第12章 复数 易错训练与压轴训练（4易错+1压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽视复数是纯虚数的充要条件 1 易错题型二 错误的理解复数比大小 1 易错题型三 误把复数当实数代入计算 2 易错题型四 混淆虚部定义致错 3 压轴题型一 根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 3 02 易错题型 易错题型一 忽视复数是纯虚数的充要条件　 例题1：（2024·江苏镇江·三模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 例题2：（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 易错题型二 错误的理解复数比大小　 例题1：（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 巩固训练 1．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知虚数，， （写出一个符合题意的即可）. 2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 易错题型三 误把复数当实数代入计算　 例题1：（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 例题2：（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．为实数 B． C．若，则 D． 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）若在复平面内对应的点为，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．直线的倾斜角为 2．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）设，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 易错题型四 混淆虚部定义致错 例题1：（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 例题2：（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 2．（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 03 压轴题型 压轴题型一 根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 例题1：（2024·河北）已知复数（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 例题2：（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）设复数z满足，且，则，的最小值为 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽视复数是纯虚数的充要条件 1 易错题型二 错误的理解复数比大小 2 易错题型三 误把复数当实数代入计算 4 易错题型四 混淆虚部定义致错 6 压轴题型一 根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 7 02 易错题型 易错题型一 忽视复数是纯虚数的充要条件　 例题1：（2024·江苏镇江·三模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义和复数的运算求解即可. 【详解】， 复数为纯虚数，故且，则. 故选：C 例题2：（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】根据纯虚数的概念求出，然后由共轭复数定义可得. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以. 故选：B 2．（23-24高一下·浙江·期中）若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 【答案】2 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】由复数的乘法和纯虚数的定义求解. 【详解】因为，所以当时，为纯虚数． 故答案为：2 易错题型二 错误的理解复数比大小　 例题1：（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】A 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数代数形式的乘法运算、复数的基本概念、已知复数的类型求参数 【分析】由条件结合复数的几何意义，得到，根据可得为实数，列方程可求的值. 【详解】因为复数在复平面上对应的点为， 所以， 因为， 因为为实数， 得. 故选：A. 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 【答案】1 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据已知条件，设出，结合复数模公式，求出，再结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解. 【详解】因为，可设，， 因为，所以，解得，所以， 又因为是关于的方程（）的一个根， 可知另一个根为， 则，解得，，所以. 故答案为：1. 巩固训练 1．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知虚数，， （写出一个符合题意的即可）. 【答案】i 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数实部的定义，即可求解. 【详解】由，得， 又，则且，令，， 故符合题意. 故答案为：i（答案不唯一）. 2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 【答案】(1)且 (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）由，可知为正实数，从而求解. 【详解】（1）由题意，是虚数，得：， 解得：且； （2）因为所对应的点在第四象限， ， 解得：， 所以实数的取值范围是 （3）若，则， 解得，即，所以. 易错题型三 误把复数当实数代入计算　 例题1：（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得. 故选：B 例题2：（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数根据复数的运算以及模的计算公式一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设复数，则， 则，为实数，A正确； ，，则，B正确； 若，不妨取，则不成立，C错误； ， 则， ， 则， 则，D正确， 故选：ABD 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）若在复平面内对应的点为，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．直线的倾斜角为 【答案】AB 【知识点】直线的倾斜角、复数的坐标表示、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】利用复数的几何意义结合给定条件求解参数，求出复数，利用复数模的求法判断C，利用复数的几何意义求出对应点坐标，再利用斜率的几何意义求解即可. 【详解】设，因为， 所以，即 解得，故A，B正确，此时， 此时，故C错误； 由复数的几何意义得对应的点为，且设直线的斜率为，倾斜角为， 由斜率公式得，由斜率的几何意义得， 因为，所以，则直线的倾斜角为，故D错误. 故选：AB. 2．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）设，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】设，整理可得.结合选项逐项分析判断即可. 【详解】设，则， 可得， 所以，可知. 对于选项A：因为，故A不可能成立； 对于选项B：因为，方程组无解，故B不可能成立； 对于选项C：因为，方程组无解，故C不可能成立； 对于选项D：因为，解得，故D成立； 故选：ABC. 易错题型四 混淆虚部定义致错 例题1：（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 例题2：（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、虚数单位i及其性质 【分析】根据虚数单位的性质可得，进而可得以及的虚部. 【详解】因为，则， 所以的虚部为. 故选：A. 巩固训练 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】首先得到，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以的虚部是. 故选：A 2．（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 03 压轴题型 压轴题型一 根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 例题1：（2024·河北）已知复数（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据复数的几何意义确定复数对应的点在椭圆上，由椭圆的性质可得． 【详解】设，又，则，消去得， 所以复数z对应的复平面上的点在椭圆上，其右焦点为，， 表示复数与对应的点间的距离，即椭圆的点到右焦点的距离， 则最小值为， 所以的最小值为． 故选：B. 例题2：（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模、辅助角公式、求cosx(型)函数的值域 【分析】化简给定复数，结合三角函数的有界性求解范围，最后得到取值即可. 【详解】． ， ． 而，在取值范围内，故B，D正确. 故选：BD 例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）设复数z满足，且，则，的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】复数的除法运算、求复数的模、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意设可求得，再由复数乘方运算利用基本不等式即可求得结果. 【详解】设， 由已知可得． 设，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 故答案为：4 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】运用复数模长的几何意义，数形结合可解. 【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：.    3．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复数加减法几何意义的运用、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$