专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解角的概念，掌握角的表示方法 理解弧度制的含义，掌握度和弧度的转化 掌握弧长、面积公式 理解三角函数的定义并会求值 掌握同角三角函数的关系 掌握诱导公式，会用诱导公式化简 考点预测 角的表示 度和弧度的转化 弧长、扇形公式 三角函数的定义及求值 同角三角函数的化简及计算 诱导公式的化简及计算 要点自测 （一）任意角 任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 零角 一条射线 做任何旋转形成的角 （二）象限角与终边相同的角 1.在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ．如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和． （三）弧度制 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的 为1度的角，记作1° 弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度 2.弧度与角度的互化 3.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ ． (2)扇形面积公式：S＝ ＝ ． 4.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα （四）同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1　 商数关系 ＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的 （五）诱导公式 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点突破 考点1 角的概念 【例1】下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【突破训练】 1、下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 2、教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（       ） A． B． C． D． 考点2 弧度制 【例1】扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为 . 【例2】角所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【突破训练】 1、将210°化成弧度为（       ） A． B． C． D． 2、要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为120厘米，则圆心角（    ） A． B． C． D． 考点3 任意角的三角函数 【例1】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【例2】若角的终边经过点，则 . 【突破训练】 1、若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 考点4 同角三角函数的关系 【例1】已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】若，则 ． 【突破训练】 1、设，则 2、若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 考点5 诱导公式 【例1】 （    ） A． B． C． D． 【例2】若，为第四象限角，则等于（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、若，则（    ） A． B． C．12 D． 2、平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2、的值是（    ） A． B． C． D． 3、圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（    ）cm A．15 B．30 C． D． 4、若，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 5、已知，则（     ） A． B． C． D． 6、已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则m=（    ） A．-4 B．4 C．±4 D．5 7、若，，则（    ） A． B． C． D．1 8、已知，则（    ） A． B． C． D． 9、已知，则（    ） A． B． C． D．3 10、已知，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11、已知，，则 ． 12、在到范围内，与终边相同的角为 ． 13、要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ． 14、若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 15、已知，则的值为 . 四、解答题 16、已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值． 17、已知. （1）写出与角终边相同的角的集合； （2）写出在内与角终边相同的角. 18、（1）角的终边上有一点，求的值； （2）若，求的值． 19、已知 (1)化简； (2)若，求的值. 20、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． $$专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解角的概念，掌握角的表示方法 理解弧度制的含义，掌握度和弧度的转化 掌握弧长、面积公式 理解三角函数的定义并会求值 掌握同角三角函数的关系 掌握诱导公式，会用诱导公式化简 考点预测 角的表示 度和弧度的转化 弧长、扇形公式 三角函数的定义及求值 同角三角函数的化简及计算 诱导公式的化简及计算 要点自测 （一）任意角 任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 （二）象限角与终边相同的角 1.在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． （三）弧度制 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度 2.弧度与角度的互化 3.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． 4.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα （四）同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1　 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 （五）诱导公式 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点突破 考点1 角的概念 【例1】下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2， 故选：B． 【突破训练】 1、下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 【答案】C 【解析】与角终边相同角可以表示为； 对A，由找不到整数让，所以A错误； 对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，； 对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误， 故选：C. 2、教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针，其大小为， 故时针需要旋转弧度， 故选：A. 考点2 弧度制 【例1】扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为 . 【答案】36 【解析】根据题意设扇形的半径为， 由圆心角为2，弧长为12cm，可得半径cm， 因此可得扇形的面积为. 【例2】角所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】，角位于第三象限， 故选：C. 【突破训练】 1、将210°化成弧度为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 2、要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为120厘米，则圆心角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形弧长为，圆心角为，半径为，则. 故选：B. 考点3 任意角的三角函数 【例1】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 【例2】若角的终边经过点，则 . 【答案】 【解析】由角的终边经过点，得，则， 所以. 故答案为：. 【突破训练】 1、若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，所以的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，所以的终边在第一、三象限，所以的终边在第三象限. 故选：C. 2、已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，解得， 故选：C． 考点4 同角三角函数的关系 【例1】已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，是第四象限角， 所以，所以. 故选：D. 【例2】若，则 ． 【答案】/0.25 【解析】由已知 故答案为：. 【突破训练】 1、设，则 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 2、若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以， 故选：B. 考点5 诱导公式 【例1】 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【例2】若，为第四象限角，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，所以， 则， 故选：C. 【突破训练】 1、若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 2、平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，点到原点距离， 所以， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】角的终边上有一点的坐标是， ，，， . 故选：D． 2、的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：， 故选：A． 3、圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（    ）cm A．15 B．30 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以扇形的面积， 故选：C. 4、若，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】因为， 故选：B. 5、已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， 两边平方可得：， 所以，所以， 故选：D． 6、已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则m=（    ） A．-4 B．4 C．±4 D．5 【答案】B 【解析】由题可知，， 所以，解得，(舍去)，故A，C，D错误， 故选：B. 7、若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】依题意，. 故选：A 8、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 根据诱导公式得， 即，所以， 故选：A. 9、已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】因为，所以，解得=，则， 故选：D. 10、已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，， 所以， 故选：D. 二、填空题 11、已知，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为：/. 12、在到范围内，与终边相同的角为 ． 【答案】 【解析】因为，所以在 到范围内，与终边相同的角为， 故答案为：. 13、要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【解析】圆心角的弧度数为. 故答案为：. 14、若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】由题可知该圆锥的底面半径， 设圆锥的母线长为l，则，得. 此该圆锥的体积， 故答案为：. 15、已知，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以． 四、解答题 16、已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值． 【答案】见解析. 【解析】解：依题意，得点到原点的距离， ∴． ∵，∴，∴，∴， ∴角的终边在第二或第三象限． 当角的终边在第二象限时，，，； 当角的终边在第三象限时，，，． 17、已知. （1）写出与角终边相同的角的集合； （2）写出在内与角终边相同的角. 【答案】(1)；(2)，， 【解析】解：（1）与角终边相同的角的集合为. （2）令，得，又，∴k=-2，-1，0， ∴在内与角终边相同的角是，，. 18、（1）角的终边上有一点，求的值； （2）若，求的值． 【解】解：（1）角的终边上有一点，则点到原点的距离， 所以，. （2） 由，得. 19、已知 (1)化简； (2)若，求的值. 【解】（1）根据诱导公式可得，. （2）由（1）得， 所以 . 20、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 【答案】（1） cm （2）α＝2时，S最大为25 （3） cm2 【解析】解：（1）α＝60°＝，l＝10×＝ cm. （2）由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. （3）设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm， S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin ＝（）cm2． $$