精品解析：江苏省泰州市兴化市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度兴化市1月期末质量监测 高一数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式化简后即可求值． 【详解】＝-sin[]＝ 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题． 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可. 详解】集合，， 由于，则实数的取值范围是 故选：B． 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先看充分性：当时，比如当时, , 显然不满足，充分性不成立； 再看必要性：当时，比如, 此时，但不满足，必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选:. 4. 如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 5. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数的性质可知，，并且代入化简，利用二次函数求取值范围. 【详解】函数的图象如图所示， ，，， ，，， ， 又因为，所以. 故选：A． 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】因为的解集为， 可知，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 可得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，，可知函数在上单调递增， 则，所以的最小值为5. 故选：C 7. 已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【详解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于 即 所以， 所以在任意的上恒成立，故. 故选：D 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 在上为增函数 D. 方程仅有6个实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D. 【详解】为奇函数，，即， 关于点对称， 为偶函数，，即， 关于对称， 由，得：， ，即是周期为的周期函数， 对于A，，A错误； 对于B，，即， 关于点成中心对称，B正确； 对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示， 由图象可知：在上单调递增，C错误； 方程的解的个数，等价于与的交点个数， ，， 结合图象可知：与共有个交点， 即有个实数解，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，则下列叙述中正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数为定义在上的奇函数，可求函数的对称中心，可判断AB的真假；再探讨函数图象的对称性，进一步得到两个函数图象的交点的对称性，通过计算可判断CD的真假. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，， 所以， 所以函数的图象关于点成中心对称，故A错误，B正确； 由，所以的图象也关于点成中心对称. 所以函数与的图象的交点关于点成中心对称. 不妨设， 则有， . 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 求函数的对称中心为______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据正弦函数对称中心通式即可得到答案. 【详解】令，解得， 则其对称中心为，. 故答案：， 13. 在数学中连乘符号是“Π”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的共有__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件利用对数运算求得，再由为整数，利用指数运算等知识求得正确答案. 【详解】由于，故. 要使为整数，则，从而，. 而，故，结合，知可取. 从而，故使为整数的共有8个. 故答案为：8. 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，再结合条件可得，即求. 【详解】设， ∵对任意的两个正数，都有，即， ∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数， ∴是定义在上的偶函数， 由得，即， ∴，又， 故的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 16. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解； （2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解. 【小问1详解】 解：令， 当时，，满足的值域为， 当时，的值域包含， 则，解得， 综上：实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 令，， 则，所以， 所以的取值范围是. 17. 已知函数，是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】 （1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得； （2）对任意成立，即，求出的最小值即可得结果； （3）化简得，令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果. 【详解】（1）函数，是偶函数则满足 所以 即 所以 解得 （2）由（1）可知，，对于任意恒成立 代入可得所以对于任意恒成立 令 因为所以由对数的图像与性质可得 所以 （3），，且 代入化简可得 令，因为，所以 则 当，即时，在上为增函数， 所以，解得，不合题意，舍去 当，即时，在上为减函数，在上为增函数， 所以，解得，所以 当，即时， 在上为减函数， 所以 解得不合题意，舍去， 综上可知，. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 18. 设函数（且，为常数）. （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，且，证明：在单调递增； （3）设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义得到的值，即可求得解集； （2）先根据函数时偶函数得到的值，再根据得到的值，即可根据定义证明函数的单调性； （3）根据（2）中的单调性以及解析式，求得的最小值，再结合能成立问题可求得取值. 【小问1详解】 由于有意义，奇函数满足， 此时，满足，符合题意， 由得，当时，得，即， 即不等式的解集为； 当时，得，即， 即不等式的解集为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为； 【小问2详解】 因为为偶函数，则，得， 移项可得，所以，即， 由得，解得或， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，则，，所以， 所以，所以在单调递增； 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增， 时，的最小值为； 由题意得，使， 即在有解， 令，由（2）知在单调递增， ，则， 则转化为在有解， 只需， 在单调递减，且在单调递减， 当时，取最大值为， ，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得. （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【小问1详解】 由，则， 所以 . 【小问2详解】 证明：由题意得. ①当时，，所以单调递增. 又，由于，而， 所以.又， 所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，所以，则在上无零点； 当时，，所以，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则， 故. 【点睛】求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度兴化市1月期末质量监测 高一数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于 A. B. C. D. 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ） A. B. C D. 5. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 7. 已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在上没有零点，则 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 在上为增函数 D. 方程仅有6个实数根 11. 已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，则下列叙述中正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. D. 三、填空题 12. 求函数的对称中心为______． 13. 在数学中连乘符号是“Π”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数共有__________个. 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________ 四、解答题 15. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 16. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求取值范围． 17. 已知函数，是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 设函数（且，常数）. （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，且，证明：在单调递增； （3）设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$