2025年中考数学总复习压轴题训练- 一次函数与二次函数的综合应用

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 - 一次函数与二次函数的综合应用 1、 解答题： 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． 求这个二次函数的解析式； 是否存在点P，使是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； 动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． 2.如图，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C、D两点．连接BD、 求m的值．抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标． 3.如图，抛物线与直线交于点， 求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴；连接OA，OB，求的面积； 若P为直线AB上方抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 4.如图，已知正比例函数的图象与抛物线相交于点 求a与b的值; 若点在函数的图象上，抛物线的顶点是C，求的面积; 若点P是x轴上一个动点，求当最小时点P的坐标. 5. 如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 分别求抛物线和直线的解析式； 请根据图象直接写出时x的取值范围； 将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式. 6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左边，与y轴交于点为抛物线上一动点，直线PO与抛物线交于另一点D，过点D作y轴的平行线与直线PC交于点试判断点Q是否在一条固定的直线上运动？若是，请求出直线的解析式；若不是，请说明理由． 7.如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左边，与y轴交于点C，平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标． 8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为 ，与y轴交于点，交x轴于另一点 求二次函数解析式； 若点P是直线 BC 下方抛物线上的一个动点不与点B，点C重合，过点P作直线 PD 垂直x轴于点D，交直线 BC 于点当 PE 最大时，求P点坐标及 PE 的最大值； 当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求出m的值． 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴交于A、C两点，经过两点的抛物线与x轴的另一交点B的坐标为，连接 填空：          ，          ，          ： 若点Q在直线AC下方的抛物线上一动点，当CA恰好平分时，求点Q横坐标． 10.已知抛物线与y轴交于点B，点，点P是第一象限内抛物线上的一点，使得线段OP与直线AB的夹角为，求点P的坐标． 11.如图，抛物线交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点C，P为第一象限内抛物线上的一点，若，求点P的坐标． 12.如图，，是反比例函数图象上的两点． 比较与的大小关系； 若A，B两点在一次函数第一象限的图象上，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，且，求a的值； 在的条件下，如果，，求使得的x的取值范围． 13.如图直线与坐标轴交于点、B，抛物线过点A， 求点B的坐标； 求抛物线的解析式； 为x轴上一动点，且在线段OA上运动，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，求线段PN的最大值. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． 求抛物线的解析式； 如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求的面积的最大值； 如图②所示，在对称轴AC的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15.如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点直线经过B，C两点. 求抛物线及直线BC的函数表达式； 点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值； 连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 16.如图抛物线经过点，点，且 求抛物线的解析式及其对称轴； 点D、E是在直线上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 - 一次函数与二次函数的综合应用 参考答案 1.【答案】解：设抛物线解析式为，把A、B、C三点坐标代入可得， ，解得，抛物线解析式为； 存在满足条件的P点， 如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P， ，此时P点即为满足条件的点.，，点的纵坐标为， 代入抛物线解析式可得， 解得：小于0，舍去，，因此， 存在满足条件的P点，其坐标为； 点P在抛物线上，可设，如图2，过P作轴于点E，交直线BC于点F， ，，设直线BC的解析式为，则，解得， 直线BC的解析式为，， ， ，当时，有最大值，最大值为8，此时， 当P点坐标为时，的最大面积为  2.【答案】解：抛物线过，，； 由，得，，， ，，，， 当时，，方程无实数根；当时，，，， 或  3.【答案】【小题1】由题意，得将代入，得，解得抛物线对应的函数解析式为，顶点坐标为，对称轴为y轴 【小题2】令，解得，点A的坐标为，点B的横坐标为当时，，点B的坐标为易得 【小题3】过点O作，交抛物线于点P，此时易知直线OP对应的函数解析式为联立解得点O的坐标为，点P的坐标为 4.【答案】解：把点的坐标代入中，得，把点的坐标代入中，得 把点的坐标代入中，得，抛物线的顶点C的坐标是，，  设点C关于x轴的对称点为，则的坐标为，连接交x轴于点P，此时最小，设直线的解析式是，把，的坐标代入，得解得 ，当时， 点P的坐标是 5.【答案】解：把，代入， 得解得则所求抛物线的解析式是 把，代入，得解得则直线AB的解析式是 由题图可知当时，或 由及已知可设平移后所得抛物线的解析式为，， ，，结合题意得，C点的坐标为，将其代入， 得，解得，平移后所得抛物线的解析式为  6.【答案】解：设点，，直线CP：， 由，，得直线OP：， 联立得，， 令，，则，即点Q在直线上运动． 7.【答案】解：由可得，，直线BC：， ，可设直线MN：设点，， 由待定系数法可得，直线MC：，NB：， 联立可得，联立得， ，，，即点P的横坐标为 8.【答案】解：将点  代入  得： ，解得：  ，  二次函数解析式是：  ． 解：  ，解得：  ， 点B的坐标是  ． 设直线BC的解析式为：  ， 将点  代入  得： ，解得：     设点  ，则点  ，  ．当  时， PE 最大，最大值是  ，  ，  P点坐标是  ， PE 最大值是  ． 解：当  时，  ，当  时，  ， 当  时，即  ，此时  ， ， 解得：  ； 当  时，此时  ， ， 解得：  ， 当  时，此时  ， 解得：  舍或  舍； 当  时，此时  ， ， 解得：  舍或  舍， 综上所述：  或  ． 9.【答案】【小题1】 1 2 【小题2】解：如图， 作轴，与CQ的延长线于D，，，，， ，，， ，平分，，， ，，， 设直线CD的关系式为：，，，，由， ，，点的横坐标为： 10.【答案】解：过点A作射线，过点B作，交AQ于点C，过点C作轴于点 设OP交AB于点K，则，又，， 由，可证得≌，又知，，，， ，可求得AC的解析式为，由知OP的解析式为， 联立，解得，， 又P在第一象限内， 11.【答案】解：可知，过点C作， 交x轴于点Q，则，又，， 设，则，由，得，解得， ，可求得CQ的解析式为， 设BP的解析式为，又在BP上，，，的解析式为， 由，解得舍或， 12.【答案】解：，B是反比例函数图象上的两点， ，当时，A，B在第一象限，由可知，；同理，时，； ，在反比例函数的图象上，，， 又点，在一次函数的图象上， ，，，，， 又，，， ，，； 由得，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，A，B两点的横坐标分别为2，4，且，，从图象可以看出：当时，或 13.【答案】解：与x轴交于点， 与y轴交于点B， ，解得， 直线AB的解析式为， ，  抛物线经过点A，B， ，解得，  抛物线解析式为； 设，，， 当时，PN的最大值为 14.【答案】解：抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析式为， 将代入可得，； 连接PO， 由题意，，，设，， ，， ，， 当时，的最大值为； 存在，设点D的坐标为， 过D作对称轴的垂线，垂足为G， 则，，，， 在中，，， 或舍，，， 连接AD，在中，，，，， 以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，， 设，AQ为圆A的半径，则，，， 或，综上所述：Q点坐标为或  15.【答案】解：由点A的坐标知，， ，故点C的坐标为， 将点、、代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 将点、代入一次函数表达式得：，解得， 故直线BC的表达式为； 点A、B关于抛物线的对称轴对称， 如图，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，的值最小， 理由：由函数的对称性知，，则为最小， 由知，抛物线的对称轴为直线，故点F的横坐标为1，当时，，故点， 由点B、C的坐标知，，则，即点F的坐标为、的最小值为； 存在，理由如下：设点P的坐标为、点Q的坐标为， ①当点Q在点P的左侧时， 如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，则，，，， 由题意得：，，， ，又， ∽， ，，，， 解得，点P是抛物线上对称轴右侧一点，， 故，当时，， 故点P的坐标为； ②当点Q在点P的右侧时， 分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，、， 同理可得：∽， ，，即， 解得， 点P是抛物线上对称轴右侧一点，，故， 当时，，故点P的坐标为， 点P的坐标为或  16.【答案】解：，点 点，则抛物线的表达式为：， 故，解得：，故抛物线的表达式为：…①；其对称轴为 四边形ACDE的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小，取点C关于直线对称点，则， 取点，则，故：，则当、D、三点共线时，最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值； 如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又：：：AE，则BE：：5或5：3， 则或，即：点E的坐标为或，将点E的坐标代入直线CP的表达式：， 解得：或，故直线CP的表达式为：或…② 联立①②并解得：或不合题意值已舍去，故点P的坐标为或  第32页 学科网（北京）股份有限公司 $$