第03讲 矩形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第03讲 矩形 课程标准 学习目标 ①矩形的定义及其性质 ②直角三角形斜边上的中线的性质 ③矩形的判定 1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用。 2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。 3. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。 知识点01 矩形的定义与性质 1. 矩形的定义： 有一个角是 的平行四边形是矩形。 2. 矩形的性质： ①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 特殊性质： ②边的特殊性：邻边 。 ③角的特殊性：四个角都是 。 ④对角线的特殊性：对角线 。即对角线 。 即：AC BD，OA OB OC OD。 由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 。 ⑤面积：等于任意一组 的乘积。 ⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等 【即学即练2】 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 知识点02 直角三角形斜边上的中线 1. 直角三角形斜边的中线的性质： 由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 【即学即练1】 4．如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，过点D作BC的垂线交BC于点E，过点B作BD的垂线交DE的延长线于点F，AB＝BE＝1，则DF＝ 　 　． 【即学即练2】 5．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　 　． 知识点03 矩形的判定 1. 矩形的判定方法： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四个角（三个角）都是 的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC= ∴四边形ABCD是矩形 平行四边形加特殊性 有一个角是 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，AD=BC ∴四边形ABCD是矩形 【即学即练1】 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 【即学即练2】 7．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形． 题型01 利用矩形的性质求线段长度 【典例1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【变式1】如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB＝10，EF＝3，则线段CE的长为（　　） A．7 B．4 C．2 D． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【变式3】如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　） A． B．4 C． D．8 【变式4】如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　 ． 题型02 利用矩形的性质求角的度数 【典例1】如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1】如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（　　） A．25° B．45° C．65° D．85° 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式3】如图，长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠BCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　． 题型03 利用矩形的性质求点的坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 【变式1】已知矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（1，4），B（5，4），C（5，1），将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，4） C．（4，1） D．（﹣2，1） 【变式2】如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0） 【变式3】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 题型04 直角三角形斜边上的中线的性质应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点．若AC＝6，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四边形AEDF的周长为 　 　cm． 【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（　　） A．20° B．30° C．36° D．40° 【变式2】在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　 　． 题型05 矩形的判定与性质综合 【典例1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O且相互垂直，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长． 【变式1】在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF⊥OE，交OE的延长线于点F． （1）求证：四边形OFCB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OFCB的面积． 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 3．在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD 4．将长方形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B沿直线EN、EM折叠，得到如图，则互为余角的是（　　） A．∠AEN与∠A′EN B．∠BEM与∠B′EM C．∠A′EA与∠A′EB D．∠AEN与∠B′EM 5．已知▱ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得▱ABCD是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时，∠CED的大小为（　　） A．27° B．37° C．53° D．63° 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则对角线AC的长为（　　） A． B． C．5 D．4 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t＝（　　）s时，四边形APQD是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（　　） A．60cm2 B．64cm2 C． D． 11．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，已知AB＝3，BC＝4，则AF的长为 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，CA＝2AB，则∠BOE的度数为 　 　． 13．将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．当宽BC长度不变而长AB增长时，将5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，则a，b满足的等量关系是　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，P为第一象限内的一点，过点P分别作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，点C在线段PB上，且点C的横、纵坐标相同，过点P作PD⊥OC于点D．设长方形OAPB的周长为m，OD的长为n，则 　 　． 16．如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE．请添加一个条件，使四边形AECF为矩形（不需要说明理由）． 17．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若EF＝7，BC＝12，求△EFM的周长． 18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O且相互垂直，过点D作DE∥AC，且，连接AE，CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长． 19．如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线． （1）求证：BDAC； （2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值． 20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 矩形 课程标准 学习目标 ①矩形的定义及其性质 ②直角三角形斜边上的中线的性质 ③矩形的判定 1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用。 2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。 3. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。 知识点01 矩形的定义与性质 1. 矩形的定义： 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。 2. 矩形的性质： ①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 特殊性质： ②边的特殊性：邻边 相互垂直 。 ③角的特殊性：四个角都是 直角（或90°） 。 ④对角线的特殊性：对角线 相等 。即对角线 相互平分且相等 。 即：AC ＝ BD，OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD。 由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 等腰三角形 。 ⑤面积：等于任意一组 邻边 的乘积。 ⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等 【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等； 故选项B、C、D不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到EO+EF的值． 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，， ∴， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即， ∴， ∴． 故选：C． 【即学即练3】 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝40°，可得∠E度数． 【解答】解：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD， ∵∠ADB＝40°， ∴∠ADB＝∠CAD＝40°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°． 故选：D． 知识点02 直角三角形斜边上的中线 1. 直角三角形斜边的中线的性质： 由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 【即学即练1】 4．如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，过点D作BC的垂线交BC于点E，过点B作BD的垂线交DE的延长线于点F，AB＝BE＝1，则DF＝ 　2.5　． 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得BD＝AD＝CDAC，则∠DBA＝∠A，再根据DE⊥BC得BE＝CE＝AB＝1，则BC＝2，由此得AC，则BD＝AD＝CD，证明△ABC和△BEF全等得AC＝BF，然后在Rt△BDF中，由勾股定理即可求出DF的长． 【解答】解：∵BD为Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴BD＝AD＝CDAC， ∴∠DBA＝∠A， ∵DE⊥BC， ∴BE＝CE， ∵AB＝BE＝1， ∴AB＝BE＝CE＝1， 在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2BE＝2， 由勾股定理得：AC， ∴BD＝AD＝CD， ∵∠ACB＝90°，BD⊥DF， ∴∠ABC＝∠BEF＝90°， ∴∠DBA+∠DBC＝90°，∠DBC+∠EBF＝90°， ∴∠DBA＝∠EBF， ∴∠A＝∠EBF， 在△ABC和△BEF中， ， ∴△ABC≌△BEF（ASA）， ∴AC＝BF＝√5， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2.5． 故答案为：2.5． 【即学即练2】 5．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　112°　． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，推出∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，得到∠ADE+∠ABE＝∠BAD＝56°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴DEAC，BEAC， ∴DE＝BE＝AE， ∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE， ∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°， ∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE， ∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°． 故答案为：112°． 知识点03 矩形的判定 1. 矩形的判定方法： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四个角（三个角）都是 直角 的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC= 90° ∴四边形ABCD是矩形 平行四边形加特殊性 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形 对角线 相等 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，AD=BC ∴四边形ABCD是矩形 【即学即练1】 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答． 【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意； D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠BAD＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【即学即练2】 7．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形． 题型01 利用矩形的性质求线段长度 【典例1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O， ∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD， ∵∠ACB＝30°，AB＝2， ∴∠OBC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴BD＝2OB＝4． 故选：D． 【变式1】如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB＝10，EF＝3，则线段CE的长为（　　） A．7 B．4 C．2 D． 【分析】先证EF是△ABD的中位线，即可求出AD的长，再根据勾股定理即可求出BD的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CE的长． 【解答】解：连接EF， ∵E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴OEAD， ∵EF＝3， ∴AD＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝10， 由勾股定理得，BD2， 在Rt△BCD中，E是BD的中点， ∴CEBD， 故选：D． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】由矩形的性质得AB∥CD，∠BAD＝90°，则∠ABD＝∠BDC＝60°，而AE⊥BD于E，则∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，所以AB＝2BE＝2，BD＝2AB＝4，求得AD2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BDC＝60°， ∴AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠BDC＝60°， ∵AE⊥BD于E，BE＝1， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°， ∴AB＝2BE＝2， ∴BD＝2AB＝4， ∴AD2， 故选：B． 【变式3】如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　） A． B．4 C． D．8 【分析】连接CP，根据矩形的性质得到EF＝CP，AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，根据勾股定理得到AC，于是得到结论． 【解答】解：连接CP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EF＝CP， ∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值， 当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC， ∴AP+EF的最小值为， 故选：C． 【变式4】如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　　． 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案． 【解答】解：连接PO， ∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC13， ∴S△AODS矩形ABCD＝15，OA＝ODAC， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝15， ∴PE+PF， 故答案案为：． 题型02 利用矩形的性质求角的度数 【典例1】如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵△EBC是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝60°． 故选：C． 【变式1】如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（　　） A．25° B．45° C．65° D．85° 【分析】设两个矩形分别为矩形ABCD和矩形EFGH，则∠ADC＝∠E＝90°，求得∠EAD＝65°，由∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，得∠2＝∠EAD＝65°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∵∠1＝115°， ∴∠EAD＝180°﹣∠1＝180°﹣115°＝65°， ∵∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠2＝∠EAD＝65°， 故选：C． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】则∠BCD＝90°，OD＝OC，根据∠BCE：∠DCE＝2：1，求出∠DCE＝30°，根据题意，则∠DEC＝90°，求出∠EDC，得到△ODC是等边三角形，即可求出∠ACE． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1， ∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE， ∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE， ∵∠ACE+∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝30°． 故选：C． 【变式3】如图，长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠BCE＝20°，则∠ACB的度数为　60°　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，从而得到∠ACG＝2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECB＝∠F，再求出∠ACB＝3∠F，从而得解． 【解答】解：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F， ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F， ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F， ∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F， ∴∠ACB＝3∠ECB＝60°； 故答案为：60°． 题型03 利用矩形的性质求点的坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵点A（4，﹣2），点C（1，2）， ∴AC5， ∵四边形ABCO是矩形， ∴OB＝AC＝5， ∴点B的横坐标为5， 故选：C． 【变式1】已知矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（1，4），B（5，4），C（5，1），将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，4） C．（4，1） D．（﹣2，1） 【分析】先由矩形的性质及A、B、C三点的坐标特点，确定点D的坐标，再根据平移即可确定点D′的坐标； 【解答】解：已知矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（1，4），B（5，4），C（5，1）， ∴AB∥x轴，AB＝4；BC⊥x轴，BC＝3； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD⊥x轴，CD∥x轴，CD＝AB＝4，AD＝BC＝3， ∴D（1，1）， ∵矩形ABCD向右平移3个单位长度得到矩形A′B′C′D′， ∴D′（4，1）， 故选：C． 【变式2】如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0） 【分析】根据矩形的性质得出BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，再根据点A坐标进而可以解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2， 由题意可知：AM＝AC＝2， ∵OA＝|﹣1|＝1， ∴OM＝AM﹣OA＝21， ∴点M的坐标为（21，0）， 故选：C． 【变式3】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接BO，由矩形的性质得到AC＝OB，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出OB的长即可得到答案． 【解答】解；连接OB，如图所示， ∵四边形OABC是矩形， ∴OB＝AC， ∵B（1，3）， ∴， 故选：B． 题型04 直角三角形斜边上的中线的性质应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点．若AC＝6，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【解答】解：∵点D是AC的中点，AC＝6， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四边形AEDF的周长为 　18　cm． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据四边形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝10cm，AC＝8cm， ∴AEAB10＝5cm，AFAC＝4cm， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADB中，E是AB的中点， 则DEAB10＝5cm， 同理可得：DFAC＝4cm， ∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+AF+DF＝5+4+5+4＝18（cm）， 故答案为：18． 【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC＝14， ∴DEBC＝7， ∵∠AFB＝90°，AB＝8， ∴DFAB＝4， ∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3， 故选：B． 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得OC＝OBAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B＝50°，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴OC＝OBAB， ∴∠OCB＝∠B＝50°， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（　　） A．20° B．30° C．36° D．40° 【分析】设∠A＝x°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得DC＝DA，从而可得∠A＝∠DCA＝x°，再利用三角形的外角性质可得∠CDE＝2x°，然后利用三角形内角和定理可得∠CED＝180°﹣3x°，再根据题意可得：CD＝CE，从而利用等腰三角形的性质可得∠CED＝∠CDE，进而列出关于x的方程，进行计算，即可解答． 【解答】解：设∠A＝x°， ∵∠ACB＝90°，点D是边AB的中点， ∴DC＝DAAB， ∴∠A＝∠DCA＝x°， ∵∠CDE是△DCA的一个外角， ∴∠CDE＝∠DCA+∠A＝2x°， ∵∠A＝∠DCE， ∴∠A＝∠DCE＝x°， ∴∠CED＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣3x°， 由题意得：CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴180﹣3x＝2x， 解得：x＝36， ∴∠A＝36°， 故选：C． 【变式2】在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　96°　． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCE，根据直角三角形的性质得到PFAC＝PC，PEAC＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵CE⊥BA，∠B＝42°， ∴∠BCE＝48°， ∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点， ∴PFAC＝PC，PEAC＝PC， ∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE， ∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°， 故答案为：96°． 题型05 矩形的判定与性质综合 【典例1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长． 【分析】（1）先说明四边形BECO是平行四边形，再根据菱形的性质得∠BOC＝90°，即可得出答案； （2）根据菱形得性质得OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，再根据勾股定理得，进而得出BD，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形BECO是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）解：如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴OA＝OC3，OB＝OD，AC⊥BD， ∴， ∴BD＝2OB＝8． ∵四边形BECO是矩形， ∴BE＝OC＝3． ∴． 【变式1】在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF⊥OE，交OE的延长线于点F． （1）求证：四边形OFCB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OFCB的面积． 【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥BC，再证明OB∥CF，则四边形OFCB是平行四边形，由CF⊥OE，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出DB，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，即OE∥AD， ∵AD⊥BD， ∴OF⊥BD， ∵CF⊥OE， ∴OD∥CF，即OB∥CF， ∴四边形OFCB是平行四边形， ∵CF⊥OE，四边形OFCB是矩形； （2）解：∵AD＝8，DC＝12， ∴BC＝8， ∵∠CBD＝∠ADB＝90°， ∵BD2＝CD2﹣BC2， ∴， ∴， ∴矩形OFCB的面积． 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB， ∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立， 故选：C． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 3．在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD 【分析】由矩形的判定对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由AC＝BD能判定▱ABCD为菱形，故此选项符合题意； B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意； C、由AB＝BC能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意； D、AC平分∠BAD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．将长方形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B沿直线EN、EM折叠，得到如图，则互为余角的是（　　） A．∠AEN与∠A′EN B．∠BEM与∠B′EM C．∠A′EA与∠A′EB D．∠AEN与∠B′EM 【分析】根据角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算逐一判断即可． 【解答】解：A、根据题意得∠AEN＝∠A′EN，∠AEN与∠A′EN相等，故A选项不符合题意； B、根据题意得∠BEM＝∠B′EM，∠BEM与∠B′EM相等，故B选项不符合题意； C、根据题意得∠A′EA+∠A′EB＝180°，∠A′EA与∠A′EB互补，故C选项不符合题意； D、由题意得：得，， ∵∠A′EA+∠A′EB＝180°， ∴， ∴∠AEN与∠B′EM互为余角，故D选项符合题意； 故选：D． 5．已知▱ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得▱ABCD是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个条件进行判断即可． 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； ④∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； 综上所述，使得▱ABCD是矩形的条件为①③④， 故选：D． 6．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时，∠CED的大小为（　　） A．27° B．37° C．53° D．63° 【分析】过点A作AF∥BH，交BC于F，由平行线的性质可得∠FAB＝∠ABN＝37°，可求∠DAF＝53°，即可求解． 【解答】解：过点A作AF∥BH，交BC于F， ∴∠FAB＝∠ABN＝37°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAF＝53°， ∵EC∥BH，AF∥BH， ∴AF∥EC∥BH， ∴∠CED＝∠DAF＝53°， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则对角线AC的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【分析】由两点间距离公式可求OB的长，由矩形的性质可求解． 【解答】解：∵点B的坐标为（2，3）， ∴OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴AC＝OB， 故选：A． 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6，由勾股定理得AB10，由10OH8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC16＝8，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB10， ∵AB•OHOA•OB＝S△AOB， ∴10OH8×6， 解得OH＝4.8， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF≥4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：C． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t＝（　　）s时，四边形APQD是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由题意得，AP＝5tcm，CQ＝tcm，进而由矩形的性质可得DQ＝（30﹣t）cm，即可得5t＝30﹣t，解方程即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【解答】解：由题意得，CQ＝t cm，AP＝5t cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝30cm， ∴DQ＝（30﹣t）cm， 当四边形APQD是矩形时，DQ＝AP， ∴30﹣t＝5t， ∴6t＝30， ∴t＝5， 故选：C． 10．如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（　　） A．60cm2 B．64cm2 C． D． 【分析】由条件判定△DEC、△NDG、△FHG是等腰直角三角形，设DE＝x cm，得到EC＝HM＝GN＝x cm，FD＝BE＝（20﹣x）cm，GDx（cm），FG＝（20﹣xx）cm，HGFG＝（20x﹣2x）cm，由长方形面积公式得到（20﹣x）x＝64，求出x＝4或x＝16（舍去），即可求出长方形MNGH的面积＝GH•GN＝20x﹣（2）x2＝（6432）cm2． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠C＝45°， ∵四边形BEDF，GHMN是长方形， ∴FD∥BC，GH∥AC，∠DEB＝∠BFD＝∠MNG＝90°，HM＝GN，FD＝BE， ∴∠GDN＝∠C＝45°，∠HFG＝∠A＝45°， ∵∠DEC＝∠DNG＝∠HFG＝90°， ∴△DEC、△NDG、△FHG是等腰直角三角形， 设DE＝x cm， ∵HM＝DE， ∴EC＝HM＝GN＝x cm， ∴FD＝BE＝（20﹣x）cm，GDGNx（cm）， ∴FG＝（20﹣xx）cm， ∴HGFG＝（20x﹣2x）cm， ∵长方形BFDE的面积＝BE•DE＝（20﹣x）x＝64， ∴x＝4或x＝16（舍去）， ∴长方形MNGH的面积＝GH•GN＝（20x﹣2x）x＝20x﹣（2）x2＝（6432）cm2． 故选：C． 11．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，已知AB＝3，BC＝4，则AF的长为 　5　． 【分析】根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，再根据角角之间的关系得到∠ACF＝90°，于是判断出△ACF的形状，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵四边形ABCD，CEFG为全等的矩形， ∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF， 在△ABC和△CEF中， ， ∴△ABC≌△CEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF， ∵点B、C、E共线， ∴∠ACB+∠ACF+∠FCE＝180°， ∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠EFC）＝90°， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∴AC＝CF＝5， ∴AFAC＝5， 故答案为：5． 12．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，CA＝2AB，则∠BOE的度数为 　75°　． 