14.6 一次函数的图象（5大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.6 一次函数的图象 知识点一 正比例函数的图象 ◆正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 知识点二 一次函数的图象 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 知识点三 用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点四 用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 题型一 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．画出正比例函数y＝2x的图象． 2．（2024秋•未央区校级期中）请画出正比例函数y＝2x和yx的图象（写出作图过程）． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 4．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 5．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 6．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 7．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 8．（2024秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 题型二 求正比例函数解析式 解题技巧提炼 求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝kx； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 1．（2024秋•三水区期末）在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 2．（2024秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　） A．y＝x+5 B．yx C．yx D．y＝﹣2x+3 3．点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 4．（2024秋•碑林区校级期末）一个正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4），则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D． 5．（2024秋•平遥县期中）平面直角坐标系第二象限内有一点P，它到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则直线OP的表达式是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　 　． 7．（2024•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　） A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D． 8．已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式． 9．（2024春•安庆期末）若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 10．（2024秋•渭城区期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 题型三 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 7．求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 题型四 用待定系数法求一次函数表达式 解题技巧提炼 本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（2024秋•济南期末）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … ﹣2 1 3 … y … 7 ﹣2 ﹣8 … 则y与x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1 2．（2024春•萨尔图区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 3．（2024秋•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 4．（2024秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 5．（2024•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 6．（2024秋•庐阳区期末）已知y+1与2x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝5．求y与x之间的函数关系式． 7．（2024秋•玄武区校级月考）已知y＝y1﹣2y2中，其中y1与x成正比例，y2与（x+1）成正比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数关系式． 8．（2024秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 9．（2024秋•黄浦区期中）已知y﹣1与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣5，求： （1）y与x的函数关系式； （2）当y＝12时，x的值． 10．（2024秋•包河区校级月考）已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由． 11．（2024秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围． 12．（2024秋•揭东区期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（0，5）三点． （1）求过A，B两点的直线的函数表达式； （2）判断A，B，C三点是否共线？并说明理由． 13．（2024秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 题型五 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 2．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 3．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 5．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 6．（2024秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 7．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 8．（2024秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 9．（2024春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ （北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.6 一次函数的图象 知识点一 正比例函数的图象 ◆正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 知识点二 一次函数的图象 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 知识点三 用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点四 用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 题型一 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．画出正比例函数y＝2x的图象． 【分析】根据直线的解析式知其图象过原点，再令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，解答此题的关键找出该直线上任意两点的坐标． 2．（2024秋•未央区校级期中）请画出正比例函数y＝2x和yx的图象（写出作图过程）． 【分析】根据两个函数的解析式，分别求出当x＝0和x＝2时，y的值，再过两点画直线即可得． 【解答】解：对于正比例函数y＝2x， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2×2＝4， 即函数y＝2x的图象经过点（0，0）和（2，4），过这两点作直线即为此函数的图象． 对于正比例函数， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，， 即函数的图象经过点（0，0）和（2，1），过这两点作直线即为此函数的图象． 画出这两个函数的图象如下： 【点评】本题考查了画正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象的画法是解题关键． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可． 【解答】解： x 0 1 y＝2x 0 2 yx 0 y＝﹣0.6x 0 ﹣0.6 【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律． 4．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 【分析】根据正比例函数图象的性质可得出它们所经过的两点：原点和（1，k），画图象即可． 【解答】解：采用两点法，并且取各点的坐标值为整数最简单． （1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则该直线经过点（0，0），（2，3）． 