4.2 提公因式法-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 4.2 提公因式法 一．选择题（共20小题） 1．将3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果： ①3am（a﹣2n+1）②3a（am+2mn﹣1）③3a（am﹣2mn） ④3a（am﹣2mn+1） 其中，正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．多项式9a2x2﹣18a4x3各项的公因式是（　　） A．9ax B．9a2x2 C．a2x2 D．a3x2 3．用提公因式法分解因式正确的是（　　） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 4．将2x2a﹣6xab+2x分解因式，下面是四位同学分解的结果，其中，正确的是（　　） ①2x（xa﹣3ab）， ②2xa（x﹣3b+1）， ③2x（xa﹣3ab+1）， ④2x（﹣xa+3ab﹣1）． A．① B．② C．③ D．④ 5．代数式x4﹣81，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（　　） A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9 6．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　） A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1 7．多项式12ab3c﹣8a3b的公因式是（　　） A．4ab2 B．﹣4abc C．﹣4ab2 D．4ab 8．在多项式﹣12ab3c﹣8a3b中应提取的公因式是（　　） A．4ab2 B．﹣4abc C．﹣4ab2 D．﹣4ab 9．把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（　　） A．﹣a（4a2﹣4a+16） B．a（﹣4a2+4a﹣16） C．﹣4（a3﹣a2+4a） D．﹣4a（a2﹣a+4） 10．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　） A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 11．观察下列各组中的两个多项式： ①3x+y与x+3y；②﹣2m﹣2n与﹣（m+n）；③2mn﹣4mp与﹣n+2p；④4x2﹣y2与2y+4x；⑤x2+6x+9与2x2y+6xy． 其中有公因式的是（　　） A．①②③④ B．②③④⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 12．若（m+n）3﹣mn（m+n）＝（m+n）•A，则A表示的多项式是（　　） A．m2+n2 B．m2﹣mn+n2 C．m2﹣3mn+n2 D．m2+mn+n2 13．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y） C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y） 14．将多项式﹣6x3y2+3x3y2﹣12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．﹣3xy B．﹣3x2y2 C．3x2y D．﹣3x2y3 15．计算（﹣2）2022+（﹣2）2021等于（　　） A．22021 B．2 C．﹣1 D．﹣22021 16．下列各组多项式中没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．3（a﹣b）2与11（b﹣a）3 C．mx﹣my与ny﹣nx D．ab﹣ac与ab﹣bc 17．在把a2x+ay﹣a2xy分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．a2 B．a C．ax D．ay 18．下列分解因式正确的是（　　） A．3am﹣12am+1＝am（3﹣12a） B．（a﹣b）2﹣（b﹣a）3＝（a﹣b）2（1﹣b﹣a） C．2（a﹣2b）﹣（2b﹣a）2＝（a﹣2b）（2﹣2b+a） D．8a2b﹣4ab＝4ab（2a﹣1） 19．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（　　） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 20．在多项式：①16x5﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 二．填空题（共10小题） 21．因式分解：12xy2﹣8x2y＝　 　． 22．如图，边长为m，n的长方形，它的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值为 　 　． 23．因式分解：a2﹣a＝　 　． 24．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　 　． 25．计算：5.12×68.4﹣4.8×68.4+9.68×68.4＝　 　． 26．请你任意写出一个三项式，使它们的公因式是﹣2a2b，这个三项式可以是　 　． 27．如果x+y＝10，xy＝7，则x2y+xy2＝　 　． 28．课堂上，老师给出了一个只含字母x的多项式，并让同学们描述这个多项式的特征，以下是两位同学的描述，根据这些描述，请写出一个符合条件的多项式 　 　． 29．5（m﹣n）4﹣（n﹣m）5可以写成　 　与　 　的乘积． 30．因式分解：4x2y2﹣2x3y＝　 　． 三．解答题（共10小题） 31．若m+n＝2，mn＝3，求m2n+mn2+2的值． 32．将x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2进行因式分解，并求当x+y＝1，时此式的值． 33．分解因式：﹣3a2x+6axy﹣3a． 34．因式分解：﹣28m3n2+42m2n3﹣14m2n． 35．因式分解：m2（p﹣q）﹣p+q． 36．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x） （2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy 37．ax2+2a2x+a3． 38．4x2﹣12x3． 39．因式分解：6p（p+q）﹣4q（p+q）． 40．x（x﹣y）﹣y（y﹣x） 同步单元练习——北师大版 4.2 提公因式法 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C C C D D D D A B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B B A D B D A C 一．选择题（共20小题） 1．【答案】D 【分析】原式分解得到结果，即可作出判断． 【解答】解：原式＝3a（am﹣2mn+1）， 故选：D． 2．【答案】B 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【解答】解：9a2x2﹣18a4x3中 ∵系数的最大公约数是9，相同字母的最低指数次幂是a2x2， ∴公因式是9a2x2． 故选：B． 3．【答案】C 【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案． 【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误； B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误； C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确； D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误． 故选：C． 4．【答案】C 【分析】直接找出公因式进而提取得出答案． 【解答】解：2x2a﹣6xab+2x＝2x（xa﹣3ab+1）． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】首先将各多项式分解因式，再观察3个多项式，都可以运用公式法进一步因式分解． 【解答】解：x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）， ＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）； x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）； x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 因此3个多项式的公因式是x﹣3． 故选：C． 6．【答案】D 【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【解答】解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1． 故选：D． 7．【答案】D 【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案． 【解答】解：多项式12ab3c﹣8a3b的公因式是4ab， 故选：D． 8．【答案】D 【分析】原式提取公因式即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣4ab（3c2+2a2）， 则在多项式﹣12ab3c﹣8a3b中应提取的公因式是﹣4ab， 故选：D． 9．【答案】D 【分析】根据公因式的定义，确定出公因式是﹣4a，然后提取公因式整理即可选取答案． 【解答】解：﹣4a3+4a2﹣16a＝﹣4a（a2﹣a+4）． 故选：D． 10．【答案】A 【分析】根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可． 【解答】解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1）； ②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣3）2； ③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式； ④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣（2x﹣1）2． 所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④． 故选：A． 11．【答案】B 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：①3x+y与x+3y没有公因式； ②﹣2m﹣2n与﹣（m+n）公因式为（m+n）； ③2mn﹣4mp与﹣n+2p公因式为﹣n+2p； ④4x2﹣y2与2y+4x公因式为2x+y； ⑤x2+6x+9＝（x+3）2与2x2y+6xy＝2xy（x+3）公因式为x+3． 故选：B． 12．【答案】D 【分析】先提取公因式（m+n），整理后即可求出A的值． 【解答】解：（m+n）3﹣mn（m+n）， ＝（m+n）[（m+n）2﹣mn]， ＝（m+n）（m2+2mn+n2﹣mn）， ＝（m+n）（m2+mn+n2）． 所以A表示的多项式是（m2+mn+n2）． 故选：D． 13．【答案】B 【分析】根据互为相反数的两数的平方相等，把（y﹣x）2写成（x﹣y）2，然后提取公因式（x﹣y），整理即可． 【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2， ＝3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2， ＝（x﹣y）（3m﹣2x+2y）． 故选：B． 14．【答案】B 【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式． 【解答】解：﹣6x3y2+3x3y2﹣12x2y3 ＝﹣3x2y2（2x﹣x﹣4y） ＝﹣3x2y2（x﹣4y）． 故选：B． 15．【答案】A 【分析】根据因式分解法提公因式，再运用乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（﹣2）2022+（﹣2）2021 ＝（﹣2）2021×（﹣2+1） ＝22021． 故选：A． 16．【答案】D 【分析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可． 【解答】解：∵6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），∴3x﹣2与6x2﹣4x的公因式是3x﹣2；故本选项错误； B、∵11（b﹣a）3＝11（b﹣a）（a﹣b）2，∴3（a﹣b）2与11（b﹣a）3的公因式是（a﹣b）2；故本选项错误； C、∵mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），∴mx﹣my与ny﹣nx的公因式是（x﹣y）；故本选项错误； D、∵ab﹣ac＝a（b﹣c），ab﹣bc＝b（a﹣c），ab﹣ac与ab﹣bc没有公因式；故本选项正确； 故选：D． 17．【答案】B 【分析】根据确定公因式的方法，公因式的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项的相同字母，指数取最低次幂，所以公因式为：a． 【解答】解：a2x与ay与a2xy的公因式为a， 故把a2x+ay﹣a2xy分解因式时应该提取公因式是a． 故选：B． 18．【答案】D 【分析】根据公因式的定义，对各选项提取公因式分解因式后，利用排除法求解． 【解答】解：A、应为3am﹣12am+1＝3am（1﹣4a），故本选项错误； B、应为（a﹣b）2﹣（b﹣a）3＝（a﹣b）2（1﹣b+a），故本选项错误； C、应为2（a﹣2b）﹣（2b﹣a）2＝（a﹣2b）（2+2b﹣a），故本选项错误； D、运用提公因式法，8a2b﹣4ab＝4ab（2a﹣1），正确； 故选：D． 19．【答案】A 【分析】直接提取公因式a即可． 【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）， 故选：A． 20．【答案】C 【分析】根据提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式对各选项分解因式，然后找出有公因式的项即可． 【解答】解：①16x5﹣x＝x（16x4﹣1）， ＝x（4x2﹣1）（4x2+1）， ＝x（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）； ②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣3）2； ③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2， ＝[（x+1）2﹣2x]2， ＝（x2+2x+1﹣2x）2， ＝（x2+1）2； ④﹣4x2﹣1+4x， ＝﹣（4x2﹣4x+1）， ＝﹣（2x﹣1）2． 所以分解因式的结果中含有相同因式的是①④，共同的因式是（2x﹣1）． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】直接找出公因式4xy，进而提取公因式得出答案． 【解答】解：12xy2﹣8x2y＝4xy（3y﹣2x）． 故答案为：4xy（3y﹣2x）． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用已知得出m+n，mn的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【解答】解：∵边长为m，n的长方形，它的周长为10，面积为6， ∴mn＝6，m+n＝5， m2n+mn2＝mn（m+n） ＝6×5 ＝30． 故答案为：30． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可． 【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 故答案为：a（a﹣1）． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab（a+b），代入可求得答案 【解答】解： ∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10， ∴a+b7，ab＝10， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70， 故答案为：70． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式68.4，进而计算得出答案． 【解答】解：5.12×68.4﹣4.8×68.4+9.68×68.4 ＝68.4×（5.12﹣4.8+9.68） ＝68.4×10 ＝684． 故答案为：684． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】根据多项式的定义及单项式乘以多项式的法则得出． 【解答】解：答案不唯一． 比如一个三项式为（a+b+c）×（﹣2a2b）＝﹣2a3b﹣2a2b2﹣2a2bc． 答：这个三项式可以为﹣2a3b﹣2a2b2﹣2a2bc． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式xy，进而求出即可． 【解答】解：∵x+y＝10，xy＝7， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝7×10＝70． 故答案为：70． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用提取公因式法以及代数式求值的方法得出答案． 【解答】解：由题意可得：符合条件的多项式可以为：3x3﹣3x2． 故答案为：3x3﹣3x2． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式（m﹣n）4，再对余下的多项式整理后即可填空． 【解答】解：5（m﹣n）4﹣（n﹣m）5， ＝5（m﹣n）4+（m﹣n）5， ＝（m﹣n）4（5+m﹣n）． 故答案为：（m﹣n）4；（5+m﹣n）． 30．【答案】2x2y（2y﹣x）． 【分析】直接提取公因式2x2y，进而分解因式即可． 【解答】解：4x2y2﹣2x3y＝2x2y（2y﹣x）． 故答案为：2x2y（2y﹣x）． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】直接将原式分解因式，进而将已知代入求出答案． 【解答】解：m2n+mn2+2＝mn（m+n）+2， 当m+n＝2，mn＝3时， 原式＝2×3+2＝8． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】提公因式x（x+y），合并，再代值计算． 【解答】解：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2＝x（x+y）[（x﹣y）﹣（x+y）]＝﹣2xy（x+y）． 当x+y＝1，xy时，原式＝﹣2×（）×1＝1． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提公因式﹣3a即可． 【解答】解：﹣3a2x+6axy﹣3a＝﹣3a（ax﹣2xy+1）． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】首先提取负号，注意括号里的各项都要改变符号，再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝﹣（28m3n2﹣42m2n3+14m2n）， ＝﹣14m2n（2mn﹣3n2+1）． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式（p﹣q），再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【解答】解：m2（p﹣q）﹣p+q ＝（p﹣q）（m2﹣1） ＝（p﹣q）（m+1）（m﹣1）． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可． （2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解． 【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x） ＝x（ x﹣a ）﹣y（ x﹣a ） ＝（ x﹣a ）（ x﹣y ）； （2）解：x3y﹣10x2y+25xy ＝xy（ x2﹣10x+25） ＝xy（ x﹣5）2． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】首先提取公因式a，然后利用完全平方公式进行分解因式即可． 【解答】解：原式＝a（x2+2ax+a2） ＝a（x+a）2． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】先找出4x2与12x3的公因式，再根据因式分解的方法进行解答即可． 【解答】解：4x2﹣12x3 ＝4x2（1﹣3x）．（5分） 故答案为：4x2（1﹣3x）． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式进而分解因式即可． 【解答】解：6p（p+q）﹣4q（p+q）＝2（p+q）（3p﹣2q）． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】首先通过观察发现x﹣y与y﹣x是相反数关系，首先变形，然后再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可． 【解答】解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x） ＝x（x﹣y）+y（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+y）． 学科网（北京）股份有限公司 $$