专题05 代数方程75道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题05 代数方程75道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 整式方程的压轴问题 题型二 分式方程的含参问题 题型三 分式方程的无解与增根问题 题型四 二元二次方程压轴题型 题型五 列方程（组）解应用压轴题型 题型六 无理方程的阅读材料问题 题型七 分式方程的的实际综合应用 题型八 代数方程的新定义问题 【经典例题一 整式方程的压轴问题】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程? （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）是关于x的整式方程，是一元二次方程； （2）是关于x的整式方程，是一元三次方程； （3）是关于x的整式方程，是一元一次方程； （4）不是关于x的整式方程； （5）不是关于x的整式方程； （6）是关于x的整式方程，是一元四次方程. 【分析】根据整式方程的定义解答即可.方程左右两边都是含有求知数的整式的方程叫整式方程. 【详解】解：（1）方程 左右两边都是含有求知数x的整式，所以是关于x的整式方程，是一元二次方程； （2） 左右两边都是含有求知数x的整式，所以是关于x的整式方程，是一元三次方程； （3） 左右两边都是含有求知数x的整式，所以是关于x的整式方程，是一元一次方程； （4） 左边是含有求知数x的分式，所以不是关于x的整式方程； （5） 左边是含有求知数x的分式，所以不是关于x的整式方程； （6）左右两边都是含有求知数x的整式，所以是关于x的整式方程，是一元四次方程； 【点睛】本题考查了整式方程的定义，掌握定义是关键. 2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在直线上，求k的值，并求出二元一次方程组的解． 【答案】， 【分析】根据题意得二元一次方程，和有公共解，联立方程组求解即可． 【详解】解：由题意，二元一次方程，和有公共解，联立方程组： ， 解得． 将，代入，得 ．   ∴二元一次方程组的解为 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点P（x，y）在第四象限内，且x、y满足，求： (1)关于x、y的方程组的解； (2)k的取值范围． 【答案】(1) (2)＜k＜ 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到P(，)，然后根据第四象限点的坐标特征得到关于k的不等式组，再解不等式组即可得到k的范围． 【详解】（1）解：， ②﹣①得3y+y＝2k﹣1， 解得y＝， 把y＝代入①得x﹣＝k， 解得x＝， 方程组的解为； （2）解：根据题意得P(，)， P点在第四象限， ＞0且＜0， 解得＜k＜． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了解一元一次不等式组． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）计算 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，请从中选择一个合适的整数代入求值． (3)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1) (2)； (3)①；②或；③或 【分析】该题主要考查了因式分解，解一元二次方程，解分式方程，分式化简求值等知识点，解题的关键是掌握以上解答法则； （1）根据提公因式和完全平方公式求解即可； （2）先根据分式混合运算法则化简，再取值代入即可求解； （3）①根据分式方程求解法则计算即可； ②根据因式分解法求解即可； ③化简后根据因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， 取，则原式． （3）解：① 去分母得：， 整理得：， 解得：； ② 因式分解得：， 即可得或， 解得或； ③ 移项得， 因式分解得：， 即可得或， 解得或． 5．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)若方程的两根都为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式列方程解答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． （2）关于的一元二次方程的两根都为负数， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识点是解本题的关键． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知关于x的方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两根分别为，（），若，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，化简分式整体代入解题． 【详解】（1）根据题意可得，， ∴； （2）由根与系数的关系可得，，， ∴， 解得，或， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题时注意字母系数的取值范围． 7．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，2，． (1)的长为______，的长为______．（用含x的代数式表示） (2)若，，的长满足，求x的值． 【答案】(1)；x； (2)． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解一元二次方程， 对于（1），根据用右边的数减去左边的数表示线段长即可； 对于（2），先表示出，再代入数值计算． 【详解】（1）. 故答案为：； （2）根据题意可知， ∵， ∴， 即， 解得（舍）， 所以． 8．（23-24八年级下·上海静安·期中）定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．如的解为，且，则方程是差解方程. （1）方程是否差解方程？请说明理由； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值. 【答案】（1）是差解方程  理由见解析；（2）. 【分析】（1）根据“差解方程”的定义判断即可； （2）根据“差解方程”的定义列出关于m的方程求解即可. 【详解】解：（1） ， ， ∵ ， ∴是差解方程； （2） ， ∵是差解方程 ， ∴ ， ∴， ， ∴ . 【点睛】本题考查了新定义运算及一元一次方程的解法，正确理解“差解方程”的定义是解答本题的关键. 9．（23-24八年级下·上海虹口·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是林林同学的解题过程：解方程=1． 解：方程两边同时乘以6，得：×6=1×6…………第①步 去分母，得：2（2x+1）-x+2=6………………第②步 去括号，得：4x+2-x+2=6…………………第③步 移项，得：4x-x=6-2-2…………………第④步 合并同类项，得：3x=2…………………………第⑤步 系数化1，得：x=…………………………第⑥步 上述林林的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 请你帮林林改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】②，去括号没变号；x=2． 【分析】找出林林错误的步骤，分析原因，写出正确的解题过程即可． 【详解】上述林林解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去括号没变号； 故答案为②；去括号没变号； 正确解题过程为： 去分母得：2（2x+1）-（x+2）=6， 去括号得：4x+2-x-2=6， 移项合并得：3x=6， 解得：x=2． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 （2）解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 （3）直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【经典例题二 分式方程的含参问题】 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 12．（2024·上海·模拟预测）对于代数式和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程． 【答案】能，x=7. 【分析】根据题意使代数式和相等，即=，解出分式方程即可，注意最后要检验． 【详解】解：令=， 两边同乘， 得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得 检验：当时，≠0， ∴方程的解为． ∴当时，代数式和的值相等． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，能准确解出分式方程并检验是做出本题的关键． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，求符合条件的所有k值的和． 【答案】70 【分析】先解出分式方程，得到，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解． 【详解】解： 解得：， ， ， 解得：， 为整数， 为 又∵分式方程中且， 且， 所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个， ∴符合条件的k值的和为： ． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 14．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称． （1）当m＝2时，求x的值； （2）若不存在满足条件的x值，求m的值． 【答案】（1）x＝10；（2）m＝﹣1． 【分析】（1）根据“A，B两点关于原点对”可得+＝0，再把m＝2代入得到关于 的分式方程，解出即可； （2）根据“不存在满足条件的x值，”可得 ，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：+＝0， 把m＝2代入得： ， 去分母得：2﹣（x﹣8）＝0， 解得：x＝10； （2）+＝0， 去分母得：m﹣（x﹣8）＝0， ∵已知不存在满足条件x的值， ∴该方程无解， ∴ ，得到x＝7， 把x＝7代入m﹣（x﹣8）＝0得：m﹣（7﹣8）＝0， 解得：m＝﹣1． 【点睛】 本题主要考查了数轴，解分式方程和分式方程的增根问题，理解数轴上A，B两点关于原点对称的含义，得到方程是解题的关键． 15．（24-25八年级下·上海金山·期末）已知三角形的三边分别为a，b，c； (1)化简：； (2)已知，， 当c取最大整数时，求三角形的周长； 关于x的分式方程的解是非负数，求符合条件的所有整数c的和． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到，化简绝对值后进行整式的加减法即可； （2）①根据三角形三边关系得到，由c取最大整数得到，即可求出三角形的周长； ②解分式方程得到，由解是非负数．且得到且．结合三角形三边关系得到且．则符合条件的所有整数c为：4或5或6．即可求出答案． 【详解】（1）解：∵三角形的三边分别为a，b，c； ∴， ∴ ； （2）解：①∵，， ∴，即， ∵c取最大整数， ∴， ∴三角形的周长为； ②∵， 解得， ∵解是非负数．