精品解析：江苏省南通市通州区、启东市、如东县等地区2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年江苏省南通市通州区、启东市、如东县等地区高二上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足：，，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 12 C. 15 D. 31 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 8. 已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦距相同 D. 与的离心率互为倒数 10. 已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为__________. 14. 设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， （1）求与 （2）若数列满足，求的前n项和. 16. 已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. （1）求圆C的标准方程; （2）直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点E在线段PD上，平面，求的值. 18. 设数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列; （2）求数列的通项公式，并求数列的最大项; （3）是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南通市通州区、启东市、如东县等地区高二上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足：，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的周期性来求得正确答案. 【详解】因为，且， 所以，，，，，…… 所以数列为周期数列，周期为2， 所以 故选：B 2. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，结合离心率的定义可以得出答案. 【详解】由题意得， 解得 故选：A 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当直线与垂直时，，即， 解得或， 所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 12 C. 15 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以， 则，解得：或0（舍去）. 因为，所以，故. 故选：C 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义即可求解. 【详解】已知空间向量，， 向量在向量上的投影向量为： 故选：D 6. 已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式得解. 【详解】抛物线C的方程为， ，可得， 设，由抛物线的定义得， 所以， 故选：C. 7. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，可判断结果. 【详解】根据题意，圆，圆， 联立可得：，即两圆的公共弦所在的直线为， 圆，即，其圆心为， 若圆 平分圆 的周长，则圆心 在直线上， 代入解得 故选：D. 8. 已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ，  所以， ，由椭圆的定义知  ， 即，得  . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦距相同 D. 与的离心率互为倒数 【答案】BCD 【解析】 【分析】将曲线的方程化为标准形式，再结合长轴长的定义，判断A，渐近线的定义判断B，焦距的定义判断C，离心率的定义判断D， 【详解】已知曲线：，：， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 双曲线的长半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，，，，， 选项A，的长轴长为8 ，故A错误； 选项B，的渐近线方程为，故B正确； 选项C，的焦点坐标， 的焦点坐标，与的焦距相同均为4，故C正确； 选项D，的离心率，的离心率，与的离心率互为倒数，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】因为，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出焦点坐标计算相应线段长判断A，设直线AB的方程为，，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，代入数量积后确定正负判断B，由焦半径公式计算线段和结合选项B中结论判断C，确定是中点，由中点坐标公式求得点坐标，由向量的线性运算化简后计算出模判断D． 【详解】对于A，抛物线的焦点，已知， 则，，所以，故A错误； 对于B，设直线AB的方程为，，， 联立，消去x得， 则， 由韦达定理得，， 则， 因为，， 所以 ， 则为钝角，，故B正确； 对于C，根据抛物线的定义，，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为，所以M为的外心. 因为， 所以，所以M为AB的中点，即 所以 ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：涉及到直线与抛物线（椭圆或者双曲线等）相交问题，常常设直线直线方程，设交点坐标为，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理，判断角是锐角还是钝角时可借助向量的数量积的正负判断夹角的大小，抛物线上的点到焦点的距离用焦半径公式更加方便． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 14. 设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设数列 的公比为q，由题设列出的前三项，利用公比相等建立方程组求出q，即可得答案. 【详解】设数列的公比为q， 由题意，，，， 所以，即， 所以，即，所以或， 当时，不是等比数列，不合题意； 当，时， 此时，， 故与均为等比数列，且公比相等且为，符合题意； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， （1）求与 （2）若数列满足，求的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， 【小问2详解】 由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16. 已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. （1）求圆C的标准方程; （2）直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的性质先求出圆心坐标，再求出圆的半径即可求解； （2）先求出圆心C到直线l的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可． 【小问1详解】 因为，点和点的中点为， 所以以两点，为端点的线段的中垂线方程为， 整理得， 由，解得， 所以圆心，所以半径， 所以圆C的标准方程为． 【小问2详解】 因为的面积， 所以， 因为，所以，所以圆心C到直线l的距离为 若直线l的斜率不存在，则l的方程为， 此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得，或， 所以直线l的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点E在线段PD上，平面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，以为原点,建立空间直角坐标系，利用坐标运算分别求出平面与平面的一个法向量，再由坐标运算求出平面与平面夹角的余弦值； （2）设，由平，可得（为平面的一个法向量），利用坐标运算求出，即可求得的值. 【小问1详解】 因为，，所以 又平面， 以为原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系 又，， 则，，，，， 所以， ， 设平面的一个法向量，则， 得，取，  平面的一个法向量， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 【小问2详解】 设， 由（1）知，， 则，  因为平面，由（1）知平面的一个法向量， 所以，即，解得， 所以. 18. 设数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列; （2）求数列的通项公式，并求数列的最大项; （3）是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2），最大项为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由可得，配凑后可证为等比数列； （2）根据数列的单调性可求数列的最大项； （3）根据等差中项可得，故可得，从而可得或，代入计算后可得的值. 【小问1详解】 ①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由，解得， 所以， 所以数列的最大项为 【小问3详解】 由，，成等差数列，得 因为，所以，所以 又，， 显然，不成立， ，不成立， 所以，若p存在，或 当时，，即， 当时，，即 而， 根据数列的单调性，当时，，所以q无解. 综上，存在，，使得，，成等差数列. 【点睛】思路点睛：对于与数列有关的方程的整数解问题，我们可以通过不等式的性质确定出参数满足的范围，再利用代入检验法求出参数的值. 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 【答案】（1） （2）①；②，， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为列方程组，求出的值，即可求椭圆E的标准方程; （2）①设，则，利用斜率公式可求的值; ②联立直线与椭圆E的方程，利用斜率公式、结合韦达定理分别求出直线OA，OB的斜率之和，以及若直线OC，OD的斜率之和，根据斜率之和为零求出斜率，再根据直线交点坐标可求点P的坐标. 【小问1详解】 由，解得， 所以椭圆E的标准方程为 【小问2详解】 ①设，则， 因为，， 所以，， 则 ； ②联立直线与椭圆E的方程，得， 消去x，得， 设，，，， 则， 因为直线OA，OB的斜率存在，所以，， 又因为点P不在x轴上，所以，， 所以直线OA，OB的斜率之和 ， 同理，直线OC，OD的斜率之和， 所以， 因为直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0， 所以或 当时，结合，解得 联立，解得， 所以点P的坐标为 当时，结合，解得或， 联立， 解得，所以点P的坐标为 联立，解得 所以点P的坐标为 综上，点P的坐标为，， 【点睛】本题②的解题关键是先将用变量表示，然后证明其为定值，探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $