14.5 一次函数（5大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.5 一次函数 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•黄浦区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 【分析】形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项不符合题意； D、是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数，熟知其定义是解题的关键． 2．（2024春•惠城区期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝5x﹣1 B．yx C．y＝x2 D．y 【分析】一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 【解答】解：A．y＝5x﹣1属于一次函数，不合题意； B．yx属于正比例函数，符合题意； C．y＝x2属于二次函数，不合题意； D．y属于反比例函数，不合题意； 故选：B． 【点评】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 3．（2024秋•郁南县期中）在下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+2 【分析】利用正比例函数的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意； B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意； C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意； D．y＝3x2+2为二次函数，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 4．（2024秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高 【分析】根据正比例函数的定义解决此题． 【解答】解：A．设圆的半径为r，面积为S，则S＝πr2，那么S与r不是正比例关系，故A不符合题意． B．设长方形的面积为a，长为x，宽为y，则a＝xy，那么x与y成反比例函数关系，故B不符合题意． C．设正方形的边长为x，周长为C，那么C＝4r，那么C与r成正比例关系，故C符合题意． D．设三角形的面积为S，它的一条边长与这条边上的高分别为x与y，则S，那么x与y是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 5．（2024春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2， 其中属于正比例函数的有：②，只有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 6．（2024春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，进行判断即可． 【解答】解：A、S＝x2是二次函数， 故此选项不符合题意； B、h是反比例函数， 故此选项不符合题意； C、C＝4x是正比例函数， 故此选项符合题意； D、设水箱有水x L，则V＝x﹣0.5t，不是正比例函数， 故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0 【分析】根据正比例函数的定义，即可得出关于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数， ∴， 解得：a≠4且b＝0． 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义是解题的关键． 2．（2024春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），可得m﹣2＝1，n+1＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： m﹣2＝1，n+1＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴m+n＝3﹣1＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可． 【解答】解：∵函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数， ∴， 解得m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，根据题意得出关于m的方程组是解题的关键． 4．（2024春•平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　） A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1 【分析】根据正比例函数定义可得|a+1|＝1且a+2≠0，再解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数， ∴|a+1|＝1且a+2≠0， 解得：a＝0， 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的概念，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 5．（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据正比例函数的定义列式计算． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数， ∴4﹣m2＝0，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 6．（2024春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx的函数是正比例函数，其中k为常数且k≠0）解决此题． 【解答】解：由题意得，m﹣n+1≠0、n﹣2＝0且|n﹣1|＝1． ∴n＝2． ∴m≠1． 故选：D． 【点评】本题主要考查正比例的函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 7．（2024秋•平远县期末）如果y＝kx+2k+x是关于x的正比例函数，则k的值为 　 　． 【分析】根据正比例函数的定义求出k的值即可． 【解答】解：y＝kx+2k+x＝（k+1）x+2k， ∵y＝kx+2k+x是关于x的正比例函数， ∴k+1≠0且2k＝0， 解得k＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如y＝kx（k是常数且k≠0）的函数叫做正比例函数． 8．（2024秋•市南区校级期末）若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　　． 【分析】根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1，从而求出k值． 【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， ∴k＝0． 【点评】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义，属于中考常考题型． 9．（2024春•武冈市期末）若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2025的值为 　 　． 【分析】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数， ∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1， ∴a2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 10．（2024秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入计算求得2a﹣b+c，进而即可求得2a﹣b+c的平方根． 【解答】解：（1）∵函数y＝（b+2）x且y是x的是正比例函数， ∴， ∴b＝2， ∵5a+4的立方根是4， ∴5a+4＝43， ∴a＝12， ∵c是的整数部分， ∴c＝3； （2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5． 【点评】本题考查正比例函数、立方根、估算无理数的大小，掌握正比例函数的定义、立方根的意义是正确解答的前提，确定a、b、c的值是正确解答的关键． 题型三 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．（2024春•东城区校级期中）下列函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2 B．y＝2x﹣1 C． D．y＝﹣2 【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．函数y＝x2是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数y＝2x﹣1是一次函数，故本选项符合题意； C．函数y是反比例函数，故本选项不符合题意； D．函数y＝﹣2不是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的定义，关键是一次函数定义的熟练掌握． 2．（2024秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（　　） A．y＝x2+1 B． C．y＝x D．y＝x（x﹣1） 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意； B、x在分母中，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、y＝x是一次函数，故此选项符合题意； D、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 3．（2024秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 【分析】利用一次函数的定义“一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数”，逐一分析四个选项的函数，即可得出结论． 【解答】解：A．|y|，不是一次函数，选项A不符合题意； B．y＝2，不是一次函数，选项B不符合题意； C．y＝x+x2，不是一次函数，选项C不符合题意； D．y＝3（x﹣2），是一次函数，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 4．（2024秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解． 【解答】解：A选项，y＝2x2+4是y关于x的二次函数，不符合题意； B选项，，y不是x的一次函数，不符合题意； C选项，y＝﹣2x+1是y关于x的一次函数，符合题意； D选项，y＝kx+b中k的值不确定，不能判定，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键． 5．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝﹣x+4 B．y C．y D．y 【分析】直接根据一次函数的定义进行判断． 【解答】解：y＝﹣x+4，yx，y3x都是一次函数，而y为反比例函数． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数． 6．（2024秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、函数y＝2x+1是一次函数，不符合题意； B、函数y＝2x是一次函数，不符合题意； C、函数y不是一次函数，符合题意； D、函数y是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 7．（2024秋•蒲江县校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝kx+b，当k＝0时，不是一次函数； ②y＝2x是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤y＝x2﹣2x+1不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解答此题的关键． 8．（2024秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，进而判断得出答案． 【解答】解：①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，其中，是一次函数的有：①y＝5x；②y＝﹣2x﹣1；④共3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键． 题型四 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．函数y＝（k2﹣1）x+3k是一次函数，则k的取值范围是（　　） A．k≠﹣1 B．k≠1 C．k≠±1 D．k为一切实数 【分析】根据一次函数定义可得k2﹣1≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：k2﹣1≠0， 解得：k≠±1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．已知y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．±2 【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案． 【解答】解；由y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得 ， 由|m|﹣2＝1得出m＝3或﹣3，而由m﹣3≠0得出m≠3，两者必须同时成立，所以m＝﹣3 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1 3．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值 是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 4．（2024秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴m＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．（2024春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 【分析】根据一次函数的定义，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答． 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 6．（2024秋•青山区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的一次函数，则m＝　 　． 【分析】由定义可得m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，从而可得答案． 【解答】解：由条件可知m﹣2≠0，|m|﹣1＝1， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键． 7．（2024秋•市南区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数，则m＝　 　． 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数， 则|m﹣4|＝1且m﹣2≠0， ∴m﹣4＝±1， ∴m＝5或m＝3， 故答案为：5或3． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟知其定义是解题的关键． 8．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 9．（2024秋•城关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？ （2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此求解即可； （2）根据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可． 【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|＝1， 解得m＝±1， 又∵m﹣1≠0，即m≠1， ∴当m＝﹣1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|＝1，n+4＝0， 解得m＝±1，n＝﹣4， 又∵m﹣1≠0即m≠1， ∴当m＝﹣1，n＝﹣4时，这个函数是正比例函数． 【点评】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1． 题型五 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2024秋•淮北期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（　　） A． B． C．t＝25﹣6h D．h＝25﹣6t 【分析】某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，据此列出关系式即可． 【解答】解：某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为t＝25﹣6h， 故选：C． 【点评】此题考查了列函数关系式．正确理解题意是解题的关键． 2．（2024春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价． 【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30， 则0≤x≤20． 故选：B． 【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围． 3．（2024•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 【分析】由木栏的总长，可得出2x+y＝40，变形后，即可得出结论． 【解答】解：∵木栏总长为40m， ∴2x+y＝40， ∴y＝40﹣2x． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x满足的函数关系是解题的关键． 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 【分析】根据剩余木板的面积＝原长方形的面积﹣截去的面积． 【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x． 故选：C． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 5．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 【分析】根据：底边长+两腰长＝周长，建立等量关系，变形可得y与x的关系式，根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【解答】解：由题意得，2x+y＝36， 则y＝36﹣2x， 根据三角形的三边关系可得：， 解得：9＜x＜18． 综上可得：y＝36﹣2x（9＜x＜18）． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式，解答本题的关键是根据等腰三角形的周长表达式得出等式，熟练掌握三角形的三边关系． 7．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y（单位：cm）随所挂重物x（单位：kg）变化的函数解析式为 　 　． 【分析】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm， ∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2x cm， ∴弹簧总长y＝2x+12． 故答案为：y＝2x+12． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 8．（2024春•大东区期末）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是　 　． 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升＝5毫升，则x分钟可滴5x毫升，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝100×0.05x， 即y＝5x． 故答案为：y＝5x． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 9．（2024秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长+x＝原宽+y． 【解答】解：依题意有120+x＝100+y， 则y＝x+20， x不能是负数，∴x≥0， 符合一次函数的一般形式． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．一次函数的一般形式为y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）． 10．（2024春•启东市期末）图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为 　 ． 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6（x﹣1），根据规律即可求解． 【解答】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：10+6＝16； 当三个图拼接时，总长度为：10+2×6； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6（x﹣1）＝6x+4， ∴y与x的关系式为y＝6x+4． 故答案为：y＝6x+4． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 11．已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶．设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米． （1）求y与x的关系式； （2）当汽车行驶了2小时，求汽车距B地有多远？ 【分析】（1）根据剩余的路程＝两地的距离﹣行驶的距离即可得到y与x的函数关系式； （2）将x＝2代入函数关系式，求得y值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得 y＝200﹣60x（0≤x）． （2）将x＝2代入函数关系式得： y＝200﹣60×2＝80千米． 答：汽车距离B地80千米． 【点评】本题主要考查的是列函数关系式，读懂题意，明确剩余的路程＝两地的距离﹣行驶的距离是解答本题的关键． 12．（2024春•城关区校级期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 【分析】（1）应交水费y＝10吨的水费+超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将y＝39代入关系式，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝1.2×10+（x﹣10）×1.8＝1.8x﹣6， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝1.8x﹣6． （2）当y＝39时，1.8x﹣6＝39， 解得，x＝25， 答：小明家里用水25吨． 【点评】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，本题水费y＝10吨的水费+超过10吨的水费． 13．（2024春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 【分析】（1）将x＝100和x＝300分别代入该函数解析式进行计算求解； （2）将x＝350分别代入该函数解析式进行计算求解； （3）将y＝8代入该函数解析式进行计算求解． 【解答】解：（1）由题意得，当x＝100时， a＝56﹣0.08×100＝56﹣6＝48， 当x＝300时， b＝56﹣0.08×300＝56﹣24＝32， 故答案为：48，32； （2）当x＝350时， y＝56﹣0.08×350 ＝56﹣28 ＝28（升）， 答：这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升； （3）当y＝8时，得56﹣0.08x＝8， 解得x＝600， 答：汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米． 【点评】此题考查了利用一次函数解决实际问题的能力，关键是能建立函数模型并能运用该模型解决实际问题． 14．（2024春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可； （2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答； （3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：300； （2）由题意得： y＝0100＝2x﹣600， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x﹣600， 故答案为：2x﹣600； （3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得： 2x﹣600＝1000， 解得：x＝800， 答：当乘车人数为800人时，利润为1000元． 【点评】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ （北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 14.5 一次函数 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•黄浦区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 2．（2024春•惠城区期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝5x﹣1 B．yx C．y＝x2 D．y 3．（2024秋•郁南县期中）在下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+2 4．（2024秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高 5．（2024春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0 2．（2024春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 4．（2024春•平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　） A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1 5．（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 6．（2024春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 7．（2024秋•平远县期末）如果y＝kx+2k+x是关于x的正比例函数，则k的值为 　 　． 8．（2024秋•市南区校级期末）若x，y是变量，且y＝（k﹣2）x|k﹣1|是正比例函数，则k值为　　． 9．（2024春•武冈市期末）若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2025的值为 　 　． 10．（2024秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 题型三 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．（2024春•东城区校级期中）下列函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2 B．y＝2x﹣1 C． D．y＝﹣2 2．（2024秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（　　） A．y＝x2+1 B． C．y＝x D．y＝x（x﹣1） 3．（2024秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 4．（2024秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 5．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝﹣x+4 B．y C．y D．y 6．（2024秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 7．（2024秋•蒲江县校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．函数y＝（k2﹣1）x+3k是一次函数，则k的取值范围是（　　） A．k≠﹣1 B．k≠1 C．k≠±1 D．k为一切实数 2．已知y＝（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．±2 3．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值 是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 4．（2024秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 5．（2024春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 6．（2024秋•青山区校级期中）已知y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的一次函数，则m＝　 　． 7．（2024秋•市南区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣4|+m﹣4为一次函数，则m＝　 　． 8．已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 9．（2024秋•城关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x2﹣|m|+n+4． （1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？ （2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 题型五 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2024秋•淮北期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（　　） A． B． C．t＝25﹣6h D．h＝25﹣6t 2．（2024春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 3．（2024•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 5．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 7．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y（单位：cm）随所挂重物x（单位：kg）变化的函数解析式为 　 　． 8．（2024春•大东区期末）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是　 　． 9．（2024秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 10．（2024春•启东市期末）图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为 　 ． 11．已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶．设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米． （1）求y与x的关系式； （2）当汽车行驶了2小时，求汽车距B地有多远？ 12．（2024春•城关区校级期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 13．（2024春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 14．（2024春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $