2025年九年级数学中考填空题复习 方程与不等式之一元二次方程与分式方程

中考数学第一轮复习 填空题练习 方程与不等式之一元二次方程及分式方程 填空题： 1．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 2．若方程1的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是 　 　． 3．已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　． 4．分式方程的解是 　 　． 5．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　 　， 6．若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　． 7．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　． 8．若点Q（x，y）满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 　 　． 9．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　． 10．甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 　 　km/h． 11．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　 　． 12．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b．若（x+1）⊗x，则x的值为 　 　． 13．已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　． 14．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 15．已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　 　． 16．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 　 　元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 　 　元． 17．若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　． 18．若关于x的方程1无解，则k的值为 　 　． 19．若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则　 　． 20．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 21．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则　 　． 22．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2， 则正确结论的序号是　 　．（在横线上填上所有正确结论的序号） 24．若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 25．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 12页） 解析答案 填空题 1．关于 x的一元二次方程 x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则 c的值为 1 4 ． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即 1﹣4c＝0， 解得 c= 14； 故答案为： 1 4 ． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则 Δ＝0． 2．若方程 �−3 �−2 +1= 32−�的解使关于 x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0 成立，则实数 a的取值范围是 a＜﹣ 1 ． 【解答】解： �−3 �−2 +1= 32−�， �−3 �−2 + �−2 �−2 = −3 �−2 ， 2�−2 �−2 =0， 解得：x＝1， ∵x﹣2≠0，2﹣x≠0， ∴x＝1是分式方程的解， 将 x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得： 2﹣a﹣3＞0， 解得：a＜﹣1， ∴实数 a的取值范围是 a＜﹣1， 故答案为：a＜﹣1． 【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不 能为 0． 3．已知 y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则 x的值为 3 ． 【解答】解：∵y2﹣x＝0， 第 2页（共 12页） ∴y2＝x≥0， ∵x2﹣3y2+x﹣3＝0， ∴x2﹣3x+x﹣3＝0， 即 x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， 即 x的值为 3， 故答案为：3． 【点评】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于 x的方程是解题的关键． 4．分式方程 � �−3 = �+1 �−1 的解是 x＝﹣3 ． 【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3， 解得：x＝﹣3， 检验：当 x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为 x＝﹣3， 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 5．