16.3二次根式的加减 知识点分类解答专项练习题 2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》 知识点分类解答专项练习题（附答案） 一、可以合并的二次根式 1．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 2．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 3．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 4．把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 二、比较二次根式的大小 5．比较大小： (1)与； (2)与． 6．先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 7．如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 8．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 三、二次根式的加减运算 9．计算：． 10．计算： (1)； (2)． 11．计算题 (1) (2) (3) 12．已知，求代数式的值． 13．先化简，再求值：，其中． 14．（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 15．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 16．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 四、二次根式的应用 17．如图，这是一块面积为平方米的长方形空地，已知该空地的长与宽的比为，现要在空地的四角修建面积均为5平方米的正方形水池，阴影部分为游乐园，求游乐园的面积． 18．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 19．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 五、二次根式的分母有理化 20．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小： ______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 21．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 22．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 23．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 24．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 参考答案： 1．解：∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 2．解：由题意，得， 解得． 当时，， ， ， ， 原式 ． 3．解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 4．解：（1），且与的被开方数相同， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 符合条件的正整数的值为5，15，21． （2）由（1），得当时，； 当时，； …… 如果是整数，那么符合条件的有无数个． 其中的最大值为21，没有最小值． 5．（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 6．解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 7．解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 长方形乙的面积为：； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 8．（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．解： ． 10．解：（1） ； （2） ． 11．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．解：∵， ∴， ∴ ． 13．解：， ， 当时， 原式， ， 14．解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 16．（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 17．解：设长方形空地的长为米，宽为米， ∴，即， 解得， 长为米，宽为米． 每个小正方形的面积为5平方米， 每个小正方形的边长为米， 游乐园的长为（米），宽为（米）， 游乐园的面积为（平方米）． 答：游乐园的面积为40平方米． 18．（1）解：正方形的边长为，， 剪掉小正方形的边长为， 所以，长方体盒子的底面边长为． （2）长方体盒子的体积为． 19．（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 20．（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 21．（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 22．解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 23．（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 24．（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 学科网（北京）股份有限公司 $$