第七单元 三角形、平行四边形和梯形 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第七章 三角形、平行四边形和梯形 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、认识三角形 1.认识三角形：三角形是指由三条线段首尾相接围成的图形。它由3条边、3个角、3个顶点组成。它是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。 2.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 二、三角形三边的关系 三角形任意两条边长度的和大于第三边。 三、三角形的内角和 任意三角形的内角和都是180°。 四、三角形的分类 锐角三角形：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 直角三角形：有1个角是直角的三角形是直角三角形。 钝角三角形：有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。 五、等腰三角形和等边三角形 1．等腰三角形的含义：两条边相等的三角形是等腰三角形。 2．等腰三角形的特征：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。 3．等边三角形的含义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 4．等边三角形的特征：等边三角形的3个角相等；等边三角形是轴对称图形；等边三角形有3条对称轴。 六、认识平行四边形 1．平行四边形的基本特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 2．平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。平行四边形的高和底是相互依存的关系。 七、认识梯形 1．梯形的特点：只有一组对边互相平行。 2．梯形的底和高：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，从梯形的一条底边上的一点到它对边的垂直线段是梯形的高。 3．等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。 八、多边形内角和 多边形内角和=（边数-2）×180°。 03 题型归纳 题型一　三角形的特性、分类、内角和三边关系 例1．从下面的6根小棒中每次选出三根，首尾相接围成一个三角形，一共可以围成多少个不同的三角形？先在表中填一填，再写出答案．一共可以围成 　 　个不同的三角形． 【分析】根据三角形的特性：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此分析、解答即可． 【解答】解：根据三角形的特性可知：如图，一共可以围成5个不同的三角形； 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 巩固训练 1．如图是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？ 【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据图中的两个内角度数可求打碎的一个角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断． 【解答】解：（1）因为180°﹣30°﹣40°＝110° 所以这是一个钝角三角形； （2）因为180°﹣60°﹣60°＝60°； 所以这是一个锐角三角形； （3）因为180°﹣50°﹣40°＝90°； 所以这是一个直角三角形． 【点评】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形．②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形．③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 2．一个等腰三角形的底角是顶角2倍，它的顶角和底角分别是多少度？ 【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据底角与顶角的倍数关系，可设顶角是x度，则底角就是2x度，根据三角形内角和定理，即可列出方程解决问题． 【解答】解：顶角是x度，则底角就是2x度，根据三角形内角和定理可得： 2x+2x+x＝180 5x＝180 x＝36 36×2＝72（度） 答：它的顶角是36度，底角是72度． 【点评】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的灵活应用． 3．李明在课中研究三角形，用直尺、圆规绘制了三幅图，你知道他在探究什么问题吗？ 李明探究的问题是：　 　。 【分析】根据图示可知，李明研究的是三角形的三边的关系，通过探究得出结论“三角形的任意两边之和大于第三边”。 【解答】解：李明探究的问题是：三角形的任意两边之和大于第三边。 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边。 【点评】本题主要考查三角形的边的关系。 题型二　平行四边形的特征及性质 例2．请你把同学们的表达过程补充完整。 在说明平行四边形ABCD对边相等时，小丽同学先如图1折叠，再如图2折叠，然后提示小组同学们观察线段的长度，发现：BE＝　 　，EA＝　 　；因为BE+EA＝　 　+　 　，所以BA＝　 　。 【分析】根据已知折叠，观察图中线段的长度即可完成填空。 【解答】解：BE＝DE，EA＝EC；因为BE+EA＝DE+EC，所以BA＝DC。 故答案为：DE；EC；DE，EC；DC。 【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的特征。 巩固训练 1．∠1＝∠3＝50°，∠2＝∠4，求∠2的度数。 【分析】根据四边形内角和的度数是360°，即可求出∠2的度数。 