专题04 代数方程易错必刷题型专训（63题21个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题04 代数方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元整式方程】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）已知，是一元二次方程的两根，则 ． 3．（23-24八年级·上海·假期作业）已知． (1)求，，，； (2)当x为何值时，没有意义？ (3)当x为何值时，？ 【易错必刷二 二项方程】 1．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【易错必刷三 无理方程的概念】 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）无理方程：在实数范围内 ．（填写“有解”或“无解”） 3．（23-24八年级·上海·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【易错必刷四 解无理方程】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）（1）已知实数、满足，试证明：．为正整数，且 （2）试解下列方程： ① ② 【易错必刷五 无理方程转化为整式方程】 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或1 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）阅读解方程的途径． 方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程． （1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格． （2）求方程＝x的解． 【易错必刷六 判断无理方程解的情况】 1．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列正确的是（     ） A．方程的根是和3 B．方程的根是x=5 C．方程的根是 D．方程的根是 2．（23-24八年级下·上海·期末） 的解（填“是”或“不是”）． 3．（2024九年级·江苏·专题练习）阅读与理解： 阅读材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项：；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2. 解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5 检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程． 【易错必刷七 二元二次方程(组)判断】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组    2．（24-25八年级下·上海青浦·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【易错必刷八 二元二次方程组的解法】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 3．（23-24八年级下·浙江·模拟预测）若二元二次方程组有两个不同的实数解和，其中． (1)求证：； (2)求k与m的等量关系． 【易错必刷九 根据换元法解二元二次方程组】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）二元二次方程x2﹣xy﹣2y2=0可以化为两个二元一次方程，下列表示正确的是（　　） A． B． C．x+y=0或x﹣2y=0 D．x﹣y=0或x+2y=0 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）把二次方程x2﹣6xy+9y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解． (1)请按要求填写下表． 原方程 ①转化 设，则 ②求解 ③检验 ，2都是原方程的解 … ④结论 (2)解方程组： 【易错必刷十 列分式方程】 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海虹口·单元测试）当 时，分式与的值互为相反数． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在建设“最美长江岸线”工程中，某园林小队进行一段江岸的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：      你们是怎样提前小时完成了平方米的绿化任务？      我们的施工人数由原计划的人，增加了人． 如果每人每小时的绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 【易错必刷十一 解分式方程】 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）对于两个不相等的数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程解为（   ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 3．（24-25八年级下·上海青浦·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【易错必刷十二 分式方程无解问题】 1．（23-24八年级下·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）若分式方程有增根，则增根是 ， ． 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若关于x的方程无解，求m的值． 【易错必刷十三 分式方程的定义】 1．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 3．（2024八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【易错必刷十四 根据分式方程解的情况求值】 1．（24-25八年级下·上海松江·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1． (1)已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数． ①C所代表的代数式为________； ②求x的值． (2)已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【易错必刷十五 换元法解分式方程】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·期中）用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为 ． 3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，∴， 当时，，，此方程无实数解， ∴原方程的解为：，． 我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：． 【易错必刷十六 分式方程增根问题】 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如果解关于x的分式方程出现了增根，求m的值． 【易错必刷十七 分式方程与一元一次不等式组问题】 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）若关于x的分式有正整数解，且关于y的不等式无解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 【易错必刷十八 分式方程的新定义运算】 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 2．（2024·上海嘉定·三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2． （1）max{2，5}＝ ； （2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝ ． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【易错必刷十九 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a干米，每千米行驶费用： 元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【易错必刷二十 由实际问题抽象出分式方程】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 3．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校． (1)求王老师骑自行车的平均速度； (2)王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？ 【易错必刷二十一 无理方程的阅读材料问题】 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，　 　，　 　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元整式方程】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先移项得出x4=16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可． 【详解】解：x4-16=0， x4=16， x=±=±2， 即方程x4-16=0的实数根的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了解高次方程，能求出x=±是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）已知，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】7 【分析】首先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入到中即可得到答案． 【详解】，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 3．（23-24八年级·上海·假期作业）已知． (1)求，，，； (2)当x为何值时，没有意义？ (3)当x为何值时，？ 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）把x的值分别代入计算即可； （2）根据分式无意义的条件即可求解； （3）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵没有意义， ∴，即得； （3）解：∵， ∴，解得． 【点睛】本题考查抽象函数、分式无意义的条件、分式的代入求值、解分式方程，理解题意，掌握相关知识是解题的关键． 【易错必刷二 二项方程】 1．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元二次方程的解，将题目中的各组解分别代入中，看哪一组解使得，则哪一组解就是方程的解，本题得以解决 【详解】解：即 ①当时，，故该选项符合题意； ②．当，，故该选项符合题意； ③． ，故该选项不符合题意； ④． ，故该选项符合题意； 则符合题意得有3个． 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解二项方程，先化为，进而根据，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 【易错必刷三 无理方程的概念】 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）无理方程：在实数范围内 ．（填写“有解”或“无解”） 【答案】无解 【分析】已知，则，两边同时平方，解方程，即可得出该方程在实数范围内无解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意， ∴是增根，应舍去， ∴无理方程：在实数范围无解， 故答案为：无解． 【点睛】本题主要考查无理方程的解法，熟练掌握无理方程的解法是解题的关键． 3．（23-24八年级·上海·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【答案】不对 【分析】根据二次根式的性质=|a|，可得答案． 【详解】不正确，当时，； 当时，. 因此，该同学所求得的答案为肯定是不正确的. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 【易错必刷四 解无理方程】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把原方程化为，根据方程无解结合算术平方根的非负形可知，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了无理方程，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】设，两边平方可得，将原方程变形，整体代入可得． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 则原方程为：，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程，换元法，解题的关键是根据换元法求出，整体代入． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）（1）已知实数、满足，试证明：．为正整数，且 （2）试解下列方程： ① ② 【答案】（1）见解析；（2）①或或或；②或 【分析】本题考查了因式分解的应用， （1）利用完全平方公式进行证明； （2）①利用（1）的结论求解； ②先两边平方，把无理方程化为有理方程求解，要检验． 【详解】（1）证明：， ， 或， 当时，左边右边， 当时，左边右边， 所以． （2）解：①， 由（1）得或， 解得：或， 解得：或， 所以方程的解为：或或或； ②方程两边同时平方得：， ， ，或， 当时，解得：或， 当时，解得：或； 经检验：或是原方程的解． 【易错必刷五 无理方程转化为整式方程】 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】A 【分析】方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案 【详解】∵ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴（舍去） ∴的解为： 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次根式有意义的条件；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）阅读解方程的途径． 方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程． （1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格． （2）求方程＝x的解． 【答案】（1）①﹣2，②1；（2）原方程的解为x＝3． 【分析】（1）先提取公因式得到即可得到或，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先将方程两边同时平方，得到然后利用因式分解法解一元二次方程，最后要利用二次根式的性质检验根是否符合题意． 【详解】（1）∵， ∴， ∴或 ∵， ∴． 即或． ∴，． 故答案为：﹣2，1； （2）∵， 两边平方，得． 整理，得． ∴． ∴，． 经检验，x＝﹣1是增根，舍去． ∴原方程的解为x＝3． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 【易错必刷六 判断无理方程解的情况】 1．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列正确的是（     ） A．方程的根是和3 B．方程的根是x=5 C．方程的根是 D．方程的根是 【答案】D 【分析】利用利用平方转化整式方程再用因式分解法求解即可 【详解】A、由 得 ， 故选项错误； B、由 得 ∴ ∴ ， 经检验，是方程的解 故选项错误； C、由 得 ∴ ∴ ， 故选项错误； D、由 得 ∴ ， 故答案为:D 【点睛】本题考查了无理方程，利用平方转化整式方程是解无理方程的关键，注意检验方程的根． 2．（23-24八年级下·上海·期末） 的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】方程的解代入方程则满足等式关系；方程的解要使等式中的每项由意义； 【详解】解：方程， ∴或， ∴，， 当时，无意义，舍去， ∴是原方程的解． 故答案为：不是． 【点睛】此题考查方程解的性质，二次根式有意义的条件：被开方数不能为负；掌握二次根式的性质是解题关键． 3．（2024九年级·江苏·专题练习）阅读与理解： 阅读材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项：；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2. 解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5 检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程． 【答案】；x＝3 【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验是原方程的解； 故答案为：； 理解应用：移项：， 两边平方：， 解得，， 经检验原无理方程的根为． 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【易错必刷七 二元二次方程(组)判断】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海青浦·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)②；① (2)； (3)存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对” 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二元一次方程组，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键． （1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可； （2）根据定义建立方程，再求解x即可； （3）根据新定义可得，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴是“差积等数对”； ∵ ∴， ∴是“和积等数对”； ∵ ∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”； 故答案为：②；①； （2）解：∵数对是“差积等数对”， ∴， 解得：； （3）解：存在， ∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”， ∴， 由①解得：， ∴． 即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”． 【易错必刷八 二元二次方程组的解法】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了高次方程和二元二次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，方程组中共含有两个不同未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，这样的方程组叫二元二次方程组）是解此题的关键． 根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 【答案】（答案不唯一） 【分析】二元二次方程指含有两个未知数，含未知数的项的次数最高是2，由此写出一个符合题意的方程即可； 【详解】解：， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了方程中元和次数概念：在方程中“元”是指未知数的个数；次数是指含有未知数的项（单项式）的最高次数；掌握相关概念是解题关键． 3．（23-24八年级下·浙江·模拟预测）若二元二次方程组有两个不同的实数解和，其中． (1)求证：； (2)求k与m的等量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系． 将二元二次方程组的解代入一次函数，结合已知的代数式即可证得； 将二元二次方程组消去y，利用根与系数的关系得到和，结合第x的关系求得和，化简即可求得． 【详解】（1）证明：根据题意知点和点在直线上，则 ∵， ∴，化简得， ∵， ∴； （2）根据，化简为，则，， ∵， ∴，， 则，化简得． 【易错必刷九 根据换元法解二元二次方程组】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）二元二次方程x2﹣xy﹣2y2=0可以化为两个二元一次方程，下列表示正确的是（　　） A． B． C．x+y=0或x﹣2y=0 D．x﹣y=0或x+2y=0 【答案】C 【详解】首先把x2﹣xy﹣2y2=0的左边分解因式，然后就可以确定化得的两个二元一次方程． 解：∵二元二次方程x2﹣xy﹣2y2=0， ∴（x﹣2y）（x+y）=0， ∴x﹣2y=0或x+y=0． 故选C． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）把二次方程x2﹣6xy+9y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 【答案】 x﹣3y+2=0 x﹣3y﹣2=0 【分析】由于二次方程x2﹣6xy+9y2=4分解因式可以变为（x﹣3y+2）（x﹣3y﹣2）=0，由此即可求解． 【详解】解：∵x2﹣6xy+9y2=4， ∴（x﹣3y）2﹣4=0， ∴（x﹣3y+2）（x﹣3y﹣2）=0， ∴x﹣3y+2=0或x﹣3y﹣2=0． 故答案为x﹣3y+2=0或x﹣3y﹣2=0． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解． (1)请按要求填写下表． 原方程 ①转化 设，则 ②求解 ③检验 ，2都是原方程的解 … ④结论 (2)解方程组： 【答案】(1)；2或； (2)， 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用完全平方公式将第一个方程变形为，则，分别与第二个方程结合，再利用根与系数得关系解方程即可． 【详解】（1）， 设，则方程变形为， ∴， 解得或， ∴或（无解）， 解得， 故答案为：；2或；； （2）， 由第一个方程得，， ∴， ①当时， ∵， ∴x、y是一元二次方程得两个根， 解得或， ∴； ②当时， ∵， ∴x、y是一元二次方程得两个根， 解得或， ∴， 综上所述，这个方程组得解为，． 【点睛】本题考查了转化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程组的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法是解决本题的关键． 【易错必刷十 列分式方程】 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，找到关键描述语，本题要弄清分子和分母的关系，然后根据关键语列出方程． 【详解】解：由题意可得：分母为， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查分式方程，根据条件得到分母，然后根据题意列方程即可． 2．（23-24八年级下·上海虹口·单元测试）当 时，分式与的值互为相反数． 【答案】18 【分析】根据相反数的定义列方程，解此方程即可得出答案. 【详解】根据题意得： 解方程x=18， 经检验：x=18是原方程的解， 故答案为18 【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法并进行检验是解题关键·. 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在建设“最美长江岸线”工程中，某园林小队进行一段江岸的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：      你们是怎样提前小时完成了平方米的绿化任务？      我们的施工人数由原计划的人，增加了人． 如果每人每小时的绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 【答案】每人每小时的绿化面积为平方米． 【分析】设每人每小时的绿化面积为平方米根据对话内容，找出数量关系列出方程并解答． 【详解】设每人每小时的绿化面积为平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每人每小时的绿化面积为平方米． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，需要学生具备理解题意的能力，解题的关键是设出速度，以时间作为等量关系列方程求解． 【易错必刷十一 解分式方程】 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）对于两个不相等的数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程解为（   ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论． 根据新定义可得：若，则；若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若，即，则， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵， ∴符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 3．（24-25八年级下·上海青浦·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 【易错必刷十二 分式方程无解问题】 1．（23-24八年级下·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 关于x的方程无解， ∴为增根或， 当，解得， 此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）若分式方程有增根，则增根是 ， ． 【答案】 4 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出 的值，进而求出 的值即可； 【详解】解：去分母得： ， ∵分式方程有增根， ∴， 即 ， 把 代入整式方程得： 故答案为：4，1 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方 程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若关于x的方程无解，求m的值． 【答案】或0 【分析】本题考查分式方程无解的条件．分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使得原方程的分母为零． 【详解】解：方程两边都乘以得：， 当或时，分母为0，方程无解， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或0． 【易错必刷十三 分式方程的定义】 1．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024八年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 3．（2024八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【答案】③④⑤⑦,详见解析 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程； 方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 方程⑨属于无理方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【易错必刷十四 根据分式方程解的情况求值】 1．（24-25八年级下·上海松江·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：程 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程的解为负数， ∴，且， ∴，， 解得，，， ∴符合题意的只有B选项， 故选：B ． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得a的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1． (1)已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数． ①C所代表的代数式为________； ②求x的值． (2)已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)①；②； (2)m的值为1或 【分析】本题考查了异分母分式加减法、根据分式方程解的情况求值等知识点，注意计算的准确性即可． （1）①计算即可求解；②关键，结合题意可得或，即可求解； （2）由题意，得，推出，，即可求解； 【详解】（1）解：①，， ． 与B互为“和整分式”，且“和整值”为3， ， ． ②，且x为正整数，分式B的值为正整数， 或， （舍去）． （2）解：由题意，得， ， ， 整理，得． 方程无解， 或， 当时，解得； 当，时，， 解得． 综上，m的值为1或． 【易错必刷十五 换元法解分式方程】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先换元，再去分母整理成整式方程即可． 【详解】解：设， 则原分式方程可化为：， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了换元法，确定换元的新未知数与原方程中代数式的关系是求解本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·期中）用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组，将代入原方程组即可得． 【详解】解：将代入方程组 得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，∴， 当时，，，此方程无实数解， ∴原方程的解为：，． 我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】或 【分析】设，则原方程变形为：，从而得到，，，则得到和 ，解出即可． 【详解】解：设， 则原方程变形为：， 解得，，， 当时，，解得，， 经检验是分式方程的解． 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，根据题意，理解换元法是解题的关键． 【易错必刷十六 分式方程增根问题】 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值． 【详解】解：分式方程变形，得， 关于的分式方程有增根， 增根为， 把代入，得； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． （1）先化简分式方程为，将代入求解即可； （2）当时可产生增根，即时，代入求解即可； （3）结合解为正数且没有增根，得且，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， （1）∵方程的解为：， ∴，解得：， 故答案为：； （2）∵方程会产生增根， ∴， ∴， ∴， 解得： 故答案为：； （3）∵方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如果解关于x的分式方程出现了增根，求m的值． 【答案】-3 【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 【详解】解：由分式方程去分母， 整理得（m+2）x=-4m-15， 由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4， 当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3， 当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解． 故m的值为-3． 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【易错必刷十七 分式方程与一元一次不等式组问题】 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解：根据新定义可得，，即， 去分母得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 把代入不等式可得，， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算． 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）若关于x的分式有正整数解，且关于y的不等式无解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】28 【分析】本题考查解分式方程及解不等式组，解题的关键正确解分式方程与不等式组．解出分式方程及不等式组，根据条件找出符合条件的a的值，即可得到答案． 【详解】解：解分式方程得， ，且， ∵分式方程有正整数解， ∴的偶数，且， 解不等式组得， ， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的偶数，且， ∴符合条件的a有：6、，12， ∴a的和为：， 故答案为：28． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 【答案】x＜4；；；； 且 【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可． 【详解】解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4． 由不等式②，解得． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝， ∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且 ， ∴ ，且 ， 解得： 且 ， ∴a的取值范围为 且． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键． 【易错必刷十八 分式方程的新定义运算】 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据定义运算的法则进行求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 当时， ， ． 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算：正确理解新运算的运算法则是解题的关键． 2．（2024·上海嘉定·三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2． （1）max{2，5}＝ ； （2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝ ． 【答案】 5 【分析】（1）根据题目所给的新定义，比较两个数的大小即可得出答案； （2）根据题意，将式子化为分式方程，按照解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴max{2，5}＝5， 故答案为：5； （2）∵，， ∴max{﹣12，（一1）2}=1， ∴，解得：x=， 经检验，x=是分式方程的解， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解题意，明白新定义的内容，掌握分式方程的解法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 【易错必刷十九 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出每一项所代表的意义是解题的关键． 设实际每天铺设管道xm，则为原计划每天铺设管道的长度，表示原计划铺设管道所需时间，表示实际铺设管道所需时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容． 【详解】解：∵设实际每天铺设管道xm，， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， ∴表示原计划铺设管道所需时间， 表示实际铺设管道所需时间． ∵， ∴实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成这一任务， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出方程，求解方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 边衬的宽度是米． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a干米，每千米行驶费用： 元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【易错必刷二十 由实际问题抽象出分式方程】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 【答案】 【分析】本题是分式方程的应用， 根据公式列出方程进行计算便可解题． 【详解】解：根据题意得，， 解并检验得：， 答：该产品的应标示为． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校． (1)求王老师骑自行车的平均速度； (2)王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？ 【答案】(1)12千米/小时 (2)1小时 【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，由题意：王老师每天骑自行车上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校．列出分式方程，解方程即可； （2）求出王老师骑自行车上班、下班所需要的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时． （2）解：王老师达到每天锻炼1小时的标准，理由如下： 由（1）可知，王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时， 则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为（小时）， 王老师骑自行车上下班共需要的时间为（小时）， ， 王老师达到每天锻炼1小时的标准． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，找出等量关系式进行正确求解是解题的关键． 【易错必刷二十一 无理方程的阅读材料问题】 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），3；（2），，；（3） 【分析】（1）各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为，解之即可， （2）方程，化为一般形式，各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为解之即可， （3），方程两边平方，整理得，利用十字相乘法分解为，解之求出x，要注意无理方程的条件限定，进行取舍即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：；3． （2）方程，可化为， ， ． ∴或或， ∴，，． （3），方程两边平方，得， 即，， ∴或，，． ∵得， ∴是原方程的解． 【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键． 2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，　 　，　 　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）解一元二次方程，即可得答案； （2）两边同时平分，解一元二次方程并需要检验二次根式是否有解. 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴或或， ∴，，． 故答案为：；1． （2）解：方程两边平方， ∴， ∴， ∴， ∴，， 经检验，是原方程的解，是原方程的增根， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了解方程，解题的关键是将方程进行转化，注意对方程的解进行检验． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法，即可得出结论； （2）先方程两边平方转化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必须检验. 【详解】（1）∵x3+x2-2x=0， ∴x（x-1）（x+2）=0 ∴x=0或x-1=0或x+2=0， ∴x1=0，x2=1，x3=-2， 故答案为1，-2；； （2），（） 给方程两边平方得： 解得：，（不合题意舍去）， ∴是原方程的解； 【点睛】主要考查了根据材料提供的方法解高次方程，无理方程，理解和掌握材料提供的方法是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$