专题02 等边三角形【知识串讲+九大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 等边三角形 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）等边三角形 （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: （4）含30°角的直角三角形性质 （三）等腰三角形与等边三角形的区别 模块三 考点一遍过 考点1：等边三角形的性质——求角 典例1：如图，等边的顶点、分别在直线，上，且 ，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，以两边为边，向外作等边和等边，连结、交于O点，连结．（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【变式3】如图，是等边三角形的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则 ． 考点2：等边三角形的性质——求线段 典例2：如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【变式2】如图，点是等边中边上一点，延长至点，使，连接，与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的长度为 ． 【变式3】如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 考点3：等边三角形的性质——手拉手全等 典例3：如图，与是等边三角形． (1)求证：； (2)延长交于点，判断的大小并证明． 【变式1】如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【变式2】如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求的大小； (4)直接写出的最小值． 【变式3】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 考点4：等边三角形的性质——证明 典例4：如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【变式2】如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 【变式3】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点； (3)已知，求的大小（用含的式子表示）． 考点5：含30°角直角三角形性质 典例5：如图，已知，点在上，，点、在上，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 【变式3】如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 考点6：等边三角形的判定 典例6：如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式2】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【变式3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 考点7：等边三角形综合 典例7：如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式2】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【变式3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 考点8：等边三角形综合——动点 典例8：已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． (1)当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为 ． 【变式1】如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图1，若，则的长为________． (3)取的中点为G，连接，如图2，求证：． 【变式2】如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【变式3】如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则 ， ． (2)当时，求的长． (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 考点9：等边三角形综合——规律 典例9：如图所示，菱形边长为1，，连接，以为边作第二个菱形，，连接，以为边作第三个菱形，，…，按这个规律所作的第个菱形的边长是 ． 【变式1】如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是 ，按此规律进行下去，点的坐标是 【变式2】在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点，（为正整数），则点的坐标是 【变式3】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点；作，，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去， ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等边三角形 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）等边三角形 （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: （4）含30°角的直角三角形性质 （三）等腰三角形与等边三角形的区别 模块三 考点一遍过 考点1：等边三角形的性质——求角 典例1：如图，等边的顶点、分别在直线，上，且 ，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， ， ， ； 故选：A 【变式1】如图，以两边为边，向外作等边和等边，连结、交于O点，连结．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明两个三角形全等是解题的关键；过点A作，垂足分别为G、H；由等边三角形的性质易证，则，；由三角形内角和得，则；再由全等得，则可得，由角平分线判定定理得，从而． 【详解】解：如图，过点A作，垂足分别为G、H； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质；由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，是等边三角形的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数，进而根据三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的中线， 平分， ， ， ， 故答案为：． 考点2：等边三角形的性质——求线段 典例2：如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点作的延长线的垂线于点，证明，，根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：过点作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 同理可证，， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 【变式2】如图，点是等边中边上一点，延长至点，使，连接，与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 过作交于点，判定为等边三角形，进而判定，根据三线合一得到，进而求解即可； 【详解】解：过作交于点， ， ，，， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为： 【变式3】如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键． 根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 考点3：等边三角形的性质——手拉手全等 典例3：如图，与是等边三角形． (1)求证：； (2)延长交于点，判断的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明全等； （2）由全等的性质得到，进而得到，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：与是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ∵，， ， ． 【变式1】如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由、 是等边三角形，易证，继而可证； （2）由，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点N，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ∴， ； （2）解：∵， ， ∴， ； （3）证明：如图，作于点于点N， ， ，和的面积相等， ， ， 平分． 【变式2】如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求的大小； (4)直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或． (4) 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据是等腰三角形，其中，若， 则，得； 若，则，得；若，则，得； （4）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． ∴． ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． 在和，， ∴． （3）解：当是等腰三角形时， 若， ∵， ∴． ∴． 若， 则． ∴． 若， 则． ∴． 故的大小为或或． （4）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴当时，最小． 最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 【变式3】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2)且，理由见解析 (3)， 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的性质、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键． 考点4：等边三角形的性质——证明 典例4：如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ， ∵， ∴． 【变式1】已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）如图所示，过点作，可得是等边三角形，，，，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作，由（1）的证明可得，是等边三角形，，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得，，，则有，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作， 由（1）的证明可得，是等边三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)4 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论成立； ②利用“边角边”证明，从而可证明结论正确； （2）利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得． 【详解】（1）证明：①如图1，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； ② ， ， ，， ， ； （2）解：如图2，设与交于点N，连接， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 在中，有 ， 解得：， ， ， 是的角平分线，也是的中垂线． ，， 边上的高为， ． 【变式3】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：G为的中点； (3)已知，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得出，，，证明出，即可得出； （2）根据得，再根据线段垂直平分线的判定即可证明； （3）根据和是的垂直平分线得，再借助和为等边三角形得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴G为的中点． （3）解：由（2）可知，是的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 考点5：含30°角直角三角形性质 典例5：如图，已知，点在上，，点、在上，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，结合，可得，推出，根据等腰三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ，，， ， ， 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 【变式2】如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接交于点O，证明为等边三角形，则设，则，由，则在中，，得到一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】解：连接交于点O， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：6． 【变式3】如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握以上性质；过点作，垂足为，设，由等边三角形的性质可得，，再证明是等边三角形，可得，，再由含的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，则，设， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， 故答案为：3． 考点6：等边三角形的判定 典例6：如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可得证； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形； （2）解：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是的外角， ． 【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 【变式2】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 【详解】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【变式3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点7：等边三角形综合 典例7：如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可得证； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形； （2）解：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是的外角， ． 【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 【变式2】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 【详解】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【变式3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点8：等边三角形综合——动点 典例8：已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． (1)当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意，作出图形即可；②根据轴对称的性质可得：垂直平分，得出，，确定是等边三角形，利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得，证明，得到，结合图中线段间的数量关系即可证明； （2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点在线段上时，，②当点在点的左侧时，，③当点在点右侧时，，根据等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①补全图1如 下： ②，证明如下： 点关于射线的对称点为， 垂直平分， ， 又 ， ， 是等边三角形， ，， 又 是等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 即； （2）解：或或； ①当点在线段上时，，证明过程为（1）； ②当点在点的左侧时，，如下图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 即； ③当点在点右侧时，，如图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)5 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出是等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，根据等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式1】如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图1，若，则的长为________． (3)取的中点为G，连接，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识．熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，即可证明； （2）根据Rt中，可得，同理，即可求解； （3）由（1）是等边三角形，得到，再由 证明，进而利用证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形． （2）解：中， ， ， 由（1）可得， ， ． （3）由（1）得是等边三角形，且G为的中点， ，， ， ， ∵平分， ， ， ， ，则 在和中， ， （AAS）． 【变式2】如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据，得，证明全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）证明，则，再由（1）的结论得，由此可判定的形状； 理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）是等边三角形． 理由：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式3】如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则 ， ． (2)当时，求的长． (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)线段的长不发生变化， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）设的长为，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）易得，由含角的直角三角形的性质可得，解答即可求得的长，进而得到的长； （3）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），设的长为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意可知：， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 考点9：等边三角形综合——规律 典例9：如图所示，菱形边长为1，，连接，以为边作第二个菱形，，连接，以为边作第三个菱形，，…，按这个规律所作的第个菱形的边长是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，根据菱形的性质，推出是等边三角形，得到，，利用勾股定理得到，从而得到，同理可得，，，以此类推，第n个菱形的边长为，据此即可得到答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，边长为1， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得，，， 以此类推，第n个菱形的边长为， 第2024个菱形的边长是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用菱形的性质归纳出正确的规律是解题关键． 【变式1】如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是 ，按此规律进行下去，点的坐标是 【答案】 （3，） （） 【知识点】等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索 【分析】根据图形算出A点、点、点的坐标，进而总结出坐标规律，即可完成本题． 【详解】如图，分别连接、、、、… ∵是等边三角形 ∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠A=∠ACB=60° ∵ ∴是AC的中点 ∵ ∴是BC的中点 ∴ ∴ 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形，且边长为2 同理可得：点是中点，是的中点 ∴， ∴ ∴ 同理，是等边三角形，且边长为1 ∴， ∴ 同理，，，… 一般地， 根据上述规律得： 故答案为：（3，）， 【点睛】本题主要考查点的坐标的规律以及等边三角形的判定与性质，总结出点的规律是解题的关键，体现了由特殊到一般的数学思想，属于填空题中的压轴题． 【变式2】在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点，（为正整数），则点的坐标是 【答案】（1010，0） 【知识点】等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索 【分析】通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，点An的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，2秒钟走一段， P运动每12秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，点P的纵坐标规律：，，，0，，，，0，，，，0，…，确定P2020循环余下的点即可． 【详解】解：∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形， ∴    A2（2，0） A4（4，0） A6（6，0） … ∴An中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0， 点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，2秒钟走一段， P运动每12秒循环一次 点P的纵坐标规律：，，，0，，，，0，，，，0，…， 点P的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，， ∵2020÷12＝168…4， ∴点P2020的纵坐标为0， ∴点P2020的横坐标为1010， ∴点P2020的坐标（1010，0）， 故答案为：（1010，0）． 【点睛】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键． 【变式3】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点；作，，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去， ．    【答案】 【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、等边三角形的判定和性质 【分析】先利用中位线定理、等边三角形的判定与性质求出，，，再归纳总结出一般规律，由此即可得． 【详解】 是边长为1的等边三角形 点E为BC的中点， 都是的中位线， 都是等边三角形，且 同理可得： 归纳类推得：（其中，n为正整数） 如图，连接CF 则（等腰三角形的三线合一） 则 故答案为：．    【点睛】本题考查了中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确求出，，，并归纳总结出一般规律是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$