专题02 分式方程、列方程（组）重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 分式方程、列方程（组）重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 列分式方程 题型二 解分式方程 题型三 分式方程无解问题 题型四 分式方程的定义 题型五 分式方程增根问题 题型六 分式方程与一元一次不等式组问题 题型七 分式方程的新定义运算 题型八 根据分式方程解的情况求值 题型九 换元法解分式方程 题型十 分式方程的实际应用 知识点01 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 【经典例题一 列分式方程】 【例1】 （24-25八年级下·上海青浦·期中）若，则与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（23-24八年级下·上海宝山·课后作业）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得(   ) A． B． C． D．=26-10 1．（2024·上海金山·一模）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有，两个商家供货，商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同．设商家的图书每本售价为元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为千米/时，则可列方程为 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例3】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）若关于x 的分式方程无解，则 m 的值为 （    ） A．或0 B．－1 C． D．0 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【经典例题四 分式方程的定义】 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 ( )（填序号） 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【经典例题五 分式方程增根问题】 【例5】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）下列说法中，正确的结论有（　　）个． ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②如果方程会产生增根，那么k的值是4； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·上海奉贤·开学考试）已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 3．（2024·上海长宁·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【经典例题六 分式方程与一元一次不等式组问题】 【例6】（2024·上海金山·一模）已知关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程（组）、及不等式（组） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【经典例题七 分式方程的新定义运算】 【例7】（2024·上海静安·一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级·全国·单元测试）新定义：为一次函数（，为实数）的“关联数”若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则关于的方程的解为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 3．（2024·上海嘉定·一模）对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 【经典例题八 根据分式方程解的情况求值】 【例8】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A． B．0 C．3 D．9 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A．或 B．且 C．且 D．或 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）若分式方程有增根，则a的值是 ． 3．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【经典例题九 换元法解分式方程】 【例9】（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ） A．可得，再用代入消元法解 B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组 C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解 D．经检验：是方程组的一组解 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）用换元法解方程+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是 ． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: (1)对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 【经典例题十 分式方程的实际应用】 【例10】（24-25八年级下·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 1．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 (1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元   B．乙种商品每件进价x元   C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 2．（24-25八年级下·上海静安·期末）下列选项中的命题是真命题的是（   ） A．不是方程的解 B．若，则 C．三角形的三条高线交于三角形内一点 D．等腰三角形的内角都相等 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 4．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024八年级·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 7．（24-25八年级下·上海静安·期中）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ． 8．（24-25八年级下·上海长宁·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 9．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 10．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 11．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和爱国、爱民两位同学不完整的解答过程． 甲乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲的速度是乙速度的，结果甲比乙提前20分钟到达目的地． 爱国：； 爱民：设乙的速度为， 根据以上信息，解答下列问题． (1)爱国同学所列方程中的x表示______； (2)根据爱民同学设的未知数，列方程并解答本题． 13．（2024·上海宝山·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 15．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式方程、列方程（组）重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 列分式方程 题型二 解分式方程 题型三 分式方程无解问题 题型四 分式方程的定义 题型五 分式方程增根问题 题型六 分式方程与一元一次不等式组问题 题型七 分式方程的新定义运算 题型八 根据分式方程解的情况求值 题型九 换元法解分式方程 题型十 分式方程的实际应用 知识点01 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 【经典例题一 列分式方程】 【例1】 （24-25八年级下·上海青浦·期中）若，则与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的运算和等式的变形，熟练掌握等式基本性质是解题的关键； 首先对等式两边分别化简得，根据等式两边分母相同，分子相等可得，即可得到答案． 【详解】 ， ∴， ∴与之间的数量关系为， 故选：A． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键． （1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）第②步最后的式子应为：， ∴从第②步开始出现错误； （2）整理得： 去分母，得： 整理，得： 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（23-24八年级下·上海宝山·课后作业）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得(   ) A． B． C． D．=26-10 【答案】B 【分析】根据题意可得原计划生产30x个，因为多生产了10个，因此实际生产了30x+10个，因为实际比原计划每天多生产5个，因此实际每天生产x+5个，根据实际生产的零件数量÷工作效率=26天，故可得方程. 