专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列各式中，二次根式的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号） 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 2．（24-25八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）等式成立的条件是 ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）式子有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 1．（24-25九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 2．（23-24八年级上·广东·单元测试）已知实数a满足，那么的值是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知实数满足，的平方根为 ． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．48 B．6 C．12 D．3 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 2．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知，则 ． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式根号外面的因式移到根号内 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 1．（23-24七年级下·云南保山·期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）若实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）若，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）若，则 ． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ． 10．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值 ． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若、均为实数，且，求的平方根 . 12．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：． 13．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 14．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 15．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 1．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列各式中，二次根式的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 3．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】①，故不是二次根式； ②，故是二次根式； ③的根指数是3，故不是二次根式； ④由于，因此，故是二次根式； 故答案为：②④． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2），0 【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0， 解得：， （2）原式==， 当，原式=． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 2．（24-25八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得：或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，综合后即可求出的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴且， 故选：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，以及解一元一次不等式，掌握“二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零”是解题的关键．由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）式子有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 且， 故选：C． 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解． 【详解】∵ = = =1， ∴=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东·单元测试）已知实数a满足，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，据二次根式有意义的条件得，去掉绝对值符号得到，则，则，整体代入代数式即可得到答案． 【详解】由题意，得， 解得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴原式， 故选：C 3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知实数满足，的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】18 【分析】根据当151+n是最小的平方数时，n最小，从而得出答案． 【详解】解：∵122＝144，132＝169， ∴151+n＝169， ∴n＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键． 3．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．48 B．6 C．12 D．3 【答案】D 【分析】先化简二次根式，再确定n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∵是整数，则是整数， ∴是一个平方数， ∴正整数n的最小值为3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键． 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键． （1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 2．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 3．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据已知易得，从而可得，然后利用二次根式的性质以及分式的运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式根号外面的因式移到根号内 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据既在根号下又在分母中，可得，所以原式可以化为，然后把根号外面的式子写到根号里面可得，把根号里面的部分约分即可． 【详解】解：既在根号下又在分母中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为 【答案】1 【分析】本题主要考查根据二次根式的性质化简和化简绝对值，先由得出，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知：，则，化简所求代数式即可． 本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到是关键． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故选：B 1．（23-24七年级下·云南保山·期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于掌握运算法则，利用数轴得出，进而化简得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）若实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的数的大小，二次根式的化简．根据数轴得出，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边关系，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）先将化简为，然后分类讨论：当时， 当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果； （2）由规律得出答案，再验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：， 故答案为：； （2）猜想的第n个等式为：， 验证： 所写等式正确． 【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2)- (3)a与的关系是： ，b与的关系是：． 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解： ； ． 故答案为：；． （2） ． （3） 两边平方得： ∴a与的关系是： ， b与的关系是：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，， 又为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 【详解】解：根据题意可知且， 解得：， 故结论①不正确； ∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得， 故结论②错误； ∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， ∵为无理数， 故结论③不正确． ∴正确的个数为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或，故结论③正确． 故答案为：①③． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设、是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明； （2）由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：设、是连续的正整数， ， ； （2）∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴ ， ∴p一定是偶数． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）若，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简．先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解：， ，， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．首先根据二次根式中被开方数为非负数可得，根据分式的分母不为可得，从而可得函数中，自变量的取值范围． 【详解】解：中是被开方数， ， ， 中是分母， ， ， 函数中，自变量的取值范围是且． 故选：D ． 4．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被开方数是非负数，得到，即可得．解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，绝对值的意义． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】5或/或 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，即，解得， ∴， ∴或， 故答案为：5或． 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）若，则 ． 【答案】1003 【分析】此题考查二次根式的性质，化简绝对值，根据二次根式的性质可得出，进而得出，化简式子以及对式子变形即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：1003． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题，根据0，，2，，，，，即可得到0，，，，，，，从而得到第个数为． 【详解】解：由题意寻找规律可得：第个数为， ∴数10个数为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值 ． 【答案】 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的条件． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若、均为实数，且，求的平方根 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根，根据被开方数是非负数可求x，进一步求出y,再代入计算即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根是 ∴的平方根为． 12．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的化简，根据数轴的特点得出，，，进而根据解答即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 13．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，绝对值化简，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法计算，然后化简即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）根据负整数指数幂，二次根式的混合计算法则，绝对值的化简进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 15．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$