精品解析：湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高三下学期入学考试数学试卷

2024-2025麓山国际 2025 届高三入学考试试卷 高三年级 数学试卷 命题人:黄海波 审题人:蔡尚海 总分: 150 分 时量: 120 分钟 一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过联立方程，求解的元素，再根据集合的形式，判断选项. 【详解】联立，得， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则其共轭复数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 故选：B 3. 等比数列中， ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 252 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列定义求解即可. 【详解】因为是等比数列，设其公比为，所以，解得， 所以. 故选：B. 4. 设，，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论. 【详解】若，则，； 若，则，即. “”是“”的必要而不充分条件； 故选：B. 5. 若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 6. 过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案. 【详解】⊙M：的圆心，半径， 由，得， 由题意可得圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：B. 7. 如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由，共线，点在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可. 【详解】设，则， 由，则，即，① 由三点共线，则，即，② 又因为，即，③ 将①②代入③得，则. 故选：D. 8. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分离参数可得，即可得到，再结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以等价于， 又，所以，则， 即， 又， 所以，即实数的最小值为. 故选：A 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下面命题中是假命题的有（ ） A. 中，若，则 B. 若，则是第一象限角或第二象限角 C. 若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D. 函数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合大边对大角可判断A选项；利用三角函数值的符号与角的终边的关系可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，中，若，则，所以，，A对； 对于B选项，若，则是第一象限角或第二象限角或角的终边在轴的非负半轴，B错； 对于C选项，若一个扇形所在圆半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为，C对； 对于D选项，若，则，D错. 故选：BD. 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有3项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出幂指数，再结合展开式的通项，逐项判断即可. 【详解】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得， 对于A，展开式共7项，A错误； 对于B，二项式系数最大的项是第4项，B正确； 二项式展开式的通项， 对于C，由，得，则展开式的常数项，C正确； 对于D，由为整数，得，因此展开式的有理项共有4项，D错误. 故选：BC 11. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可. 【详解】若，则，，故， 所以，即等差数列是递减数列， A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对； B：由，，则，， 所以成立的最小自然数，错； C：，则，对； D：当或时，，当时，， 由，，所以数列中的最小项为，对. 故选：ACD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则) 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解． 【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集， 由可得，， 所以，解得：，故σ至多为． 故答案为：． 13. 正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【解析】 【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【详解】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为： 14. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为方程的根的问题，易知的最大值为； 解法一：利用方程根的判别式求出参数的取值范围，并分类讨论是否符合题意即可求出结果； 解法二：结合图象对两根的分布情况进行分类讨论即可求得参数的取值范围. 【详解】令，得； 设，则方程，即， 易知，所以在上单调递增，在上单调递减，可得， 易知当时，，当时，，且当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 作出的大致图象如图所示． 数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根． 解法一： 由，得或． 当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不合题意， 当时，设方程在上的两个实数根分别为，则， 所以需，得，故实数的取值范围是． 解法二： 设方程的两个不同的实数根分别为， 则，或，． ①当，时，由，得， 则在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根， 由，得或，与，矛盾． ②当，时，若方程在上有两个不同的实数根， 则，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点， （1）会转化，即会将零点问题转化为方程的根的问题； （2）会作图，即会根据基本初等函数的图象或利用导数画出相关函数的大致图象； （3）会观察，即会利用数形结合思想得到参数的取值范围． 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分， 解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为．已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用正弦的和角公式得到，即可求角； （2）利用（1）中结果及条件，结合正弦定理，得到，再利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由，得到， 即，得到， 又，，所以， 又，得到. 【小问2详解】 由（1）知，因为 又， 所以 ， 即，又由正正弦定理得，即，其中为外接圆的半径，所以， 所以的面积为. 16. 随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. （1）求第二天获得优惠金额的数学期望； （2）记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式求解概率，即可由期望公式求解， （2）由题意得，即可利用构造法求解为等比数列，即可由等比数列的通项求解. 【小问1详解】 设第二天获得的优惠券金额为的可能取值为，第二天抽1张奖券的概率为，抽2张奖券的概率为， 若抽2张奖券，优惠金额20元的概率为，优惠金额30元的概率为， ， ， ， 故第二天获得优惠金额的数学期望. 【小问2详解】 记“第天抽取1张奖券”的概率为，则“第天抽取2张奖券”的概率为， 则“第天抽取1张奖券”的概率为， ， 设，则， 又，则， 所以数列是公比为的等比数列， . 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数探讨单调性，求出最小值. （2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当时，不等式恒成立，当时，利用导数探讨存在实数使得得解. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 【小问2详解】 函数的定义域为， 当时，，，则， 由（1）知，，，而，即有， 因此恒成立，此时； 当时，，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而恒成立，不等式不恒成立， 所以实数a的取值范围是. 18. 如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点为线段的中点时，求证：； （2）当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面和平面的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案． 【小问1详解】 因为点为线段的中点，且， 所以， 因为，且四边形为正方形，故， 所以，而平面， 故平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 设正方形的中心为，分别取的中点为， 设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接，平面，故， 又平面，故平面平面， 且平面平面， 由题意可知四边形为等腰梯形，故， 平面，故平面， 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 因为，则，又，故， 设到底面的距离为， 四边形，为两个全等的等腰梯形，且， 故，又， 故，则， ， 设， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 故， 令，则， 令，则， 令，则在上单调递增， 故当时，，当时，， 故， 即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围. 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在双曲线的方程中，令，结合已知条件求出点的坐标，根据“等线”的定义可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【小问1详解】 解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以． 【小问3详解】 证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025麓山国际 2025 届高三入学考试试卷 高三年级 数学试卷 命题人:黄海波 审题人:蔡尚海 总分: 150 分 时量: 120 分钟 一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 若复数满足，则其共轭复数为（    ） A. B. C. D. 3. 等比数列中， ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 252 4. 设，，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，若恒成立，则实数最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下面命题中是假命题的有（ ） A. 中，若，则 B. 若，则是第一象限角或第二象限角 C. 若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D. 函数的最小值为 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有3项 11. 已知等差数列首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则) 13. 正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 14. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分， 解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为．已知． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. （1）求第二天获得优惠金额的数学期望； （2）记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于x不等式恒成立，求实数a的取值范围． 18. 如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点为线段的中点时，求证：； （2）当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围． 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． （1）求双曲线方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $