精品解析：广东省广州增城区2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

2024学年第一学期期中质量检测问卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中，一次项的系数是（ ） A 2 B. 1 C. 4 D. 2. 下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、、是上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的半径为5，弦，点P是弦上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的的值可能是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是_____． 13. 若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=_____________________． 14. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 15. 一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是______． 16. 如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有________（请写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 19. 如图，为直径，C为圆上一点，连接，． （1）尺规作图：作的中点D，交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，在（1）的条件下，连接，求的长． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，； （1）画出关于原点O对称的图形； （2）直接写出点的坐标． 21. 已知关于x的方程的根为、． （1）当时，求的值； （2）若方程的一个根，求a的值与另一个根． 22. 如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且． （1）若，则___； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 23. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 25. 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． （1）如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； （2）探究：当何值时，？请你画出图形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期中质量检测问卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中，一次项的系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；c叫作常数项． 【详解】一元二次方程中，一次项的系数是4， 故选：C 2. 下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据识别轴对称图形和中心对称图形的方法解答即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选B． 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 4. 如图，点、、是上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得答案． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 7. 如图，的半径为5，弦，点P是弦上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的的值可能是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， 由对称性，当点P在线段上时，， ∴当点P在弦上时，， ∵， ∴选项B符合题意； 故选：B 8. 有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数是10个人． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9. 设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点M，轴于N， 设， ∵， 则，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当时，有最小值为5， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是_____． 【答案】m<1 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数m-1＜0即可求出答案． 【详解】解：由 题意可知：m-1＜0， ∴m＜1； 故答案为：m＜1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 13. 若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=_____________________． 【答案】-2． 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 试题解析：∵x1、x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根. ∴x1+x2=-3． 考点：根与系数的关系. 14. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 15. 一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【详解】解：∵多边形的边数为：， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长， 故答案为：16． 16. 如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有________（请写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴有两个交点可判断②，由当时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于2且抛物线开口向下可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③ 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 18. 已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．把点代入二次函数即可求出这个函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ∴， ， 故此二次函数的解析式为：． 19. 如图，为直径，C为圆上一点，连接，． （1）尺规作图：作的中点D，交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1） 利用尺规作图，过点O作于E，交于D，即可得解； （2）由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由垂径定理得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案 【小问1详解】 如图，点即为所求作． 小问2详解】 设交与， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，； （1）画出关于原点O对称的图形； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，写出点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． （2）根据的位置可得其坐标． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：由的位置可得：． 21. 已知关于x的方程的根为、． （1）当时，求的值； （2）若方程的一个根，求a的值与另一个根． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组求解即可； 【小问1详解】 ∵当时，方程为， ， ； 【小问2详解】 ∵方程的根为、， 又 ， 即， 解得：， 22. 如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且． （1）若，则___； （2）判断直线与位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）直线与相切，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理，根据圆周角定理证明是解决问题的关键． （1）由为的直径，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）连接，由圆周角定理证得，由已知和等腰三角形的性质证得，，进而证得，根据切线的判定定理即可证得与相切； 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴； 小问2详解】 证明：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． 23. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2），销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 24. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）将一般式转化为顶点式即可得解； （2）先求出，，过点C垂直于y轴的直线l：，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分当M在点A的左侧，当M在点A与顶点坐标之间时，当M在对称轴右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：； 【小问2详解】 解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴，， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②当M在点A与顶点坐标之间时， 此时，即，不符合题意； ③当M在对称轴右侧，即时， 时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意； 当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或． 25. 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． （1）如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； （2）探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【答案】（1）①；②见解析 （2）或，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． 【小问2详解】 解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M， ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$