第1课 二次根式-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1课 二次根式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二次根式的概念. 2.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围. 3.会求含字母的二次根式的值. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的有关概念 1.二次根式：表示算术平方根的式子(a≥0)叫做二次根式． 2.二次根式有意义的条件：被开方数是非负数 ( 能力拓展 )考点01 二次根式的概念 【典例1】下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可． 【解析】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意； D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【即学即练1】下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】依据二次根式的定义求解即可． 【解析】解：A、是二次根式，正确，符合题意； B、无意义，不是二次根式，不符合题意； C、的根指数是3，不是二次根式，不符合题意； D、当a＜0时，无意义，不是二次根式，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 考点02 求二次根式中字母的取值范围 【典例2】若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解析】解：∵在实数范围内有意义， ∴a﹣5≥0， 解得a≥5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，此题比较简单． 【即学即练2】如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3 【思路点拨】根据题意得出x+3≥0且x+3≠0，求解即可． 【解析】解：由题意得，x+3≥0且x+3≠0， 解得x＞﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件，算术平方根的非负性． 考点03 求二次根式的值 【典例3】当x＝﹣2时，则二次根式的值为　1　． 【思路点拨】把x＝﹣2代入二次根式，即可求得答案． 【解析】解：当x＝﹣2时， ＝＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式的定义及化简求值，注意二次根式被开方数的符号及结果要化为最简形式． 【即学即练3】当x＝2时，二次根式的值是 　2　． 【思路点拨】把x＝2代入二次根式计算可得答案． 【解析】解：把x＝2代入得：＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是二次根式的定义，正确代入数值是解决此题关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A．π B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解析】解： A．π不是二次根式，故本选项不符合题意， B．不是二次根式，故本选项不符合题意， C．的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意， D．是二次根式，故本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的式子叫二次根式． 2．下列根式是二次根式的是（　　） A． B． C． D．2﹣2 【思路点拨】根据二次根式的定义判断作答即可． 【解析】解：由二次根式的定义可知，，，2﹣2不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D都不正确，不符合要求；C正确，符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 3．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解析】解：A、当x＜0时没有意义，故此选项不符合题意； B、当x+2＜0时，即x＜﹣2时没有意义，故此选项不符合题意； C、当x2﹣2＜0时，没有意义，故此选项不符合题意； D、无论x取任何实数都有x2≥0，即有意义，一定是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 4．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解析】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 5．若二次根式有意义，则x的值不可能是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 【思路点拨】根据二次根式有意义求出x的取值范围，然后判断即可． 【解析】解：若二次根式有意义， 则x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的值不可能是﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方数为非负数是解题的关键． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解析】解：由题可知， b＜0＜a且|b|＞|a|， 则a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，b﹣a＜0， 根据二次根式有意义的条件可知， 二次根式的被开方数不小于零． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞5 D．x≥﹣2且x≠5 【思路点拨】根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解析】解：由题意得：x+2≥0且x﹣5≠0， 解得：x≥﹣2且x≠5， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 8．当x＝4时，二次根式的值为　0　． 【思路点拨】直接将x＝4，代入二次根式解答即可． 【解析】解：把x＝4代入二次根式＝0， 故答案为：0 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，直接将x＝4代入求出，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键． 9．当x＝﹣2时，二次根式的值为　3　． 【思路点拨】把x＝﹣2代入已知二次根式，通过开平方求得答案． 【解析】解：把x＝﹣2代入，得 ＝＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．此题利用代入法求得二次根式的值． 10．如果代数式有意义，则x的取值范围是 　x＞2　． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【解析】解：由题意得：x﹣2＞0， ∴x＞2； 所以x的取值范围是x＞2． 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是二次根式有意义条件的熟练掌握． 11．当实数x　＜﹣1　时，有意义． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解析】解：由题意得：﹣≥0， ∵﹣≠0， ∴﹣＞0， 则x+1＜0， 解得：x＜﹣1， 故答案为：＜﹣1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 题组B 能力提升练 12．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解析】解：在式子，，，，中，是二次根式的有，，共3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 13．如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】首先化简，再确定x的最小正整数的值． 【解析】解：由题意可得， ∵是一个正整数， ∴x可取的最小正整数的值为3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是正确进行化简． 14．已知y＝+3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【解析】解：由题意可得：x＝4， 则y＝3， 则的值为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键． 15．当x＝﹣4时，二次根式的值是 　1　． 【思路点拨】把x＝﹣4代入二次根式求值即可． 【解析】解：当x＝﹣4时， ＝＝＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键． 16．当x取 　5　时，4﹣的值最大． 【思路点拨】当5﹣x＝0时，4﹣的值最大． 【解析】解：当5﹣x＝0时，即x＝5时，＝0，此时4﹣的值最大，最大值是4． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 17．已知实数a满足，那么a﹣20252的值为多少？ 【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再化简绝对值，从而求出代数式的值． 【解析】解：由题意，得a﹣2026≥0， ∴a＞2026， ∴2025﹣a＜0， ∴原式可以变形为α﹣2025十＝a， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，正确求出a的取值范围是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 18．下列代数式（x＞0），，33，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【解析】解：形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 在（x＞0），，33，，中， 33不含根号，（x＞0）被开方数小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3个是二次根式， 所以，二次根式有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的定义．解决问题的关键是理解：形如的式子叫做二次根式． 19．若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】根据5﹣x≥0，为整数，x为正整数，即可求解． 【解析】解：∵有意义， ∴5﹣x≥0 ∴x≤5， ∵为整数，x为正整数， 又∵，， ∴5﹣x＝1或5﹣x＝4或5﹣x＝0， 解得x＝4或x＝1或x＝5， ∴满足条件的x的值有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 20．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出a、b、c的值，代入计算即可得． 【解析】解：∵， ∴， ∴8﹣a≥0，a﹣8≥0， ∴a＝8， ∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0， ∴c﹣17＝0，b﹣15＝0， ∴c＝17，b＝15， ∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的非负数的性质、偶次方的非负数的性质、算术平方根的非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 21．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则a+b的值为 　﹣2　； （2）若x，y为实数，且，求x+y的值； （3）若实数a满足，求a+99的值． 【思路点拨】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值． （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）根据得出a≥100，然后化简得出，求出a的值，然后再求出结果即可． 【解析】解：（1）∵， 且，， ∴a﹣1＝0，3+b＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣2； 故答案为：﹣2． （2）∵， ∴y﹣5≥0且5﹣y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y＝5， ∴x2＝9， ∴x＝±3， 当x＝3时，x+y＝3+5＝8； 当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2； 答：x+y的值为2或8； （3）∵， ∴a﹣100≥0， ∴a≥100， ∴方程可变为， ∴， ∴a﹣100＝992， 解得a＝9901， ∴a+99＝9901+99＝10000． 【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 二次根式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二次根式的概念. 2.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围. 3.会求含字母的二次根式的值. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的有关概念 1.二次根式：表示算术平方根的式子(a≥0)叫做二次根式． 2.二次根式有意义的条件：被开方数是非负数 ( 能力拓展 )考点01 二次根式的概念 【典例1】下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 考点02 求二次根式中字母的取值范围 【典例2】若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 【即学即练2】如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3 考点03 求二次根式的值 【典例3】当x＝﹣2时，则二次根式的值为　　． 【即学即练3】当x＝2时，二次根式的值是 　　． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A．π B． C． D． 2．下列根式是二次根式的是（　　） A． B． C． D．2﹣2 3．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．）若二次根式有意义，则x的值不可能是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞5 D．x≥﹣2且x≠5 8．当x＝4时，二次根式的值为　　． 9．当x＝﹣2时，二次根式的值为　　． 10．如果代数式有意义，则x的取值范围是 　　． 11．当实数x　　时，有意义． 题组B 能力提升练 12．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．已知y＝+3，则的值为（　　） A． B． C． D． 15．当x＝﹣4时，二次根式的值是 　　． 16．当x取 　　时，4﹣的值最大． 17．已知实数a满足，那么a﹣20252的值为多少？ 题组C 培优拔尖练 18．下列代数式（x＞0），，33，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 19．若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 21．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则a+b的值为 　　； （2）若x，y为实数，且，求x+y的值； （3）若实数a满足，求a+99的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$