【解答】解：∠2＝（360°﹣50°﹣50°）÷2 ＝260°÷2 ＝130° 答：∠2是130°。 【点评】考查了角的度量，关键是熟悉四边形的内角和等于360°以及平行四边形的对角相等这些知识点。 2．怎样将三角形A与三角形B合成一个平行四边形。（请简要描述） 【分析】两个完全一样的三角可以拼成一个平行四边形。根据平移的方法解答即可。 【解答】解：把图形A向右平移6格，再向下平移2格，可以将三角形A与三角形B合成一个平行四边形。 答：把图形A向右平移6格，再向下平移2格，可以将三角形A与三角形B合成一个平行四边形。（答案不唯一） 【点评】掌握平行四边形的特征是解答本题的关键。 3．张恒剪了两根长度相等的长饮料吸管和两根长度相等的短饮料吸管，用线把它们穿起来，做成一个长方形。拉动这个长方形能拉成不同的平行四边形吗？为什么？ 【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形具有易变形的特点，据此解答。 【解答】解：分析可知，拉动这个长方形能拉成不同的平行四边形，因为平行四边形易变形。（合理即可） 【点评】此题考查了平行四边形具有易变形的特征，结合题意分析解答即可。 题型三　梯形的特征及分类 例3．在如图中再找一个点，与A、B、C连成一个梯形。你能找到几个不同的点？请你画一画。 【分析】只有一组对边平行的四边形叫梯形。据此作图即可。 【解答】解：画图如下：（答案不唯一） 【点评】熟练掌握梯形的特征的解题的关键。 巩固训练 1．画一个上底为3厘米，下底是5厘米的梯形． 【分析】根据梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；先画一条3厘米的线段AB，再画一条与AB的线段平行的5厘米的线段CD，再连接AD、BC，即可得出符合题意的梯形． 【解答】解： 【点评】此题考查了梯形的画法． 2．按要求在下面图形中画一条线段： （1）将图1分成两个梯形． （2）将图2分成一个平行四边形和一个梯形． 【分析】（1）要分成两个梯形，只要满足它们的上、下底平行即可，在平行四边形的上下两边的任意连线即可． （2）把梯形分成一个平行四边形和一个梯形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个梯形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，既可得到一个平行四边形和一个梯形． 【解答】解：（1）答案如图， （2）答案如图， 【点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力． 3．使四边形AOBC成为直角梯形，符合条件的点C有 　 　种，在如图标出来。 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，直角梯形的有一个直角，据此解答。 【解答】解：如图： 符合条件的点C有2种。 故答案为：2。 【点评】本题考查了直角梯形的特征，结合题意分析解答即可。 题型四　多边形的内角和 例4．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竞是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程： ①先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是 　 　°，再推算出图2中∠1＝　 　°。 ②如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝　 　°。 ③如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝　 　°。 【分析】①多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n﹣2）×180°（n大于等于3）即可求解正五边形的内角和；因为正五边形五个内角度数相等，所以根据除法的意义，用正五边形的内角和除以5即可求出一个内角的度数； ②根据∠1与∠2互补，用180°﹣∠1即可求出∠2的度数 ③根据等腰三角形两个底角相等，结合三角形内角和是180°，用180°减去2个底角度数之和即可求解。 【解答】解：①（5﹣2）×180°＝540°，即五角星中心的正五边形的内角和是540°； 540°÷5＝108°，即∠1＝108°。 ②∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣108°＝72°，即∠2＝72°。 ③∠3＝180°﹣2∠2＝180°﹣2×72°＝36°。 故答案为：①540，108；②72；③36。 【点评】本题考查了多边形内角和的计算。 巩固训练 1．如图，将四边形沿虚线剪去一个角，求剩下图形的内角和。画一画，算一算。 【分析】根据多边形的内角和＝180°×（n﹣2），据此列式解答。 【解答】解：如图： 180°×（5﹣2） ＝180°×3 ＝540° 答：剩下图形的内角和是540°。 【点评】此题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．三角形的内角和是180°，我们可以运用这个知识探索出多边形的内角和。（例如：，五边形的内角和为：180°×3＝540°。） 如图的多边形能分成几个三角形？请你画一画，并求出多边形的内角和。 画一画，用虚线把六边形分成三角形 求出六边形的内角和 　 　×　 　＝　 　 【分析】根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式。 【解答】解： 画一画，用虚线把六边形分成三角形 求出六边形的内角和 180°×4＝720° 故答案为：180°、4、720°。 【点评】本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点。 3．下面是文文研究多边形内角和的记录表。 图形 …… 边数 3 4 5 …… 内角和 180° 180°×　 　 180°×　 　 …… （1）先画一画，再填一填，你发现：多边形的内角和＝　 　。 （2）根据上面的规律，12边形的内角和是 　 　°。 【分析】（1）把多边形分成几个三角形，利用三角形内角和定理计算，总结规律即可； （2）根据（1）的规律做题即可。 【解答】解：（1）如表： 图形 …… 边数 3 4 5 6 7 …… 内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 180°×5 …… 我发现：多边形的内角和＝180°×（n﹣2）。 （2）180°×（12﹣2） ＝180°×10 ＝1800° 故答案为：2，3，180°×（n﹣2）；1800。 【点评】本题主要考查多边形内角和定理的总结及应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角形、平行四边形和梯形 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、认识三角形 1.认识三角形：三角形是指由三条线段首尾相接围成的图形。它由3条边、3个角、3个顶点组成。它是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。 2.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 二、三角形三边的关系 三角形任意两条边长度的和大于第三边。 三、三角形的内角和 任意三角形的内角和都是180°。 四、三角形的分类 锐角三角形：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 直角三角形：有1个角是直角的三角形是直角三角形。 钝角三角形：有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。 五、等腰三角形和等边三角形 1．等腰三角形的含义：两条边相等的三角形是等腰三角形。 2．等腰三角形的特征：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。 3．等边三角形的含义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 4．等边三角形的特征：等边三角形的3个角相等；等边三角形是轴对称图形；等边三角形有3条对称轴。 六、认识平行四边形 1．平行四边形的基本特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 2．平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。平行四边形的高和底是相互依存的关系。 七、认识梯形 1．梯形的特点：只有一组对边互相平行。 2．梯形的底和高：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，从梯形的一条底边上的一点到它对边的垂直线段是梯形的高。 3．等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。 八、多边形内角和 多边形内角和=（边数-2）×180°。 03 题型归纳 题型一　三角形的特性、分类、内角和三边关系 例1．从下面的6根小棒中每次选出三根，首尾相接围成一个三角形，一共可以围成多少个不同的三角形？先在表中填一填，再写出答案．一共可以围成 　 　个不同的三角形． 巩固训练 1．如图是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？ 2．一个等腰三角形的底角是顶角2倍，它的顶角和底角分别是多少度？ 3．李明在课中研究三角形，用直尺、圆规绘制了三幅图，你知道他在探究什么问题吗？ 李明探究的问题是：　 　。 题型二　平行四边形的特征及性质 例2．请你把同学们的表达过程补充完整。 在说明平行四边形ABCD对边相等时，小丽同学先如图1折叠，再如图2折叠，然后提示小组同学们观察线段的长度，发现：BE＝　 　，EA＝　 　；因为BE+EA＝　 　+　 　，所以BA＝　 　。 巩固训练 1．∠1＝∠3＝50°，∠2＝∠4，求∠2的度数。 2．怎样将三角形A与三角形B合成一个平行四边形。（请简要描述） 3．张恒剪了两根长度相等的长饮料吸管和两根长度相等的短饮料吸管，用线把它们穿起来，做成一个长方形。拉动这个长方形能拉成不同的平行四边形吗？为什么？ 题型三　梯形的特征及分类 例3．在如图中再找一个点，与A、B、C连成一个梯形。你能找到几个不同的点？请你画一画。 巩固训练 1．画一个上底为3厘米，下底是5厘米的梯形． 2．按要求在下面图形中画一条线段： （1）将图1分成两个梯形． （2）将图2分成一个平行四边形和一个梯形． 3．使四边形AOBC成为直角梯形，符合条件的点C有 　 　种，在如图标出来。 题型四　多边形的内角和 例4．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竞是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程： ①先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是 　 　°，再推算出图2中∠1＝　 　°。 ②如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝　 　°。 ③如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝　 　°。 巩固训练 1．如图，将四边形沿虚线剪去一个角，求剩下图形的内角和。画一画，算一算。 2．三角形的内角和是180°，我们可以运用这个知识探索出多边形的内角和。（例如：，五边形的内角和为：180°×3＝540°。） 如图的多边形能分成几个三角形？请你画一画，并求出多边形的内角和。 画一画，用虚线把六边形分成三角形 求出六边形的内角和 　 　×　 　＝　 　 3．下面是文文研究多边形内角和的记录表。 图形 …… 边数 3 4 5 …… 内角和 180° 180°×　 　 180°×　 　 …… （1）先画一画，再填一填，你发现：多边形的内角和＝　 　。 （2）根据上面的规律，12边形的内角和是 　 　°。 学科网（北京）股份有限公司 $$