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为 500元．因销量持续攀升，商家在 3 月份提价 20%，后发现销量 锐减，于是经过核算决定在 3月份售价的基础上，4，5 月份按照相同的降价率 r连续降价．已知 5 月 份礼盒的售价为 486元，则 r＝ 10% ， 【解答】解：根据题意得 500（1+20%）（1﹣r）2＝486， 解得 r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）． 所以 4，5月份两个月平均降价率为 10%．即 r＝10%． 故答案为：10%． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．原来的数量（价格）为 a，平均每次增长或降低的百分率 为 x的话，经过第一次调整，就调整到 a（1±x），再经过第二次调整就是 a（1±x）（1±x）＝a（1±x） 2．增长用“+”，下降用“﹣”． 6．若关于 x的不等式组 4�−1 3 ＜� + 1 2(� + 1) ≥− � + � 至少有 2个整数解，且关于 y的分式方程 �−1 �−1 =2− 31−�的解为 非负整数，则所有满足条件的整数 a的值之和为 16 ． 第 3页（共 12页） 【解答】解： 4�−1 3 ＜� + 1① 2(� + 1) ≥− � + �② ， 解不等式①，得 x＜4， 解不等式②，得 x≥ �−23 ， ∴该不等式组的解集为 �−2 3 ≤x＜4， ∵该不等式组至少有 2个整数解， ∴ �−2 3 ≤2， 解得 a≤8； 解分式方程 �−1 �−1 =2− 31−�得， y= �−22 ， ∵解为非负整数， ∴ �−2 2 ≥0，即 a≥2且 a为偶数， 由题意得，当 a＝8时，y= 8−22 =3； 当 a＝6时，y= 6−22 =2； 当 a＝4时，y= 4−22 =1（不合题意，舍去）； 当 a＝2时，y= 2−22 =0， ∴所有满足条件的整数 a的值为 8、6和 2， ∵8+6+2＝16， ∴所有满足条件的整数 a的值之和为 16， 故答案为：16． 【点评】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解 并运用以上知识进行计算求解． 7．已知方程 x2+x﹣2＝0的两根分别为 x1，x2，则 1 �1 + 1 �2 的值为 1 2 ． 【解答】解：∵方程 x2+x﹣2＝0的两根分别为 x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， ∴ 1 �1 + 1 �2 = �1+�2 �1�2 = −1 −2 = 1 2 ． 第 4页（共 12页） 故答案为： 1 2 ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− � �， x1•x2= � �． 8．若点 Q（x，y）满足 1 � + 1 � = 1 �� ，则称点 Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 （2，﹣1）（答 案不唯一，满足 x+y＝1且 x≠0，y≠0） ． 【解答】解：根据题意得： 1 � + 1 � = �+� �� = 1 �� ，即 x+y＝1， 当 x＝2，y＝﹣1时，“美好点”的坐标为（2，﹣1）（答案不唯一，满足 x+y＝1且 x≠0，y≠0）． 故答案为：（2，﹣1）（答案不唯一，满足 x+y＝1且 x≠0，y≠0）． 【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9．若一元二次方程 2x2﹣4x﹣1＝0的两根为 m，n，则 3m2﹣4m+n2的值为 6 ． 【解答】解：∵一元二次方程 2x2﹣4x﹣1＝0的两根为 m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n=− −42 =2，mn=− 1 2， ∴3m2﹣4m+n2 ＝2m2﹣4m+m2+n2 ＝1+（m+n）2﹣2mn ＝1+22﹣2×（− 12） ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− � �， x1•x2= � �． 10．甲、乙两船从相距 150km的 A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 A地顺流航行 90km时与 从 B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为 30km/h，则江水的流速为 6 km/h． 【解答】解：设江水的流速为 x千米每小时，根据题意得： 90 30+� = 150−90 30−� ， 解得 x＝6， 经检验符合题意， 第 5页（共 12页） 答：江水的流速 6km/h． 故答案为：6． 【点评】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键． 11．已知 x1，x2是一元二次方程 x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 14 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5． ∴（x1﹣x2）2+3x1x2 = �12 +x1x2+ �22 ＝（x1+x2）2﹣x1x2 ＝32﹣（﹣5） ＝9+5 ＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键． 12．定义一种新运算：对于任意的非零实数 a，b，a⊗b= 1� + 1 �．若（x+1）⊗x= 2�+1 � ，则 x的值为 − 1 2 ． 【解答】解：根据题意得： 1 �+1 + 1 � = 2�+1 � ， 化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1）， 解得：x=− 12， 检验：当 x=− 12时，x（x+1）≠0， ∴原方程的解为：x=− 12． 故答案为：− 12． 