专题15 复数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题15 复数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解复数及有关概念。 · 了解复平面内复数的几何意义，会求复数的模。 · 会判断复数是否相等，是否互为共轭复数。 · 会进行复数的加法、减法和乘法运算。 · 会在复数范围内解实系数一元二次方程。 考点预测 · 复数的模 · 复数的运算 · 复数的几何意义 要点自测 （一）复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． （二）复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c 且b＝d （三）复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 （四）复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的(如图所示). （五）复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|． (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值). （六）共轭复数 (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． （七）复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． （八）复数加减运算的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. （九）在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． 考点突破 考点1 复数的概念 【例1】若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，时，，所以， 故选：C. 【突破训练】 1、复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部是-1， 故选: A. 2、若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即， 故选：A. 考点2共轭复数 【例1】已知复数满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，. 故选：D. 【突破训练】 1、若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】依题意，， 所以的虚部为. 故选：D 考点3复数的模 【例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 因此. 故选：C. 【突破训练】 1、已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以. 故选：C 考点4 复数的运算 【例1】设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，则， 所以，解得，因此，， 故选：C. 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 2、已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，， 故选：D. 考点5复数加减运算的几何意义 【例1】已知复数z满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由， 得， 所以，则在复平面内对应的点为. 故选：C. 【突破训练】 1、在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意得， 则， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C 考点6 解实系数一元二次方程 【例1】已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是方程的一个根， 是方程的另一个根， ， . 故选：B. 【突破训练】 1、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，即，开方得， 故选：C． 2、若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设方程为，则， 所以，，所以， 则方程为，故只有B选项符合题意. 故选：B. 模拟演练 一、选择题 1、复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】，所以复数的虚部为2. 故选：B. 2、已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A 3、复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 4、已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 5、若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】 【解析】∵， ∴ 解得 ， 故选：D. 6、若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数，所以. 故选：B 二、填空题 7、若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【答案】 【解析】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为：. 8、已知复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，则向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】因为复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，且， 所以向量对应的复数为. 故答案为：. 9、复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 . 【答案】 【解析】因， 故复数在复平面内对应点的坐标是. 故答案为：. 10、已知复数，则 . 【答案】 【解析】， 则. 故答案为：. 11、已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则 ． 【答案】 【解析】复数在复平面内对应的点为，依题意，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．计算下列复数的模： (1)； (2)； 【解】解：（1）因为， 所以 （2）因为 所以； 13.设复数（其中），. (1)若，求的值； (2)若是实数，求的值. 【解】解：（1） （2）是实数，，解得. 14．已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【解】解：（1）复数是纯虚数当且仅当，解得； （2）由（1）可得，注意到， 所以， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 由题意点在第二象限，所以， 解得，即实数的取值范围为. 15．（1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 【解】解：（1）. （2）因为在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【解】解：（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. $$专题15 复数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解复数及有关概念。 · 了解复平面内复数的几何意义，会求复数的模。 · 会判断复数是否相等，是否互为共轭复数。 · 会进行复数的加法、减法和乘法运算。 · 会在复数范围内解实系数一元二次方程。 考点预测 · 复数的模 · 复数的运算 · 复数的几何意义 要点自测 （一）复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． （二）复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c 且b＝d （三）复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 （四）复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的(如图所示). （五）复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|． (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值). （六）共轭复数 (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． （七）复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． （八）复数加减运算的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. （九）在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． 考点突破 考点1 复数的概念 【例1】若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【突破训练】 1、复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2、若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 考点2共轭复数 【例1】已知复数满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 【突破训练】 1、若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 考点3复数的模 【例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 考点4 复数的运算 【例1】设，则（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 2、已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 考点5复数加减运算的几何意义 【例1】已知复数z满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【突破训练】 1、在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点6 解实系数一元二次方程 【例1】已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 2、若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）. A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D．4 2、已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3、复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4、已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5、若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 6、若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7、若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 8、已知复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，则向量对应的复数为 . 9、复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 . 10、已知复数，则 . 11、已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则 ． 四、解答题 12．计算下列复数的模： (1)； (2)； 13.设复数（其中），. (1)若，求的值； (2)若是实数，求的值. 14．已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 15．（1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 16．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. $$