【详解】根据“实际生产的零件数量÷工作效率=26天”可列方程：. 故选B. 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 1．（2024·上海金山·一模）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有，两个商家供货，商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同．设商家的图书每本售价为元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两商家图书销售单价间的关系，可得出商家的图书每本售价为元，利用数量总价单价，结合用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，且商家的图书每本售价为元， 商家的图书每本售价为元． 根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为千米/时，则可列方程为 【答案】 【分析】根据行程问题的基本公式，列出汽车在加速前和加速后行驶所用的时间，由行驶这两段路程所用的时间相等，即可列出方程． 【详解】解：根据题意知，汽车加速前行驶的时间为：， 汽车加速后行驶的时间为：， 由行驶这两段路程所用的时间相同，得：． 故答案为． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【答案】 【分析】设分子为x，则分母为（x+6），根据题意列出分式方程求解即可. 【详解】设分子为x，则分母为（x+6）， 根据题意得， 方程两边都乘4（x+7），得 4x+4=x+7， 解得x=1， 经检验x=1为原方程的解， 则这个分数为. 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例3】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）若关于x 的分式方程无解，则 m 的值为 （    ） A．或0 B．－1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解；化简分式方程得，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，，代入即可算出m的值，当等式不成立时，使分母为0，则． 【详解】解： 解得： 当分式方程有增根时，代入得； 当分母为0时，； 则m的值为或0． 故选：A． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出或或，确定或或，再由一次函数的性质得出，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：分式方程两边同时乘，得， 整理，得． ∵此分式方程无解， ∴或或， ∴或或． ∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴， ∴或， ∴满足条件的m的值之和是． 故选C． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【详解】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 【经典例题四 分式方程的定义】 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查一元一次方程的识别．解题的关键是熟知一元一次方程的定义．一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义逐一判断． 【详解】A. ，为二元方程，故错误； B. ，是一元一次方程，正确； C. ，是分式方程，故错误； D. ，是一元二次方程，故错误． 故选：B． 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 ( )（填序号） 【答案】② 【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数． 【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②. 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义. 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3． 【分析】（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x2），解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）去分母得：x（x+2）=3，整理得x2+2x3=0，解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）， 约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2）， 解之得：x＝0， 检验：当x＝0时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝0是原方程的解， ∴原分式方程的解为：x＝0； （2）方程两边同乘以（x﹣1）（x+2）， 约去分母得：x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， 解之得x1＝1，x2＝﹣3， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x＝1不是原方程的解； 当x＝﹣3时，（x﹣1）（x+2）≠0， ∴x＝﹣3是原方程的解； ∴原分式方程的解为：x＝﹣3． 【点睛】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【经典例题五 分式方程增根问题】 【例5】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）下列说法中，正确的结论有（　　）个． ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②如果方程会产生增根，那么k的值是4； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，分式方程的增根，逆命题，反证法等知识，综合性比较强． 分别根据“角平分线的性质”，“分式方程的增根”、“逆命题与真假命题”、“反证法”等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故说法正确，符合题意； ②方程去分母得，， ∵方程会产生增根， ∴把代入的， ∴结论错误，不合题意； ③“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，不合题意； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于，说法正确，符合题意． 故选：B 2．（24-25八年级下·上海奉贤·开学考试）已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 3．（2024·上海长宁·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【答案】（1）；；（2）小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式方程的解法，掌握整式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可； （2）根据解分式方程的一般步骤解出方程． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时，原式； （2）小丁和小迪的解法都不正确， 正确解法如下：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验，当时，， 原方程的解是． 【经典例题六 分式方程与一元一次不等式组问题】 【例6】（2024·上海金山·一模）已知关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定m的值即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵分式方程的解为整数 ∴为整数，且 ， ∴， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵有解且至多有2个整数解， ∴， ∴-9≤m<2 综上所述，符合条件的整数m的值为：-8，-6，-2，0 ∴-8-6-2+0=-16 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式的整数解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法，科学记数法，分式方程的解，一元一次不等式的解，实数的分类一一判断即可． 【详解】解：①若，则，或，，故错误； ②数用科学记数法表示为，故错误； ③若关于x的方程有增根， 解得：， 则， 则，故错误； ④是无理数，不是分数，故正确； ⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解， 则， ∴，解得：， 则a的最大值是4，故正确； ∴共有2个正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，科学记数法，分式方程的解，一元一次不等式的解，实数的分类，知识点较多，但难度不大，要能熟练运用所学知识点对每个点进行准确判断，方能正确作答． 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了分式方程的解，根据不等式组的整数解集求字母的取值范围，先根据分式方程的解是正数求出a的取值范围，再根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出符合条件的整数，可得答案． 【详解】， 解得． 