【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键． 13．已知方程 x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 4 ． 【解答】解：令方程的另一个根为 m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝2， 解得 m＝4， 所以方程的另一个根为 4． 第 6页（共 12页） 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解 题的关键． 14．若关于 x的一元一次不等式组 2�+1 3 ≤ 3 4� − 2＜3� + � 的解集为 x≤4，且关于 y的分式方程 �−8 �+2 − � �+2 =1的 解均为负整数，则所有满足条件的整数 a的值之和是 12 ． 【解答】解： 2�+1 3 ≤ 3① 4� − 2＜3� + �② ， 解不等式①，得 x≤4， 解不等式②，得 x＜a+2， 由题意得 a+2＞4， 解得 a＞2； 解方程 �−8 �+2 − � �+2 =1得， y= �−102 ，且 y≠﹣2， 当 a＝8时，y= 8−102 =−1； 当 a＝6时，y= 6−102 =−2（不合题意，舍去）； 当 a＝4时，y= 4−102 =−3， ∴符合条件的 a有 8，4， ∴8+4＝12， 即所有满足条件的整数 a的值之和是 12． 【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行 正确地计算． 15．已知方程 x2+2x﹣1＝0的两根分别为 a和 b，则 4a2+8ab+4b2的值为 16 ． 【解答】解：∵方程 x2+2x﹣1＝0的两根分别为 a和 b， ∴a+b＝﹣2， ∴4a2+8ab+4b2 ＝4（a2+2ab+b2） ＝4（a+b）2 第 7页（共 12页） ＝4×（﹣2）2 ＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关 键． 16．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙 辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵 15元，且用 2400元购进小号“龙辰辰”的数量 是用 2200元购进大号“龙辰辰”数量的 1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 55 元．某网店在该厂 家购进了两种型号的“龙辰辰”共 60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半， 小号“龙辰辰”售价为 60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多 30%．若两种型号的 “龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 1260 元． 【解答】解：设小号“龙辰辰”的单价为 x元，则大号“龙辰辰”的单价为（x+15）元， 根据题意得， 2400 � = 1.5 × 2200 �+15 ， 解得 x＝40， 经检验 x＝40是原方程的解，且符合题意， 所以 x+15＝55， 即大号“龙辰辰”的单价为 55元． 设该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙辰辰”（60﹣m）个， 由题知， m≤ 12 (60 − �)， 解得 m≤20． 因为小号“龙辰辰”售价为 60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多 30%， 所以大号“龙辰辰”的售价为 60×（1+30%）＝78（元）． 令该网店获得的利润记为 w， 则 w＝（78﹣55）m+（60﹣40）（60﹣m）＝3m+1200， 又因为 m≤20， 所以当 m＝20时，w取得最大值为 1260， 所以该网店所获最大利润为 1260元． 第 8页（共 12页） 故答案为：55，1260． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，能根据题意建立分式方程是解题的关键． 17．若一元二次方程 x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数 c的取值范围为 c＞1 ． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程 无实数根． 18．若关于 x的方程 3 �−2 − ��−1 �−2 =1无解，则 k的值为 2或﹣1 ． 【解答】解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2 解得：x= 61+�， ①当 x＝2时分母为 0，方程无解， 即 6 1+� =2， ∴k＝2时方程无解； ②当 k+1＝0即 k＝﹣1时，方程无解； 故答案为：2或﹣1． 【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 19．若实数 a、b分别满足 a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且 a≠b，则 1 � + 1 � = 3 2 ． 【解答】解：∵a、b分别满足 a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0， ∴可以 a、b看作是一元二次方程 x2﹣3x+2＝0的两个实数根， ∴a+b＝3，ab＝2， ∴ 1 � + 1 � = �+� �� = 3 2 ． 故答案为： 3 2 ． 【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关 系是解题的关键． 第 9页（共 12页） 20．若关于 x的一元一次不等式组 �+3 2 ≤ 4 2� − � ≥ 2 至少有 2个整数解，且关于 y的分式方程 �−1 �−2 + 4 2−� =2有 非负整数解，则所有满足条件的整数 a的值之和是 4 ． 