且． ∴，且． ∴且． ∵， ∴且． ∴符合条件的所有整数c为：4或5或6． 则； ∴符合条件的所有整数c的和为． 【点睛】此题考查了分式方程的特殊解、三角形的三边关系、整式的加减、绝对值等知识，熟练掌握三角形的三边关系和解分式方程是解题的关键． 16．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）观察下列方程及其解的特征： ①x+＝2的解为； ②的解为，； ③的解为，；…… 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为___________； (2)请猜想：关于x的方程x+＝___________的解为，，（a≠0）； (3)利用猜测结论解决问题：若关于x的方程的解为，，（m≠0）．且关于y的一元二次方程有实数根，求m值． 【答案】(1) (2) (3)-8 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果； （2）仿照阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果； （3）根据得到的规律求出m＝8或﹣8，再根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，即可确定m的值． 【详解】（1）解：方程， 即方程的解是，. 故答案为：，； （2）解：∵关于x的方程的解为，（a≠0）； ∴方程为x+＝＋＝； 故答案为： （3）解：∵关于x的方程的解为，，（m≠0）， ∴， ∴解得m＝8或﹣8， ∵关于y的一元二次方程有实数根， ∴， 解得m≤1， ∴m＝﹣8， 即m值为﹣8． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，一元二次方程的解以及根的判别式，理解阅读材料中的方程解的规律是解题的关键． 17．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 18．（24-25八年级下·上海静安·期中）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 【答案】(1)，； (2)；7 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （）类比题目中“完美分式方程”的答题方法即可求解． （）结合运用“完美分式方程”得到，，将变形，整体代入即可求解； 先求出q的范围，再将原式变形为，结合运用“完美分式方程”，代入即可求解． 【详解】（1）解： 可化为， ∴，， 故答案为：，； （2）由已知得，， ∵，， ∴； 解：由已知得完美分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴当， ∴， 当时，的值最小， ∴最小值为； 当时， ∴， 则当时，最小值为， ∵此时， 则，符合题意； 综上所述最小值为7． 19．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 20．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． (2)若时，求式子的最值，并说明此时的值． (3)时，式子成立吗？说明理由． 【答案】(1)当时，函数有最小值，且最小值为 (2)的最小值为；此时 (3)不成立；理由见解析 【分析】本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题． （1）仿照材料中的例子求解即可； （2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）仿照材料中的例子求出时，有最小值2，根据，不能取到最小值2，得出时，，原等式不成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当， 解得：，负值舍去， 经检验：是方程的解， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为， 解方程得：，（舍去）， 经检验是方程的解， ∴当时，的最小值为； （3）解：式子不成立．理由： ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，且最小值为2， ∵， ∴不等式不能取等号， 即不等式不成立． 【经典例题三 分式方程的无解与增根问题】 21．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先解分式方程可得，根据方程无解，可知，最后把的值代入求解即可． 【详解】解：， ， 关于的方程无解， ， ， 解得． 22．（2024八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 【答案】3 【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴说明0或﹣1可能是方程的增根， 去分母得：（x+1）2+x2＝x+t， 代入x＝0，有t＝1； 代入x＝﹣1，有t＝2． 故所有可能的t之和为3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 23．（23-24八年级下·上海闵行·单元测试）若关于的方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键. 去分母后，根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解. 【详解】解： 等式两边同乘，得 ， 整理得：， 当时，该一元一次方程无解， 此时， 当，则， ，即， 当时，则原分式方程无解， 解得或． 综上所述，或或时，关于的方程无解． 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知不等式组解集为，且关于x的方程无解．若符合条件的有一个，令；若符合条件的有一个以上，令为所有符合条件的的和．请把因式分解． 【答案】 【分析】先确定不等式组的解集，根据解集，建立方程组确定a，b得值，把得值代入分式方程，根据分式方程无解确定m的值，后代入分解因式即可． 【详解】解：由，解不等式①得：；解不等式②得： ∴不等式组的解集为； ∵不等式组解集为， ∴，； 解得：， 把代入方程得， 去分母得：， 整理，得， ∵关于x的方程无解， 故原方程有增根或整理的整式方程无解， 当原方程有增根时，根据题意增根为的解， 解得， 把代入得， 解得； 当整理的整式方程无解时，无解， 故， 解得； ∴符合条件的有一个以上，∴， ∴． 【点睛】本题考查了解不等式组，分式方程的无解型问题，公式法分解因式，一元一次方程无解的条件，熟练掌握分式方程的无解型问题，公式法分解因式，一元一次方程无解的条件是解题的关键． 25．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 26．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5 (2)m的值为或或1.5 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 27．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)关于x的分式方程． ①若方程的增根为，求m的值； ②若方程有增根，求m的值； ③若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)无解 (3)①；②或；③或或 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）①将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得值即可；②若原分式方程有增根，则，解得的值，再分别代入（1）中的，即可解得值；③分原分式方程有增根时和无解两种情况求得值即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； （2）去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． （3）①去分母，得：， ∴， 当方程的增根为时，，所以； ②若原分式方程有增根，则， 或， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以的值为或9时，方程有增根； ③当方程无解时，即当时，无解，所以； 当方程有增根时，原方程也无解，即或时，方程无解， 所以，当或或时方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键． 28．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 29．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”．满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”．如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程．此时对应的“股雅值”为． (1)请说明：是一元勾股方程； (2)若方程（）为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”； (3)关于x的方程（）为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解． 【答案】(1)说明见解析 (2) (3) 【分析】（1）仿照列题，方程，可写成，即可求解； （2）根据方程，方程的解为，①，根据勾股定理得出，进而求得的值，求得面积即可求解； （3）根据对应的“股雅值”为，得出，根据分式方程无解分类讨论，进而得出①当时，②当时，根据完全平方公式变形求值，进而即可求解． 【详解】（1）解：方程，可写成， ∵， ∴是一元勾股方程． （2）∵，方程的解为 ∴， ∴，① ∵ ∴为斜边 ∴ ∴② 将①代入②得：③ 由①③可得，， ∴“股雅值”为 （3）∵ ∴为斜边 ∴ ∵对应的“股雅值”为 ∴ ∴ 解方程 可得 ∵方程无解 ∴①， ②当时，， ③当时，，（舍） ①当时， ∴ ∴ ②当时， ∴（舍） ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 30．（23-24八年级下·上海青浦·期末）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　 　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围． 【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=． 【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义； （1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可． 【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件； （1）解关于x的分式方程得，x=， ∵方程有解，且解为负数， ∴， 解得：m＜且m≠-； （2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2， 由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3， 代入整式方程得：n=； 当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1， 综上，n=1或n=． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【经典例题四 二元二次方程压轴题型】 31．（23-24八年级下·上海虹口·期末）解方程及方程组 (1)解方程：； (2)解方程组：； (3)若，解方程组：； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查解分式方程、解二元一次方程组、因式分解，熟练掌握分式方程的解法、二元一次方程组的解法、因式分解的概念是解答本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，再进行检验即可． （2）先将方程组化简为：，再利用加减消元法求解即可． （3）根据题意可得，则，进而可得方程组为①，②，③，④，利用加减消元法分别求解即可． （4）令，则可变形为． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解： 方程组化简为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． （3）解： ， ， ， ， 即， ， ∴①，②，③，④， 解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：， ∵， ∴方程组的解为或． （4）解： 令， 则 ． 32．（23-24八年级·全国·单元测试）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式. 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求出m、n的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可. 【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴，解得或， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴，∴， ∴函数解析式为：. 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键. 33．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）若二元二次方程组有两个不同的实数解和，其中． (1)求证：； (2)求k与m的等量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系． 将二元二次方程组的解代入一次函数，结合已知的代数式即可证得； 将二元二次方程组消去y，利用根与系数的关系得到和，结合第x的关系求得和，化简即可求得． 【详解】（1）证明：根据题意知点和点在直线上，则 ∵， ∴，化简得， ∵， ∴； （2）根据，化简为，则，， ∵， ∴，， 则，化简得． 34．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息： （1）乙单位捐款数比甲单位多一倍； （2）乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少元； （3）甲单位的人数是乙单位的． 你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？ 【答案】这两个单位总的平均每人捐款数为元 【分析】设甲单位平均每人捐款元，则乙单位平均每人捐款元，甲单位有y人，乙单位有人，根据乙单位捐款数比甲单位多一倍，得出，求出，得出甲单位平均每人的捐款元，乙单位平均每人的捐款元，最后算出结果即可． 【详解】解：设甲单位平均每人的捐款元，则乙单位平均每人的捐款元，甲单位有y人，乙单位有人， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得，， 甲单位平均每人的捐款元，乙单位平均每人的捐款元， 这两个单位总的平均每人捐款数（元）， 答：这两个单位总的平均每人捐款数为元． 【点睛】本题主要考查了平均数的计算，方程的应用，解题的关键是根据题意求出甲单位平均每人捐款元，乙单位平均每人捐款元． 35．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）小王在书店和网上共买了25套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜10元，已知网上购书共花了1350元，比书店购书多花了350元，小王在书店和网上各买了多少套书？ (1)购书费用问题的数量关系是：总费用=（    ）×（    ）； (2)设小王在书店购买了套书，书店每套书的售价是元．完成下列表格： 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 网上 (3)根据题意，可列方程组：__________． 【答案】(1)数量；单价 (2)1000，1350，， (3) 【分析】（1）购书费用问题的数量关系是：总费用=数量单价，据此填空即可； （2）根据题意可知在书店购书花费1000元，在网上购书（）套，单价为（）元，填表即可； （3）根据“总费用=数量单价”可列出方程组． 【详解】（1）购书费用问题的数量关系是：总费用=数量单价 故答案为：数量；单价 （2）填表如下： 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 1000 网上 1350 （3）根据题意，可列方程组： 故答案为： 【点睛】本题考查列二元二次方程组的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程组． 36．（23-24八年级下·上海杨浦·开学考试）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下的未改装车辆每天燃料费用的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆的每天的燃料费用的，问： (1)公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ (2)若公司一次性将全部100辆出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回改装费的成本？ 【答案】(1)40辆，下降了40% (2)125天 【分析】（1）根据题意可得等量关系：剩下未改装车辆每天的燃料费=未改装车辆的数量，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分比（改装后的每辆车平均每天的燃料费）； （2）根据（1）可得到出租车的总量和改装前后每天燃料费下降的百分点，可知一次性改装全部出租车可以从节省的燃料费中收回成本需要的天数，根据这个等量关系可列方程． 【详解】（1）解：设公司第一次改装了y辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x. 依题意得方程组： 解得：， （辆）． 答：公司共改装了辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了． （2）解：设一次性改装后，m天可以收回成本，则：， 解得：． 答：天后就可以从节省的燃料费中收回成本． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是要弄清题意，根据题目给出的已知条件找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，注意题目要求的是下降了多少百分点，要把计算出的数据转化为百分数． 37．（23-24八年级下·江苏南京·期中）解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解． (1)请按要求填写下表． 原方程 ①转化 设，则 ②求解 ③检验 ，2都是原方程的解 … ④结论 (2)解方程组： 【答案】(1)；2或； (2)， 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用完全平方公式将第一个方程变形为，则，分别与第二个方程结合，再利用根与系数得关系解方程即可． 【详解】（1）， 设，则方程变形为， ∴， 解得或， ∴或（无解）， 解得， 故答案为：；2或；； （2）， 由第一个方程得，， ∴， ①当时， ∵， ∴x、y是一元二次方程得两个根， 解得或， ∴； ②当时， ∵， ∴x、y是一元二次方程得两个根， 解得或， ∴， 综上所述，这个方程组得解为，． 【点睛】本题考查了转化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程组的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法是解决本题的关键． 38．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）先阅读后解题． 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0． 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0． 所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3． 利用以上解法，解下列问题： （1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值． （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣1；（2）c＝4或6． 【分析】（1）先把方程左边拆项分组得，（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，利用公式因式分解得（x﹣2）2+（y+1）2＝0，让后利用偶次方的非负性质转化为x﹣2＝0，y+1＝0，解方程即可； （2）先把方程移项后拆项分组得（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，利用公式因式分解得（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，让后利用偶次方的非负性质转化为a﹣6＝0，b﹣4＝0，解方程，再根据等腰三角形定义即可求解 【详解】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1； （2）a2+b2＝12a+8b﹣52， （a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0， （a﹣6）2+（b﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣6＝0，b﹣4＝0， ∴a＝6，b＝4， ∵△ABC为等腰三角形， ∴c＝4或6． 【点睛】本题考查阅读理解，利用非负数性质解二元二次方程，掌握拆项分组，利用公式化为两个完全平方式的和为0的形式，非负的性质使每个因式为0是解题关键． 39．