【分析】根据矩形的性质可得，从而得到∠AEB＝∠BAE＝45°，△AOB是等边三角形，进而得到∠OBE＝30°，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，， ∵AE平分∠BAD，CA＝2AB， ∴∠BAE＝45°，AB＝OA＝OB， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°，△AOB是等边三角形， ∴AB＝BE＝OB，∠ABO＝60° ∴∠BOE＝∠BEO，∠OBE＝30°， ∴． 故答案为：75°． 13．将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．当宽BC长度不变而长AB增长时，将5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，则a，b满足的等量关系是　a＝3b　． 【分析】用含a、b、AB的式子表示出S1﹣S2，根据S1﹣S2的值总保持不变，即与AB的值无关，整理后，依据AB的系数为0即可得到结果． 【解答】解：∵S1﹣S2＝a（AB﹣2b）﹣3b（AB﹣a）， 整理，得：S1﹣S2＝（a﹣3b）AB+ab， ∵若宽BC长度不变而长AB改变，而S1﹣S2的值总保持不变， ∴a﹣3b＝0，即a＝3b． 即a，b满足的关系是a＝3b． 故答案为：a＝3b． 14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　6.5　． 【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝3.5，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3.5＝7，即可求解． 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝3.5， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3.5＝6.5， ∴GH的最小值是6.5， 故答案为：6.5． 15．如图，在平面直角坐标系中，P为第一象限内的一点，过点P分别作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，点C在线段PB上，且点C的横、纵坐标相同，过点P作PD⊥OC于点D．设长方形OAPB的周长为m，OD的长为n，则 　2　． 【分析】由题意可知∠OBC＝90°，OB＝BC，则∠PCD＝∠BCO＝∠BOC＝45°，OCBC，设OB＝BC＝r，则OCr，由长方形OAPB的周长为m，OD的长为n，得2（OB+PB）＝m，CD＝nr，则PCm﹣2r，再证明PCCD，所以m﹣2r（nr），则2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵PB⊥y轴于点B，点C在线段PB上，且点C的横、纵坐标相同， ∴∠OBC＝90°，OB＝BC， ∴∠PCD＝∠BCO＝∠BOC＝45°，OCBC， 设OB＝BC＝r，则OCr， ∵长方形OAPB的周长为m，OD的长为n， ∴2（OB+PB）＝m，CD＝nr， ∴OB+PBm， ∴PCm﹣2r， ∵PD⊥OC于点D， ∴∠PDC＝90°， ∴∠CPD＝∠PCD＝45°， ∴PD＝CD， ∴PCCD， ∴m﹣2r（nr）， ∴2， 故答案为：2． 16．如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE．请添加一个条件，使四边形AECF为矩形（不需要说明理由）． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，由平行线的性质可求得∠AEB＝∠CFD，根据三角形全等的判定方法即可证明△ABE≌△CDF； （2）根据平行四边形的判定定理和矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AED＝∠BFC， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）当AE⊥CE时，四边形AECF为矩形， 理由：∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF为矩形． 17．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若EF＝7，BC＝12，求△EFM的周长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出FM＝BM＝MC，EM＝BM＝MC，进而利用等腰三角形的判定解答即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MCBC，MF＝MBBC，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点， ∴ME＝MCBC，MF＝MBBC， ∴ME＝MF， ∴△MEF是等腰三角形； （2）解：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点， ∴ME＝MCBC＝6，MF＝MBBC＝6， ∴△EFM的周长＝6+6+7＝19． 18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接AE，CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论； （2）证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝4，再由勾股定理得OC，求得AC＝2OC，然后由矩形的性质得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OCAC， ∴∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，DEAC， ∴DE＝OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OCAC， ∵∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝4， ∴OD＝OB＝2， ∴OC2， ∴AC＝2OC＝4， 由（1）得：四边形OCED为矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2， 即AE的长为2． 19．如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线． （1）求证：BDAC； （2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值． 【分析】（1）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，再证明△ADE≌△CDB，可得四边形ABCE是矩形，然后根据矩形的性质得出答案； （2）连接DP，根据勾股定理求出AC，进而得出BD，CD，并求出S△ABC，可知S△BCD，然后根据三角形面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE， ∴∠DAE＝∠BCD， ∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD， ∴△ADE≌△CDB（AAS）， ∴DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AC＝BE， ∴； （2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， 根据勾股定理得：， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得：． 20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）证明：∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG＝AE，OA＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$