第12章 复数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知为虚数单位，若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）设复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 4．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1012 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设C，且，则的实部的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏·期末）若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D．的虚部为3 11．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则互为共轭复数 C．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知i是虚数单位，若复数z满足，则 . 13．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为 . 14．（22-23高一下·江西赣州·期末）已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量．这就是向量的旋转公式．已知正三角形的两个顶点坐标是，根据此公式，求得点的坐标是 ．（任写一个即可） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求m的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 19．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的运算化简可得结果. 【详解】因为，则， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知为虚数单位，若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）设复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法即可得到答案. 【详解】，虚部为， 故选：B． 4．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据向量的除法运算可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得， 则. 故选：A. 6．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1012 【答案】B 【知识点】复数的乘方 【分析】由的性质利用分组求和法求得后可得． 【详解】 , 则所求虚部为. 故选：B． 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设C，且，则的实部的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、求cosx(型)函数的值域、求复数的实部与虚部 【分析】，由，可得，设，根据同角三角函数的基本关系及余弦函数的值域即可求解. 【详解】设，则, 所以，, 所以. 设, ，故的实部为， 所以 , 即的实部的取值范围为. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，，故D错误； 故选：AC. 10．（23-24高一下·江苏·期末）若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D．的虚部为3 【答案】BC 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】先应用复数除法求出复数判断C,D,再根据共轭复数判断A,最后根据模长判断B选项. 【详解】因为,虚部为，D选项错误； 为实数，C选项正确； ,A选项错误； ,B选项正确. 故选：BC. 11．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则互为共轭复数 C．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D．若，则 【答案】AC 【知识点】共轭复数的概念及计算、已知复数的类型求参数 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据复数的模的几何意义可判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设， 则，故A正确； 对于B，取，那么，但不是共轭复数，故B错误； 对于C，设在复平面内的点为，由知，点在以为圆心，1为半径的圆上，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知i是虚数单位，若复数z满足，则 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、求复数的模 【分析】根据及模长的性质即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 13．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 14．（22-23高一下·江西赣州·期末）已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量．这就是向量的旋转公式．已知正三角形的两个顶点坐标是，根据此公式，求得点的坐标是 ．（任写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示、复数的坐标表示、向量新定义 【分析】求出对应的复数，确定旋转角，利用旋转公式求出对应的复数，即可列式求解作答. 【详解】设点的坐标为，点，则， 从而对应的复数为， 若由逆时针旋转得到，对应的复数为， 因此，解得， 则的坐标是； 若由逆时针旋转得到，对应的复数为， 因此，解得， 则点的坐标是． 故答案为：（或） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【答案】(1)、 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也为方程的根，利用韦达定理计算可得； （2）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据其为纯虚数，则实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数）， 所以也为方程的根， 所以，所以； （2）由（1）可知 ， 又是纯虚数， 所以，解得. 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）． (1)求m的值； (2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值. （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【详解】（1）复数，且为纯虚数是的共轭复数），则， 解得． （2）， 复数在复平面对应的点在第一象限， ， 解得．实数的取值范围是． 17．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）解法一是把已知的虚根代入实系数一元二次方程，从而得到一个虚数为0，即实部为0和虚部分0，来求出待定系数的值即可； 解法二是利用实系数一元二次方程如果有虚根，一定是共轭虚根，从而知道了这个方程的两个根，然后用韦达定理来求出系数的值即可; （2）代入已知的共轭复数进行除法运算后,再求模即可. 【详解】（1）解法一：由题意得:， 即， 所以，            所以，， 解得：，即；    解法二：由已知得，这个方程的另一个根是，再用韦达定理可知： ，解得：，所以； （2），，则， 所以. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【答案】(1)1； (2)证明见解析. (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【详解】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 19．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【知识点】复数的三角形式、二倍角的余弦公式、复数的三角表示、复数的指数形式 【分析】（1）根据复数的乘法运算律计算即可； （2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可； （3）应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 【详解】（1） . （2）. （3）正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性可知，共有5个不同的值， 故复数所对应不同点的个数为5． 【点睛】关键点点睛：应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$