则函数有（   ） A．最大值是3，周期是4π B．最大值是1，周期是π C．最大值是3，周期是π D．最大值是1，周期是4π 9、函数的最小正周期和振幅分别是（    ） A． B． C． D． 10、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．是图象的一条对称轴 D．是偶函数 二、填空题 11、若函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为6，则 . 12、函数 的单调递减区间为 . 13、函数的最大值为 . 14、函数的定义域为 . 15、已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为 ． 四、解答题 16、已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 17、已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 18、已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 19、若向量，，的最大值为． （1）求的值； （2）求图像的对称中心． 20、已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． $$专题07 三角函数的图像和性质、正弦型函数及图像变换 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 会用五点法做正弦、余弦函数的图像 掌握正余弦函数及正切函数的图像和性质 理解和掌握正弦型函数的图像和性质 掌握正弦型函数图像变换的方法 考点预测 正余弦函数的图像和性质 正弦型函数的图像和性质 图像变换的方法 要点自测 （一）三角函数的图像及性质 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， (π，0)， ， (2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， (π，－1)， ， (2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 （二）正弦型函数及图像变换 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 3．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 考点突破 考点1 三角函数的周期、奇偶性 【例1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求； 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求， 故选：B. 【突破训练】 1、函数的最小正周期是 . 【答案】 【解析】，故最小正周期， 故答案为：. 2、函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C. 考点2 三角函数的最值 【例1】函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 【解析】由已知， 设，即， 所以当，即，时，取最小值为； 当，即，时，取最大值为； 【突破训练】 1、函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，因为， 所以函数的值域为 故选：B. 2、函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，即 时，取最大值1， 当，即 时，取最小值大于 ， 故值域为， 故选：C 考点3 三角函数的对称性 【例1】若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知（），则（）， 当时，，符合题意，其它都不满足题意， 故选：B. 【突破训练】 1、函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，所以， 当k=0时，y=1， 故答案为：B. 2、函数的图象的一个对称轴方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数， 令，解得， 故函数的对称轴方程为，令， 可知函数的一条对称轴为， 故选：C. 考点4 三角函数的单调性 【例1】函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 【答案】B 【解析】， 所以在上递增，在上递减. B正确，ACD选项错误， 故选：B. 【突破训练】 1、函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为； 故选：B. 2、函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出的图象，如下，    可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求. 故选：C 考点5 三角函数的图像变换 【例1】如图是函数的图象，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在函数的图象上，所以，， 所以，此时，， 又点在函数的图象上，所以， 由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，， 故选：C. 【突破训练】 1、将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，平移后的解析式为， 故选：B. 2、将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度， 得到的图象； 再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象； 故， 故选：C. 模拟演练 一、选择题 1、下列选项中，函数，的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】根据正弦函数图象判断D选项符合题意， 故选：D. 2、函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 解得，， 故选：C. 3、要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】因为， 所以要得到函数的图象， 只需要将函数的图象向右平移个单位， 故选：B. 4、函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【解析】函数的图象与的图象关于x轴对称， 故B、C、D错误，A正确， 故选：A. 5、如果函数（）的最小正周期是，那么常数为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为的最小正周期是， 所以，解得， 故选：D. 6、关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】D 【解析】对A，，，故A错误； 对B，，，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，，此时，故D正确， 故选：D. 7、函数的图像的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令，解得， 故选：C. 8、设函数，则函数有（   ） A．最大值是3，周期是4π B．最大值是1，周期是π C．最大值是3，周期是π D．最大值是1，周期是4π 【答案】B 【解析】， 所以函数的最大值为1，周期， 故选：B. 9、函数的最小正周期和振幅分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以最小正周期为，振幅为1， 故选：A. 10、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．是图象的一条对称轴 D．是偶函数 【答案】D 【解析】由题意得：，最小正周期，故A错误； ，B错误； 当时，，所以不是图象的对称轴，C错误； 的定义域为R，且，所以是偶函数，D正确， 故选：D. 二、填空题 11、若函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为6，则 . 【答案】 【解析】因为函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为6， 所以，所以， 故答案为：. 12、函数 的单调递减区间为 . 【答案】. 【解析】 的单调递减区间即为的单调递增区间. 令，，得,. 故其单调递减区间为. 13、函数的最大值为 . 【答案】 【解析】， 其中， 而，所以的最大值为， 故答案为：. 14、函数的定义域为 . 【答案】, 【解析】要使函数有意义,需,即. 结合正弦曲线可知,. 故定义域为,. 15、已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，且函数的最小正周期为， 所以，所以， 由，得， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当即时，函数取得最小值，且最小值为-2， 故答案为：-2. 四、解答题 16、已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 【答案】(1)；(2)的最大值是，此时自变量的集合为. 【解析】解：（1）， 所以的最小正周期. （2）由（1）得， 所以当时，取得最大值， 此时自变量的集合为. 17、已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【解】（1）令，得， 所以函数的单调递增区间是； （2）令，则由可得， 所以当，即时，， 当时，即时，. 即当时，函数取最小值；时，函数取最大值. 18、已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【解】（1）, 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 19、若向量，，的最大值为． （1）求的值； （2）求图像的对称中心． 【答案】(1)；(2)， 【解析】解：（1）由题意得，， 因为的最大值为， 所以，即. （2）令得：，， 所以的对称中心为，. 20、已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）， 令， 则， 所以函数的单调递减区间为：． （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到函数的图象， 再将图象向左平移个单位，得到的图象， 因为，所以， 所以的值域为． $$