（23-24八年级下·上海静安·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)②；① (2)； (3)存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对” 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二元一次方程组，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键． （1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可； （2）根据定义建立方程，再求解x即可； （3）根据新定义可得，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴是“差积等数对”； ∵ ∴， ∴是“和积等数对”； ∵ ∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”； 故答案为：②；①； （2）解：∵数对是“差积等数对”， ∴， 解得：； （3）解：存在， ∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”， ∴， 由①解得：， ∴． 即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”． 40．（23-24八年级下·上海金山·期末）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）； （2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元） 【答案】（1）；（2）甲品牌的小电器单价为200元，乙品牌的小电器单价为180元 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式； （2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m-20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设关于的函数解析式为． 将，代入得： ， 解得：， 关于的函数解析式为； （2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元， 依题意得：， 解得：，． 小电器的单价大于100元， ， （元）， 答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元． 【点睛】本题考查了方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出方程组． 【经典例题五 列方程（组）解应用压轴题型】 41．（24-25八年级下·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 【答案】实际每天修建144米 【分析】设原计划每天修路x米，实际每天修路米，根据题意可得等量关系：原计划修米所用的天数实际修米所用的天数天，根据等量关系，列出方程即可． 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意不要忘记检验． 【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为 解得： 经检验为原方程的根 实际每天修建：米 答：实际每天修建144米 42．（24-25八年级下·天津河西·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是天 (2)该工程施工需要天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用， 设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，根据由甲、乙两队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天，列出分式方程，解方程即可； 设该工程施工需要天，根据该工程由甲、乙两队合作共同完成，列出一元一次方程，解方程即可. 找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成， 根据题意得：, 解得：, 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）解：由可知，, 设该工程施工需要天， 由题意得：, 解得：, 答：该工程施工需要天. 43．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 【答案】(1)附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件 (2)最多可以购买25个附中熊 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）设购买m件附中熊，则购买件博才牛，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件， 根据题意得：， 解得 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件； （2）解：设购买m件附中熊，则购买件博才牛，根据题意得： ， 解得， 答：最多可以购买25个附中熊． 44．（23-24八年级下·上海青浦·期中）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区驻村干部组织村民依托电商平台组建了土特产专卖店，专门将从本地各家各户进货的甲、乙两种商品销售到全国各地．2021年3月份，该专卖店购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格2倍少20元，用900元购进甲种商品的数量与用1200元购进乙种商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若专卖店购进甲、乙两种商品共100个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲m个，总成本是y元，求y与m的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本． 【答案】(1)每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元； (2)，成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系． （1）设每个甲种商品的进价为x元，根据题意列出方程，解之即可； （2）根据题意列出表达式，求出m的范围，根据一次函数的性质得到当时满足条件． 【详解】（1）解：设每个甲种商品的进价为x元， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元； （2）解：∵购进甲m个，则购进乙个， 则， ∴， 则， ∵， ∴当时，y最小， 即成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元． 45．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或，时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或，时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 46．（24-25八年级下·上海闵行·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． (1)今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【答案】(1)1600 (2)30 【分析】本题考查一次函数的应用，列分式方程解应用题，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． （1）设今年A款车的每辆售价x元，则去年每辆售价为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （2）设今年新进型车辆，则B型车辆，获利不少于33000元，由条件表示出33000与之间的关系式，进而得出答案． 【详解】（1）解：设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价元，由题意得： ， 解得， 经检验符合题意且是所列方程的根． 答：今年A型车每辆售价为1600元． （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆，依题意可得 ， 解得． 型车至多购进30辆． 47．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．） 【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人 (2)购买方案有两种：一种是A物资买8箱，B物资买10箱，另一种是A物资买4箱，B物资买15箱． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，再结合且，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司又人，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司有100人，乙公司有120人． （2）解：设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数， 根据题意得： ， ， ， ①当时，符合题意； ②当时，符合题意； ③当时，不符合题意， 综上所述，购买方案有两种：一种是物资买8箱，物资买10箱，另一种是物资买4箱，物资买15箱． 48．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)，，“丰收号” (2) 【分析】（）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解； 本题考查了分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收号”小麦试验田的单位面积产量为 ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴单位面积产量高的是“丰收号”， 故答案为：，，“丰收号”； （2）解：由题意可得， ， 方程两边同乘得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的边长为． 49．（24-25八年级下·上海嘉定·期中） 近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升．下图中 分别是某汽车品牌制造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用y(单位：元)与行驶路程x(单位：百千米)的关系．已知燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5 元．请你根据信息计算纯电动汽车每百千米耗电费用是多少元． 【答案】纯电动汽车每百千米耗电费用是14元 【分析】本题考查了函数图象，分式方程的应用．熟练掌握函数图象，分式方程的应用是解题的关键． 设纯电动汽车每百千米耗电费用是x元，则燃油车每百千米所需费用为元，根据燃油汽车所需费用135元时与燃气汽车所需费用25.2元时的路程相等，列分式方程即可． 【详解】解：设纯电动汽车每百千米耗电费用是x元，则燃油车每百千米所需费用为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：纯电动汽车每百千米耗电费用是14元． 50．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 【答案】(1)5分钟 (2)， 【分析】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，解可化成一元二次方程的分式方程． （1）设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，根据小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出与之间的函数解析式，再把代入解析式从而求出点坐标． 【详解】（1）解：设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的根， 小明的速度为250米/分钟，小杰的速度为300米/分钟， （分钟）， 到达假山处时，小杰用了5分钟； （2）解：设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系， 当时，， 点的坐标为，与之间的函数解析式为， 故答案为：，． 【经典例题六 无理方程的阅读材料问题】 51．（23-24八年级下·上海徐汇·单元测试）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程： 【提示】可以用“换元法”解方程． 【答案】见解析；，是原方程的根． 【分析】设，则原方程可变形为：，利用因式分解法解一元二次方程，然后根据二次根式的非负性可得，再利用配方法解方程，最后注意方程的根要进行检验． 【详解】解：设， ∴原方程可变形为：， ， ， ， ∴，即， ∵， ∴， 则有，配方，得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的根． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 52．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程两边平方，得，解得，．经检验，不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据平方，可得整式方程，解整式方程并检验可得答案； （2）根据平方，可得整式方程，解整式方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：两边平方，得， ， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， 故原方程的解为：，； （2）两边平方，得， 解得，， 经检验，不是原方程的解，为原方程的解， 故原方程的解为：． 【点睛】本题考查了解无理方程以及一元二次方程，熟练掌握转化的思想是解题的关键． 53．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 【答案】（1）二；（2）见解析 【分析】（1）移项后两边平方即可； （2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错， 故答案为：二； （2）， 移项，得， 两边平方，得（3-x）2=2x-3， 整理得：x2-8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， 经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解， 所以原方程的解是x=2． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 54．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的运算及解无理方程，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键． （1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可； （2）进行分母有理化，再计算即可； （3）先将原方程两边平方，再解方程，最后再验根即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：方程两边平方，得， 解得． 经检验，不是原方程的根， 原方程的根是． 55．（2024·上海闵行·一模）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：， 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离. 例如：=． 所以可将代数式的值看作点到点的距离． 利用材料一，解关于x的方程：，其中； 利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围； 将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）①，；②. 【分析】根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决． 中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式 中也根据材料二的内容来解答求出x的值． 【详解】根据材料一； , ， ， , , 解得：, ； 解：由材料二知： ， ， 可将的值看作点到点的距离 的值看作点到点的距离， ∴ ， 当代数式取最小值， 即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间， 的最小值 =， 且， 设过，，的直线解析式为： ， 解得：， ； 中， ， (ⅰ), 又 (ⅱ) 由(ⅰ)得：， 解得：舍， ， 的值为. 【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键. 【经典例题七 分式方程的的实际综合应用】 56．（2024·江苏南京·模拟预测）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【答案】元；元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元， 依题意得：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每个型扫地机器人的进价为元，每个型扫地机器人的进价为元． 57．（23-24八年级下·上海青浦·课后作业）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格． 【答案】4.77元/升 【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，等量关系为：原来150元能添的数量-现在150元能添的数量=18.75． 【详解】设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为元/升．根据题意，得: ， 整理，得18.75x=90， 解这个方程，得x4.77 经检验，x=4.77为原方程的根． 答：今年5月份的汽油价格为4.77元/升． 【点睛】考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 58．（24-25八年级下·上海闵行·期中）某地修筑水渠，某工程队出色地完成了任务．这是记者与工程队总指挥的一段对话： ——你们是用9天完成4800米长的水渠任务的？ ——是的，我们修筑600米后，采用新的修筑模式，这样每天修筑长度是原来的2倍． 求工程队原来每天修筑水渠多少米？ 【答案】工程队原来每天修筑水渠300米 【分析】本题主要考查了分式的应用， 先设原来每天修筑x米，可表示采用新的修筑模式每天修筑米，进而得出原来修筑600米需要的天数，及采用新的修筑模式修筑米需要的天数，再根据天数的和为9得出方程，然后求出解，检验即可． 【详解】解：设原来每天修筑米，根据题意得， ，     解得；，     经检验：是原方程的根．     答：工程队原来每天修筑水渠300米． 59．（24-25八年级下·上海虹口·期中）猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】(1)第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克 (2)第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用； （1）等量关系式：红心猕猴桃的销售额黄心猕猴桃的销售额元，红心猕猴桃的销量黄心猕猴桃的销量千克，据此列方程组，即可求解； （2）等量关系式：1600元购买的红心猕猴桃的数量元购买的黄心猕猴桃的数量，据此列出分式方程，即可求解． 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克，由题意得 ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克； （2）解：设第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元，则红心猕猴桃进价进价为（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元． 60．（24-25八年级下·上海静安·期末）某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； (2)求张老师骑自行车的速度． 【答案】(1)①；②；③ (2)张老师骑自行车的速度为 【分析】本题主要考查代数式，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）①根据汽车速度是张老师速度的3倍列式即可；②根据行程中时间等于路程除以速度列式即可；③根据时间等于路程除以速度列式即可； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：①设张老师骑自行车的速度为， ∴汽车的速度为， 故答案为：； ②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为， ∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； ③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为， ∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； （2）解：根据题意列式得，， 解得，，， 检验，当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去， 当时，原分式方程有意义，符合题意， ∴张老师骑自行车的速度为． 61．（23-24八年级下·上海崇明·期末）小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约______千米． 然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米小宇计划从路的起点开始，每隔a米种一棵树，绘制示意图如图： 考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵数，请你求出a的值． 【答案】3，a的值为15． 【分析】利用路程=速度×时间可求出路的长度，设每a米种一棵树，则另一方案每2a米种一棵树，根据种树的棵数=路的长度÷树的间隔结合另一方案可减少200棵数，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】千米． 故答案为3． 设每a米种一棵树，则另一方案每2a米种一棵树， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：a的值为15． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 62．（2024·上海金山·模拟预测）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．    商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【答案】每件元，进货单见解析． 【分析】设乙的进价每件为元，分别表示乙的数量，甲的数量，利用数量关系列方程解方程即可． 【详解】解：设乙的进价每件为元，乙的数量为件， 则甲的进价为每件元，甲的数量为件，所以：     ， 经检验：是原方程的根， 所以：乙商品的进价为每件元． 所以：进货单如下： 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 乙 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键． 63．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示什么，庆庆同学所列方程中的y表示什么； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间；（2）冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；（3）甲队每天修路的长度为40米． 【分析】(1)根据两人的方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间； (2)根据题意，可找出：（冰冰）甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；（庆庆）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米； (3)选择两个方程中的一个，解之即可得出结论． 【详解】解：(1)∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程， ∴x表示甲队每天修路的长度； ∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程， ∴y表示甲队修路400米所需时间． 故答案为甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间． (2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米（选择一个即可）． (3)选冰冰的方程：=， 去分母，得：400x+8000=600x， 移项，x的系数化为1，得：x=40， 检验：当x=40时，x、x+20均不为零， ∴x=40． 答：甲队每天修路的长度为40米． 选庆庆的方程：-=20， 去分母，得：600﹣400=20y， 将y的系数化为1，得：y=10， 经验：当y=10时，分母y不为0， ∴y=10， ∴=40． 答：甲队每天修路的长度为40米． 故答案为(1)甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间；(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；(3)甲队每天修路的长度为40米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 64．（2024·上海青浦·二模）随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运90千克化工原料;（2）A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 【详解】分析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等建立方程求出其解就可以得出结论． （2）设A型机器人工作t小时，根据这批化工原料在11小时内全部搬运完毕列出不等式并解答． 详解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料， 根据题意，得 ， 解得x=60． 经检验，x=60是所列方程的解． 当x=60时，x+60=90． 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运90千克化工原料； （2）设A型机器人工作t小时， 根据题意，得1200-90t≤60×11， 解得t≥6． 答：A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 点睛：本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键． 65．（2024·上海长宁·二模）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式； （2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离． 【答案】（1）；（2）千米 【分析】（1）观察图中乙图像，将（1，30）（3，50）代入一次函数表达式即可， （2）根据图像求出甲，乙两人速度，按照关系式列方程求解即可． 【详解】（1）由图像设此函数表达式为， 把点（1，30）（3，50）代入一次函数表达式得：， 解得： ， ∴函数表达式为：， 即乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式：， （2）由图像可得：前一小时，乙的速度是30千米，1到3小时是（50-30）（3-1）=10千米，即速度是10千米，甲的速度始终为603=20千米；由题意设两地相距x千米，列方程得： ， 解方程检验得：x=80， 即A，B两地的距离为80千米． 【点睛】本题不仅考查一次函数图像，也考查分式方程的应用，知识面较广，难度一般． 【经典例题八 代数方程的新定义问题】 66．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）新定义:为分式(为实数)的“关联数”,若“关联数”的分式的值为0,解关于的方程 【答案】x=3. 【分析】利用题中的新定义求出m的值，代入分式方程即可求出解． 【详解】根据题中的新定义得：=0， 解得：m=2， 分式方程为， 化简得：x-1=2， 解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解． 故答案为x=3 【点睛】此题考查了分式值为零和解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 67．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b，比如3⊕（﹣2）=3﹣2×（﹣2）=3﹣（﹣4）=3+4=7 （1）求（﹣2）⊕3的值． （2）若（x﹣3）⊕（x+1）=﹣1，求x的值． 【答案】（1）-8；（2）x=﹣4． 【分析】（1）根据所给的新定义运算的运算法则计算即可；（2）根据新定义运算的运算法则可得方程x﹣3﹣2（x+1）=﹣1，解方程即可求解. 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式=（﹣2）﹣2×3=﹣8； （2）已知等式变形得：x﹣3﹣2（x+1）=﹣1， 去括号得：x﹣3﹣2x﹣2=﹣1， 移项合并得：﹣x=4， 解得：x=﹣4． 【点睛】本题考查了新定义运算及一元一次方程的解法，利用新定义运算的运算法则得到方程x﹣3﹣2（x+1）=﹣1是解决第（2）问的关键. 68．（23-24八年级下·上海普陀·期末）对任意实数定义一种新运算，规定． (1) ．（用含的代数式表示） (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新运算计算即可求解； （）根据新定义可得关于的分式方程，解方程即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴ 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴的值． 69．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）对两实数，定义一种新运算，规定. 例如：. （1）填空：________；________. （2）若，求的值. （3）若，为整数，且，求满足条件的所有，的值. 【答案】(1)1,;(2) a=-;(3) n的值为：±1，±3，m的值为：±2 【分析】（1）对原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，确定出所求即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得：2（-3）==1； ； （2）已知等式利用新定义化简a2=1得：=1，即（a+2）2=a2+2， 解得：a=- ; （3）根据题中的新定义得：mn==1， 化简得：mn=3-n2 ∴m=-n ∵m，n为整数 ∴n的值为：±1，±3，m的值为：±2． 【点睛】考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 70．（2024八年级下·江苏·专题练习）定义一种新运算⊗：a⊗b=4a+b，试根据条件回答问题． （1）计算：2⊗（–3）=__________； （2）若x⊗（–6）=3⊗x，请求出x的值； （3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）x=6;(3) 不满足交换律,理由见解析 【分析】（1）原式利用题中新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中新定义化简，即可求出x的值； （3）不满足交换律，举一个反例即可． 【详解】解：（1）根据题意得：2⊗（-3）=8-3=5； 故答案为5； （2）由题意得4x–6=3×4+x， 移项、合并得3x=18， 解得x=6； （3）不满足交换律， 反例如：2⊗1=9，1⊗2=6，显然2⊗1≠1⊗2． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 71．（2024·上海嘉定·三模）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，求的值； （2）若对任意实数都成立（这里，都有意义），则应满足怎样的关系式？ 【答案】（1） （2）a=2b 【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）根据新运算列出等式，根据x，y的系数为0，求出a，b应满足的关系式． 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）， 整理，得 72．（23-24八年级下·浙江·期末）定义：函数（其中）是关于x的两个一次函数与的“生成函数”．给定两个一次函数：． （1）求它们的“生成函数”在时的函数值； （2）判断这两个函数图象的交点是否在它们的“生成函数”的图象上，并说明理由． 【答案】（1）－1；（2）交点在它们的生成函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）根据生成函数的定义写出和的生成函数，由和得出的值即可； （2）解方程组得这两个函数图象的交点坐标，结合①的结论即可判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上． 【详解】解：（1）由题意可得：和的生成函数为， 又， 当时，； （2）， 把①代入②，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴该方程组的解为， 这两个函数图象的交点坐标为． 当时，， 交点在它们的生成函数的图象上． 【点睛】本题考查了两个一次函数的图象的交点问题，读懂题中定义并正确地代入计算是解题的关键． 73．（23-24八年级下·上海长宁·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算⊕如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么______； (3)如果，求的值． 【答案】(1)，0 (2) (3)或 【分析】(1)根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得； (2)根据题意可知，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解； (3)分两种情况，和，根据新定义运算法则列分式方程求解即可 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，0； （2）解：， ， ， 解得， 经检验：是原方程的解， 故答案为：； （3）解：当时， 由原式可得：， 得， 解得， 经检验：是原方程的解，但不符合， 应舍去． 当时，， 得， 解得或， 经检验：或是原方程的解，且符合， 综上，或． 【点睛】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键． 74．（23-24八年级下·上海静安·期末）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 75．（23-24八年级下·上海闵行·期中）定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由定义直接可得答案； （2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案； （3）方程的两边同时乘以，得到，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：＋的对偶式是， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵①， ∴， ∴， ①+②得： 20-x=25， ∴x=-5， 经检验，x=-5是原方程的解， ∴原方程的解是x=-5． 【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 代数方程75道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 整式方程的压轴问题 题型二 分式方程的含参问题 题型三 分式方程的无解与增根问题 题型四 二元二次方程压轴题型 题型五 列方程（组）解应用压轴题型 题型六 无理方程的阅读材料问题 题型七 分式方程的的实际综合应用 题型八 代数方程的新定义问题 【经典例题一 整式方程的压轴问题】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程? （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在直线上，求k的值，并求出二元一次方程组的解． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点P（x，y）在第四象限内，且x、y满足，求： (1)关于x、y的方程组的解； (2)k的取值范围． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）计算 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，请从中选择一个合适的整数代入求值． (3)解方程： ①； ②； ③． 5．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)若方程的两根都为负数，求的取值范围． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知关于x的方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两根分别为，（），若，求m的值． 7．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，2，． (1)的长为______，的长为______．（用含x的代数式表示） (2)若，，的长满足，求x的值． 8．（23-24八年级下·上海静安·期中）定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．如的解为，且，则方程是差解方程. （1）方程是否差解方程？请说明理由； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值. 9．（23-24八年级下·上海虹口·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是林林同学的解题过程：解方程=1． 解：方程两边同时乘以6，得：×6=1×6…………第①步 去分母，得：2（2x+1）-x+2=6………………第②步 去括号，得：4x+2-x+2=6…………………第③步 移项，得：4x-x=6-2-2…………………第④步 合并同类项，得：3x=2…………………………第⑤步 系数化1，得：x=…………………………第⑥步 上述林林的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 请你帮林林改正错误，写出完整的解题过程． 10．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【经典例题二 分式方程的含参问题】 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 12．（2024·上海·模拟预测）对于代数式和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，求符合条件的所有k值的和． 14．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称． （1）当m＝2时，求x的值； （2）若不存在满足条件的x值，求m的值． 15．（24-25八年级下·上海金山·期末）已知三角形的三边分别为a，b，c； (1)化简：； (2)已知，， 当c取最大整数时，求三角形的周长； 关于x的分式方程的解是非负数，求符合条件的所有整数c的和． 16．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）观察下列方程及其解的特征： ①x+＝2的解为； ②的解为，； ③的解为，；…… 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为___________； (2)请猜想：关于x的方程x+＝___________的解为，，（a≠0）； (3)利用猜测结论解决问题：若关于x的方程的解为，，（m≠0）．且关于y的一元二次方程有实数根，求m值． 17．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 18．（24-25八年级下·上海静安·期中）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 19．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 20．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． (2)若时，求式子的最值，并说明此时的值． (3)时，式子成立吗？说明理由． 【经典例题三 分式方程的无解与增根问题】 21．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于的方程无解，求的值． 22．（2024八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 23．（23-24八年级下·上海闵行·单元测试）若关于的方程无解，求的值． 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知不等式组解集为，且关于x的方程无解．若符合条件的有一个，令；若符合条件的有一个以上，令为所有符合条件的的和．请把因式分解． 25．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 26．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 27．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)关于x的分式方程． ①若方程的增根为，求m的值； ②若方程有增根，求m的值； ③若方程无解，求m的值． 28．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 29．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”．满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”．如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程．此时对应的“股雅值”为． (1)请说明：是一元勾股方程； (2)若方程（）为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”； (3)关于x的方程（）为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解． 30．（23-24八年级下·上海青浦·期末）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　 　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围． 【经典例题四 二元二次方程压轴题型】 31．（23-24八年级下·上海虹口·期末）解方程及方程组 (1)解方程：； (2)解方程组：； (3)若，解方程组：； (4)因式分解：． 32．（23-24八年级·全国·单元测试）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式. 33．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）若二元二次方程组有两个不同的实数解和，其中． (1)求证：； (2)求k与m的等量关系． 34．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息： （1）乙单位捐款数比甲单位多一倍； （2）乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少元； （3）甲单位的人数是乙单位的． 你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？ 35．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）小王在书店和网上共买了25套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜10元，已知网上购书共花了1350元，比书店购书多花了350元，小王在书店和网上各买了多少套书？ (1)购书费用问题的数量关系是：总费用=（    ）×（    ）； (2)设小王在书店购买了套书，书店每套书的售价是元．完成下列表格： 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 网上 (3)根据题意，可列方程组：__________． 36．