5.1.1变化率问题 第一课时课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.1.1 变化率问题 第一课时 一 二 三 学习目标 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 学习目标 创设情境 问题1 高台跳水运动员的速度 新知探究：变化率问题 新知探究：变化率问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？   请计算对应时间段的平均速度： 新知探究：变化率问题   跟踪训练 1 √   6 新知探究：变化率问题 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 再计算： 追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 新知探究：变化率问题 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 追问2 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗?     新知探究：变化率问题 问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 -4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951 -5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 归纳总结     (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)； (2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 求瞬时速度的步骤 方法归纳 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y=s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1 s时的瞬时速度. 例 2   13 一质点M按运动方程y=s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 跟踪训练 2   14 复习回顾 问题1 高台跳水运动员的速度   1.平均速度 时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 2.瞬时速度 当t=t0时的瞬时速度 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 无限逼近 取极限 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 几何意义？ 新课导入 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 新知探究：抛物线的切线斜率   问题1：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似 在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 新知探究：抛物线的切线斜率 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时   新知探究：抛物线的切线斜率 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kP0P→2. 新知探究：抛物线的切线斜率 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 概念形成 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 抛物线的割线及切线的斜率 1.割线的斜率 2.切线的斜率   函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 概念形成 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 知识应用 例1 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 课堂小结 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 2.抛物线的割线及切线的斜率 无限逼近 无限逼近 求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1，2)处的切线方程. 例 3   求抛物线f(x)=x2-x在点(2，2)处的切线方程. 跟踪训练 3   1、完成随堂演练1—4 2、小本1——14.（3班1——16） 3、预习导数的概念完成例1. (4)求瞬时速度v′＝eq \o(Δt→0,\s\up17(lim)) eq \f(Δs,Δt). (3)求平均速度v＝eq \f(Δs,Δt)； $$