其图象如图所示． （2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝﹣3，则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）． 其图象如图所示． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过（0，0），（1，k）． 5．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 【分析】经过（0，0）和（1，k）作出正比例函数y＝kx的图象即可． 【解答】解：（1）y＝5x的图象经过（0，0）和（1，5）， 图象为： （2）正比例函数yx的图象经过（0，0）和（1，），其图象为： 【点评】本题考查了正比例函数的图象的知识，了解正比例函数的图象所经过的点是解答本题的关键． 6．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 【分析】（1）画出函数图象即可； （2）把各点坐标代入解析式判断即可． 【解答】解：（1）图象如图： （2）把x代入y＝﹣x，所以A在图象上； 把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上； 把x代入y＝﹣x，所以C在图象上． 【点评】此题考查正比例函数问题，关键是把各点坐标代入解析式判断． 7．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 【分析】（1）根据此函数为正比例函数且正比例函数y随x的增大而增大，可得出k2﹣3＝1以及k0，即可求出答案； （2）利用描点法作图即可； （3）可令x分别等于a，a+1和a，a﹣2，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得k2﹣3＝1且k0， 解得k＝2； （2）∵k＝2， ∴yx， ∵图象过点（0，0）和（2，5）， ∴函数图象如图： （3）令x＝a，则ya， 令x＝a+1，则y（a+1）a， ∵aa， ∴当自变量x增加1时，y增加； 令x＝a，则ya， 令x＝a﹣2，则y（a﹣2）a﹣5， ∵a﹣5a＝﹣5， ∴当自变量x每减少2，y减小5． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，函数的图象，熟知正比函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2024秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 【分析】（1）分别将x＝0，y＝0代入解析式求解，根据直线与坐标轴交点作图； （2）由图象在x轴上方时x的取值范围求解． 【解答】解：（1）如图， x … 0 2 … y＝2x﹣4 … ﹣4 0 … 图象如图： （2）由图象可得，当﹣4≤y≤0时，x的取值范围为0≤x≤2． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数图象以及一次函数与方程及不等式的关系． 题型二 求正比例函数解析式 解题技巧提炼 求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝kx； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 1．（2024秋•三水区期末）在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】利用待定系数法求解析式即可． 【解答】解：当x＝2，y＝4时，4＝2k， 解得k＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了利用待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　） A．y＝x+5 B．yx C．yx D．y＝﹣2x+3 【分析】根据待定系数法即可得到函数解析式． 【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得 ﹣2k＝3． 解得k， 函数解析式为yx， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 3．点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值． 【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上， ∴﹣5＝3k， 解得：k， 故选：D． 【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出k的值是解题关键． 4．（2024秋•碑林区校级期末）一个正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4），则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D． 【分析】设此函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点A（a，2），B（a+1，4）代入，求出k的值即可． 【解答】解：设此函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵正比例函数的图象经过点A（a，2），B（a+1，4）， ∴， 解得k＝2， ∴这个正比例函数的表达式为y＝2x． 故选：A． 【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 5．（2024秋•平遥县期中）平面直角坐标系第二象限内有一点P，它到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则直线OP的表达式是（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知可求M（﹣5，4），再用待定系数法求OM的解析式． 【解答】解：∵点P到x轴的距离为5，到y轴距离为4，P在第二象限， ∴P（﹣4，5）， 设OP的解析式为y＝kx+b， 将点O（0，0），P（﹣4，5）代入，得 ， ∴， ∴yx， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次函数解析式的求法；熟练掌握平面内点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 6．（2024春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　 　． 【分析】本题中只需把点的坐标代入函数解析式，即可求得k值，从而解决问题． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，）， ∴k即k， ∴该正比例函数的解析式为yx． 故答案为：． 【点评】考查了待定系数法求正比例函数解析式，此类题目可直接将点的坐标代入解析式，然后利用方程解决问题． 7．（2024•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　） A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D． 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，再根据正比例函数图象上点的坐标可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，进而可得答案． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过A（m，6），B（5，n）两点， ∴6＝km，n＝5k， ∴k，k， ∴， ∴mn＝30， 故选：C． 【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数解析式，解决问题的关键是掌握函数图象上的点的坐标必须满足函数解析式． 8．已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式． 【分析】设该正比例函数解析式为y＝kx①，由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②，联立方程组，解方程组即可． 【解答】解：设该正比例函数解析式为y＝kx①， 由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②， 联立①②，解得k＝﹣2． 所以，该正比例函数的解析式是y＝﹣2x． 【点评】考查了待定系数法确定函数关系式，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，列出方程组是解题的难点． 9．（2024春•安庆期末）若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 【分析】（1）设y＝k x，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系； （2）把y＝5代入计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）设y＝kx， 把x＝2，y＝﹣4代入得：y＝kx， 解得k＝﹣2， 即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x． （2）把y＝6代入y＝﹣2x得：6＝﹣2x， 解得x＝﹣3， 即x的值是﹣3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值等知识点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 10．（2024秋•渭城区期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）设正比例函数为y＝kx，将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k，计算求解，然后作答即可； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a，计算求解即可． 【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx， 将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k， 解得k＝﹣5， ∴y＝﹣5x； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a， 解得， ∴a的值为． 【点评】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． 题型三 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k、b的值和一次函数的性质可以得到函数y＝﹣2x﹣2的图象经过哪几个象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x﹣2的图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，写出该函数图象经过哪几个象限． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝2， 因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）； （2）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝﹣2， 因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）； 如图所示： 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3； 先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1． 【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3； 作直线y＝2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1． 方法二：作直线y＝﹣2x+3． 当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 作直线y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 【分析】（1）根据描点法画出图象即可； （2）将x＝0，代入y＝﹣2x+4，求出y的值，即得出这个函数的图象与y轴的交点；将y＝0，代入y＝﹣2x+4，求出x的值，即得出这个函数的图象与x轴的交点； 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣2+4＝2， 当x＝2时，y＝﹣2×2+4＝0． ∴画出这个函数的图象如下： （2）当x＝0时，y＝4， ∴这个函数的图象与y轴的交点为（0，4）； 当y＝0时，即0＝﹣2x+4， 解得：x＝2， ∴这个函数的图象与x轴的交点为（2，0）． 【点评】本题考查画一次函数图象，求一次函数图象与坐标轴的交点．注意一次函数图象是一条直线是解题关键． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得 ， 解得m＝0， 函数解析式为y＝﹣2x+4， （2）∵y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0， 过（0，4）和（2，0）画一条直线即可， 〇 （3）∵k＝﹣2， ∴y的值随x的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 7．求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标． （2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积． 【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示： （1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2； 故A（2，0）、B（0，﹣2）， （2）由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2， ∴S△AOB2． 【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键． 题型四 用待定系数法求一次函数表达式 解题技巧提炼 本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（2024秋•济南期末）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … ﹣2 1 3 … y … 7 ﹣2 ﹣8 … 则y与x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1 【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式． 【解答】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（﹣2，7），（1，﹣2）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣3x+1． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题的关键． 2．（2024春•萨尔图区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5， ∴， 解得：， 故它的解析式是：y＝3x﹣5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确将已知点代入是解题关键． 3．（2024秋•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线的方程为：y＝kx+b， 将点（1，2）与（2，4）代入可得：， 解得：， ∴直线的方程为：y＝2x， 将四个选项代入，可知B符合要求． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，掌握待定系数法求一次函数关系式的方法是关键． 4．（2024秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2024•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 6．（2024秋•庐阳区期末）已知y+1与2x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝5．求y与x之间的函数关系式． 【分析】利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 令y+1＝k（2x﹣1）， 则5+1＝k×（2×2﹣1）， 解得k＝2， 则y+1＝2（2x﹣1）， 所以y与x之间的函数关系式为y＝4x﹣3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 7．（2024秋•玄武区校级月考）已知y＝y1﹣2y2中，其中y1与x成正比例，y2与（x+1）成正比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数关系式． 【分析】y1与x成正比例，可设y1＝k1x，y2与（x+1）成正比例，可把x+1看成一个整体，设y2＝k2（x+1），利用待定系数法即可求解． 【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x+1），则y＝k1x﹣2k2（x+1）， 根据题意得， 解得：． ∴y＝x﹣2×（）（x+1）＝2x+1． 【点评】本题的思想应掌握：要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 8．（2024秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可； （2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4， ∴当x＝﹣1时，y＝6， ∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 9．（2024秋•黄浦区期中）已知y﹣1与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣5，求： （1）y与x的函数关系式； （2）当y＝12时，x的值． 【分析】（1）根据成正比例的定义，设y﹣1＝kx，然后把已知的一组对应值代入求出k的值，从而得到y与x的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为12所对应的自变量的值即可． 【解答】解：（1）设y﹣1＝kx， 把x＝2，y＝﹣5代入得﹣5﹣1＝2k， 解得k＝﹣3， 所以y﹣1＝﹣3x， 所以y与x的函数关系式为y＝﹣3x+1； （2）当y＝12时，﹣3x+1＝12， 解得x， 即x的值为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． 10．（2024秋•包河区校级月考）已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由． 【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论； （2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例， ∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1）， ∵x＝2时，y＝﹣2， ∴﹣2+3＝k（2﹣1）， 解得k＝1， ∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4； （2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由： 由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5， ∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键． 11．（2024秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）分别把y＝﹣2和y＝4代入y＝﹣2x+4，再根据一次函数的增减性，即可求解． 【解答】解：（1）设一次函数的表达式y＝kx+b， ∵点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上， ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达式为y＝﹣2x+4； （2）把y＝﹣2代入y＝﹣2x+4得：x＝3； 把y＝4代入y＝﹣2x+4得：x＝0， ∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当﹣2≤y＜4时，x的范围是0＜x≤3． 