（23-24八年级下·上海杨浦·开学考试）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下的未改装车辆每天燃料费用的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆的每天的燃料费用的，问： (1)公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ (2)若公司一次性将全部100辆出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回改装费的成本？ 37．（23-24八年级下·江苏南京·期中）解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解． (1)请按要求填写下表． 原方程 ①转化 设，则 ②求解 ③检验 ，2都是原方程的解 … ④结论 (2)解方程组： 38．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）先阅读后解题． 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0． 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0． 所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3． 利用以上解法，解下列问题： （1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值． （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c． 39．（23-24八年级下·上海静安·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 40．（23-24八年级下·上海金山·期末）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）； （2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元） 【经典例题五 列方程（组）解应用压轴题型】 41．（24-25八年级下·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 42．（24-25八年级下·天津河西·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 43．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 44．（23-24八年级下·上海青浦·期中）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区驻村干部组织村民依托电商平台组建了土特产专卖店，专门将从本地各家各户进货的甲、乙两种商品销售到全国各地．2021年3月份，该专卖店购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格2倍少20元，用900元购进甲种商品的数量与用1200元购进乙种商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若专卖店购进甲、乙两种商品共100个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲m个，总成本是y元，求y与m的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本． 45．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 46．（24-25八年级下·上海闵行·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． (1)今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 47．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．） 48．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 49．（24-25八年级下·上海嘉定·期中） 近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升．下图中 分别是某汽车品牌制造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用y(单位：元)与行驶路程x(单位：百千米)的关系．已知燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5 元．请你根据信息计算纯电动汽车每百千米耗电费用是多少元． 50．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 【经典例题六 无理方程的阅读材料问题】 51．（23-24八年级下·上海徐汇·单元测试）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程： 【提示】可以用“换元法”解方程． 52．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程两边平方，得，解得，．经检验，不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解下列方程： (1)； (2)． 53．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 54．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 55．（2024·上海闵行·一模）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：， 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离. 例如：=． 所以可将代数式的值看作点到点的距离． 利用材料一，解关于x的方程：，其中； 利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围； 将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值． 【经典例题七 分式方程的的实际综合应用】 56．（2024·江苏南京·模拟预测）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 57．（23-24八年级下·上海青浦·课后作业）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格． 58．（24-25八年级下·上海闵行·期中）某地修筑水渠，某工程队出色地完成了任务．这是记者与工程队总指挥的一段对话： ——你们是用9天完成4800米长的水渠任务的？ ——是的，我们修筑600米后，采用新的修筑模式，这样每天修筑长度是原来的2倍． 求工程队原来每天修筑水渠多少米？          59．（24-25八年级下·上海虹口·期中）猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 60．（24-25八年级下·上海静安·期末）某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； (2)求张老师骑自行车的速度． 61．（23-24八年级下·上海崇明·期末）小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约______千米． 然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米小宇计划从路的起点开始，每隔a米种一棵树，绘制示意图如图： 考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵数，请你求出a的值． 62．（2024·上海金山·模拟预测）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．    商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 63．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示什么，庆庆同学所列方程中的y表示什么； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 64．（2024·上海青浦·二模）随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 65．（2024·上海长宁·二模）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式； （2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离． 【经典例题八 代数方程的新定义问题】 66．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）新定义:为分式(为实数)的“关联数”,若“关联数”的分式的值为0,解关于的方程 67．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b，比如3⊕（﹣2）=3﹣2×（﹣2）=3﹣（﹣4）=3+4=7 （1）求（﹣2）⊕3的值． （2）若（x﹣3）⊕（x+1）=﹣1，求x的值． 68．（23-24八年级下·上海普陀·期末）对任意实数定义一种新运算，规定． (1) ．（用含的代数式表示） (2)已知，求的值． 69．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）对两实数，定义一种新运算，规定. 例如：. （1）填空：________；________. （2）若，求的值. （3）若，为整数，且，求满足条件的所有，的值. 70．（2024八年级下·江苏·专题练习）定义一种新运算⊗：a⊗b=4a+b，试根据条件回答问题． （1）计算：2⊗（–3）=__________； （2）若x⊗（–6）=3⊗x，请求出x的值； （3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由． 71．（2024·上海嘉定·三模）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，求的值； （2）若对任意实数都成立（这里，都有意义），则应满足怎样的关系式？ 72．（23-24八年级下·浙江·期末）定义：函数（其中）是关于x的两个一次函数与的“生成函数”．给定两个一次函数：． （1）求它们的“生成函数”在时的函数值； （2）判断这两个函数图象的交点是否在它们的“生成函数”的图象上，并说明理由． 73．（23-24八年级下·上海长宁·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算⊕如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么______； (3)如果，求的值． 74．（23-24八年级下·上海静安·期末）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 75．（23-24八年级下·上海闵行·期中）定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 学科网（北京）股份有限公司 $$