根据题意，得，且， 解得且． ， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， ∴且， 所以满足条件的整数和． 故答案为：20． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程（组）、及不等式（组） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)或 (6)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了解不等式或不等式组，解一元一次方程，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算。 （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）得：，求出，再将代入①求出y即可； （3）由代入消元法解三元一次方程组即可； （4）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可； （5）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可； （6）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项得出，再分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 检验：将代入原方程组，， ∴是原方程组的解； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴， 把，代入③得：， 解得：， ∴，， ∴原方程组的解为：； （4）解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：； （5）解：， 当时，， 解得：， ∴此时， 当时，， 解得：， ∴此时， 当时，， 解得：， 所以此时， 综上分析可知：或． （6）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当时，， 当时，． 【经典例题七 分式方程的新定义运算】 【例7】（2024·上海静安·一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】根据题中的新定义化简得：， 去分母得：，解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 1．（23-24八年级·全国·单元测试）新定义：为一次函数（，为实数）的“关联数”若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则关于的方程的解为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用题中的新定义求出m的值，代入分式方程计算即可求出解． 【详解】由“关联数”定义得一次函数为y=x+m−2， 又此一次函数为正比例函数，即m−2=0， 解得m=2， ∴方程为 =1， 解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解． 故选C 【点睛】此题考查解分式方程，一次函数的定义，解题关键在于求出m的值 2．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 3．（2024·上海嘉定·一模）对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）①由，得 ，， 则，解得， ②由，得，则不等式组 ，可化为 整理得， 解得． ∵不等式组，恰好有3个整数解， ∴其整数解为0，1，2， ∴． 解得． （2）∵对于任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 即，对于任意实数x，y都成立， 故， ∴． 【经典例题八 根据分式方程解的情况求值】 【例8】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分和两种情况讨论，根据关于的方程有实数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有的值，即可求出之积． 【详解】解：当时，方程化为，，此时方程有实数根， 当时，关于的方程为一元二次方程， ∵关于的方程有实数解， ∴， 解得， 分式方程 去分母得：， ∴， ∵有负分数解， ∴， ∴， ∴， 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； ∴符合条件的整数取值为，，，，之积为， 故选：． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A．或 B．且 C．且 D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式方程的解，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可． 【详解】解：由， 可得， 解得， ，且，， 且． 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）若分式方程有增根，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，方程两边乘，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边乘得：， ∴， ∵方程有增根， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：若，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； 若，，分式方程的解为不符合 “关联数对”的定义，故不正确. 故答案为：； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵可化为， 解得：， ∵方程有整数解， ∴整数，，即，，，， 又∵，， ∴， ∴或． 【经典例题九 换元法解分式方程】 【例9】（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ） A．可得，再用代入消元法解 B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组 C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解 D．经检验：是方程组的一组解 【答案】B 【分析】②①得出，整理后得出，即可判断选项A；换元后得出方程组，即可判断选项B；由①求出，代入②后即可判断选项C；把代入方程组中的两个方程，看看方程的两边是否都相等，即可判断选项D． 【详解】解：， A．②①，得， 整理得：，再用代入消元法解，故本选项不符合题意； B．令，，则原方程组化为： ， 不能得出关于、的二元一次方程组，故本选项符合题意； C．由①得， 把代入②得： ，得出一个关于的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意； D．把代入①，得 左边，右边，左边右边， 把代入②，得 左边，右边，左边右边， 所以是方程组的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程组和方程组的解，能把分式方程组转化成方程和理解方程组的解的定义是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）用换元法解方程+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是 ． 【答案】3y2+3y﹣2＝0 【分析】设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】， 设，则原方程化为：， 即3y2+3y﹣2＝0， 故答案为3y2+3y﹣2＝0． 【点睛】本题考查了解分式方程，能够正确换元是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: (1)对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值． 【详解】（1）解：对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘y，得， 解得或． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； （2）解：原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【经典例题十 分式方程的实际应用】 【例10】（24-25八年级下·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 【答案】实际每天修建144米 【分析】设原计划每天修路x米，实际每天修路米，根据题意可得等量关系：原计划修米所用的天数实际修米所用的天数天，根据等量关系，列出方程即可． 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意不要忘记检验． 【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为 解得： 经检验为原方程的根 实际每天修建：米 答：实际每天修建144米 1．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元； (2)购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识． （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个，由航空模型数量不少于航海模型数量的得到，根据题意得，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ∴， ∴航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个， ∵航空模型数量不少于航海模型数量的， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时， ∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 (1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元   B．乙种商品每件进价x元   C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)A，C (2)甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件 (3)至多购进甲种商品12件 【分析】题主要考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别按照解分式方程的步骤求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：， 设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：； 故答案为：A，C； （2）解：①， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． ② 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． （3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， ∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品， ∴， ∴， 答：至多购进甲种商品12件． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 【答案】(1)2米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设人行通道的宽度为米，根据图形中的面积关系建立方程，解方程求出的值，再根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案； （2）设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于，先求出每块运动区域的宽与长，再建立分式方程，解方程求出的值，然后根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案． 【详解】（1）解：设人行通道的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：人行通道的宽度为2米． （2）解：设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于， 则每块运动区域的两条边长分别为，， ∵， ∴， ∴每块运动区域的长为，宽为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 因为人行通道的宽度不能超过3米，且， 所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于． 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的增根进行解答即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为 解得， 由于原方程无解，即或， ∴分式方程有增根或， ∴或 ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海静安·期末）下列选项中的命题是真命题的是（   ） A．不是方程的解 B．若，则 C．三角形的三条高线交于三角形内一点 D．等腰三角形的内角都相等 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义、真命题，熟练掌握方程的解法和等腰三角形的定义是解题关键．根据解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：， ， ， 经检验，不是分式方程的解；则选项A是真命题； ， ， 或， 方程的解为或，则选项B是假命题； 锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部，则选项C是假命题； 等腰三角形的两个底角相等；则选项D是假命题； 故选：A． 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 4．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是解分式方程，分式的值为整数的条件，理解题意是解本题的关键，先建立分式方程，解方程后可判断①，求解，再结合配方法可判断②，把化为，再结合分式的值可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的根，故①不符合题意； ∵，， ∴ ，故②符合题意； ∵， ∵式子的值为整数，为整数， ∴或， ∴或或或；故③不符合题意； 综上所述，其中正确的有1个． 故选：B． 5．（2024八年级·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时，根据题意列出方程组，利用整体思想解方程组，得到答案．本题考查的是分式方程的应用，灵活运用整体思想是解题的关键． 【详解】解：设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时， 由题意得：， ，得 则⑥， ，得 ∴ ∴ ∴5个水管齐开，4小时可把水池灌满， 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，求出分式方程的解，再求出分式方程的增根，进而由分式方程的解等于增根即可求解，理解分式方程有增根即最简公分母的值等于是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海静安·期中）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先解分式方程得出，结合题意得出或或或或或或，根据一元二次方程根的判别式求出且，从而得出或或，求和即可． 【详解】解：解方程得：， ∵a使得关于x的分式方程有整数解，且， ∴或或或或或或， ∵关于y的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海长宁·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，掌握一元一次不等式组解集的计算方法以及分式方程的解、增根的定义是正确解答的关键．根据一元一次不等式组整数解的定义以及分式方程的解，增根的定义进行计算即可． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式组有且只有2个偶数解， ∴， 解得， 给关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 当时，即， 解得， 又关于的分式方程有整数解， 为偶数， 或， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：10． 10．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出，代入到方程中，再利用所得规律化简即可． 【详解】解：由图形知，，，， ， 可化为：， ， ， 解得：或0（不合题意，舍去）， 故答案为：4047． 11．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， ∴， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， ∴， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 12．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和爱国、爱民两位同学不完整的解答过程． 甲乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲的速度是乙速度的，结果甲比乙提前20分钟到达目的地． 爱国：； 爱民：设乙的速度为， 根据以上信息，解答下列问题． (1)爱国同学所列方程中的x表示______； (2)根据爱民同学设的未知数，列方程并解答本题． 【答案】(1)甲的速度 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了分式的应用； （1）理解所列的分式方程，即可求解； （2）等量关系式：甲到大目的地的所需时间乙到达目的地所需时间小时，据此列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，x表示甲的速度， 故答案为：甲的速度； （2）解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 甲的速度为，乙的速度为． 13．（2024·上海宝山·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 15．（24-25八年级下·上海长宁·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 【答案】(1)八年二班绿化的单位面积费用高； (2)区域的面积为，区域的面积为． 【分析】（）先求出每班的单位面积费用，然后利用分式除法运算即可比较； （）设学校计划区域B的费用为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了分式的运算和分式方程的应用，掌握分式运算法则，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设两个班花费的费用均为元， 则一班的单位面积费用为元，二班的单位面积费用为元， ∵， ∴八年二班绿化的单位面积费用高； （2）解：设学校计划区域B的费用为元， 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 则区域得面积为：，区域的面积为， 答：区域A的面积为，区域B的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$