【解答】解：解不等式组 �+3 2 ≤ 4 2� − � ≥ 2 ，得 � ≤ 5 � ≥ �+22 ， ∵至少有 2个整数解， ∴ �+2 2 ≤4， ∴a≤6， 解分式方程 �−1 �−2 + 4 2−� =2， 得 y= �−12 ， ∵y的值是非负整数，a≤6， ∴当 a＝5时，y＝2， 当 a＝3时，y＝1， 当 a＝1时，y＝0， ∵y＝2是分式方程的增根， ∴a＝5（舍去）， ∴满足条件的 a的值有 3和 1， ∵3+1＝4， ∴所有满足条件的整数 a的值之和是 4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的 解法是解题的关键． 21．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则 �3 � + �3 � = 47 ． 【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为 x2﹣3x+1＝0， ∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根， ∴α+β＝3，αβ＝1， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47， ∴ �3 � + �3 � = �4+�4 �� =47， 故答案为：47． 第 10页（共 12页） 【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对 �3 � + �3 � 进行变形． 22．若关于 x的方程 �−� �−3 + 3 = 8 3−� 有正整数解，且关于 x的不等式组 2(� + 2) ≤ 9 + 3� 8� + 17＜� 有且只有 3个整 数解，则符合条件的所有整数 a的和为 ﹣4 ． 【解答】解：方程 �−� �−3 + 3 = 8 3−� 的解为 x= 1−�2 ， 根据题意，得 1−� 2 ＞0 1−� 2 ≠ 3 ，解得 a＜1，a为奇数且 a≠﹣5． ∵不等式 2(� + 2) ≤ 9 + 3� 8� + 17＜� 的解集为﹣5≤x＜ �−178 ，且只有 3个整数解， ∴﹣3＜ �−178 ≤−2，解得﹣7＜a≤1． 综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且 a≠﹣5， ∴a＝﹣3，﹣1． ∵﹣3﹣1＝﹣4， ∴符合条件的所有整数 a的和为﹣4 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，正确求出它们的解是本题的关键． 23．已知关于 x的方程 x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2， 则正确结论的序号是 （1）（3） ．（在横线上填上所有正确结论的序号） 【解答】解：（1）∵方程 x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0中， Δ＝（a+b）2﹣4（ab﹣2）＝（a﹣b）2+8＞0 ∴（1）x1≠x2正确； （2）∵x1x2＝ab﹣2＜ab，故（2）错误； （3）∵x1+x2＝a+b， 即（x1+x2）2＝（a+b）2，x12+x22+2x1x2＝2ab+a2+b2， ∵x1x2＜ab， ∴x12+x22＞a2+b2正确． 故填空答案：（1）（3）． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需 同学们熟练掌握． 第 11页（共 12页） 24．若关于 x的一元一次不等式组 � − 1＞ �−3 2 3� − � ≤ 1 有解且最多有 3 个整数解，且使关于 y的分式方程 � �−1 = 5�−3 1−� + 7有整数解，则所有满足条件的整数 a的值之和是 12 ． 【解答】解： � − 1＞ �−32 ① 3� − � ≤ 1② ， 解①得：x＞﹣1； 解②得：� ≤ �+13 ， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为：−1＜� ≤ �+13 ， ∵有解且最多有 3个整数解， ∴﹣1＜ �+13 ＜3， 解得：﹣4＜a＜8， ∴整数 a为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7， � �−1 = 5�−3 1−� + 7， 去分母，得 a＝3﹣5y+7（y﹣1）， 去括号，得 a＝3﹣5y+7y﹣7， 合并同类项，得 a＝2y﹣4， 解得 y= �+42 ， ∵分式方程有整数解， ∴ �+4 2 是整数，且 �+4 2 −1≠0， ∴a为偶数，且 a≠﹣2， ∴整数 a为：0，2，4，6， ∴所有满足条件的整数 a的值之和是 0+2+4+6＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题 的关键，本题需注意分式方程的分母不等于 0的限制条件． 25．对于一切正整数 n，关于 x的一元二次方程 x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为 an、bn，则 1 (�1−3)(�1−3) + 第 12页（共 12页） 1 (�2−3)(�2−3) + ⋯ + 1 (�9−3)(�9−3) = − 310 ． 【解答】解：由根与系数的关系得 an+bn＝n+3，an•bn＝﹣3n2， 所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1）， 则 1 (��−3)(��−3) = 1 −3�(�+1) =− 1 3 （ 1 � − 1 �+1 ）， ∴原式=− 13（1− 1 2+ 1 2− 1 3+ 1 3− 1 4+⋯+ 1 9− 1 10） =− 13 ×（1− 1 10） =− 13 × 9 10 =− 310， 故答案为：− 310 【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值。