【点评】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键． 12．（2024秋•揭东区期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（0，5）三点． （1）求过A，B两点的直线的函数表达式； （2）判断A，B，C三点是否共线？并说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出直线A、B的解析式即可； （2）把点C（0，5）代入直线AB的解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）设经过直线A（﹣1，4），B（﹣3，2）两点的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+5； （2）A，B，C三点共线，理由： 由（1）知直线AB的解析式为y＝x+5， 当x＝0时，y＝5， ∴点C（0，5）在直线AB上， ∴A，B，C三点共线． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的步骤是解题的关键． 13．（2024秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解． （2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可； （3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x， 根据题意得，， 解得． ∴y＝2×（x﹣1）+x， 即y＝3x﹣2； （2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17； （3）∵y＞0， ∴3x﹣2＞0， 解得：x． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是掌握要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 题型五 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 【分析】根据直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），可以求得k的值，然后令y＝0求出x的值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3）， ∴2k+1＝3， 解得k＝1， ∴y＝x+1， 当y＝0时，x＝﹣1， 即该直线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 2．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”，依此规律代入n＝2023即可得出点B2023的坐标． 【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴点B1的坐标为（1，1）． 同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…， ∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…， ∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）， ∴点B2023的坐标是（22022，22023﹣1）． 故答案为：（22022，22023﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”是解题的关键． 3．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【解答】解：如图， ∵A1（1，1）在直线上， ∴b， ∴yx， 设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022）， 则有y2x2， y3x3， … y2021x2021， 又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形， ∴x2＝2y1+y2， x3＝2y1+2y2+y3， … x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023， 将点坐标依次代入直线解析式得到： y2y1+1， y3y1y2+1y2， y4y3， … y2022y2021， 又∵y1＝1， ∴y2， y3＝（）2， y4＝（）3， … y2023＝（）2022， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键． 4．（2024秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）根据勾股定理求解． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6， 令x＝0，则y＝3， ∴点A的坐标为（6，0）， 点B的坐标为（0，3）； （2）如图： （3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OA＝6，OB＝3， 在Rt△ABC中，AB3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键． 5．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）． ∴OA＝3， ∵x+y＝4， ∴y＝4﹣x， ∴S3×y（4﹣x）， 即Sx+6 （0＜x＜4）； （2）画出函数S的图象如图： （3）∵△OPA面积是5， x+6＝5， 解得x， ∴y＝4， ∴点P的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 6．（2024秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）利用两点画出函数的图象； （3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP； 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． ∴﹣3k+4＝0， ∴k； （2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4）， （3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值， ∵A（2，0），B（0，4），C（3，0）， ∴BC＝5，AC＝5， ∵CA•OB， ∴5×4＝5AP， ∴AP＝4． ∴AP的最小值是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键． 7．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值； （2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D， ∵等边△OAB边长为4， ∴OB＝4， ∴OD＝BD＝2， ∴AD， ∴点A（2，2）， ∵点A在直线yx+m上， ∴， 解得，m， ∴yx， 当y＝0时，x＝8， ∴点E（8，0）， 即点A（2，2），点E（8，0），m； （2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0）， ∴OD＝2，OE＝8， ∴DE＝OE﹣OD＝6， ∵AD＝2， ∴AE， ∵OA＝4，OE＝8， ∴，OE2＝82＝64， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°， ∴OA⊥AE． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 8．（2024秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标； （2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B， 当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5， ∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）； （2）∵A（5，0），B（0，5）， ∴OA＝5，OB＝5， ∴AB2， ∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形， ①当AC＝BC时， ∴C（0，0）， ②当AB＝AC时， ∵AC＝2， ∴C（25，0）或（25，0）， ③当AB＝BC时， ∵OC＝OA＝5， ∴C（﹣5，0）， 综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25，0）或（25，0）或（0，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 9．（2024春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长， （2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）． （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4， ∴B（0，4）． ∴OB＝4 令y＝0得：0x+4，解得：x＝3， ∴A（3，0）． ∴OA＝3． 在Rt△OAB中，AB5． （2）∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝3+5＝8， ∴C（8，0）． 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4． 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6， ∴D（0，﹣6）． （3）存在，理由如下： ∵S△PABS△OCD， ∴S△PAB6×8＝12． ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP•OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $