精品解析：2022年黑龙江省中等职业学校毕业生专业对口升学考试数学试题

2022年黑龙江省中等职业学校毕业生专业对口升学考试招生 数学试卷 （共同课） 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共35小题，满分100分；考试时间120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图时可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第一部分 选择题 一、单项选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出. 1. 已知集合，，若 A ∩ B = A ，则实数 a =（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或或0 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，根据集合中的元素是方程的根，从而求解. 【详解】由，可得. 因为，， 所以是方程的根，即，解得或. 故选：C 2. “”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的. 【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件； 根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件. 故选：A 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程、二次函数间的关系，解不等式即可求解. 【详解】不等式可化为， 由于的二次项系数为，对应的方程的解为， 所以或， 即不等式的解集是. 故选：D 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式可转化为，解得或， 所以解集为， 故选：. 5. 已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】因为函数为偶函数，得，再判断即可. 【详解】是偶函数， 所以， 所以， 则， ， 所以是奇函数. 故选:A. 6. 在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的性质结合单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，为一次函数，斜率为，所以为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，为反比例函数，，所以在为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，，当时，为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，对称轴为，图像为开口向下的抛物线，所以在上为增函数，符合题意， 故选：. 7. 已知，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用实数指数幂的运算性质进行求解. 【详解】 故选：C 8. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值的正负即可判断角所在象限. 【详解】因为，所以和异号， 所以是第二象限角或第四象限角， 又因为，所以和异号， 所以是第二象限角或第三象限角， 综上，是第二象限角. 故选:B. 9. 若角的终边在第二象限且经过点，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义求值即可. 【详解】角的终边在第二象限且经过点， 则，， 所以， 故选：A. 10. 已知 ，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角函数的图像求出解集即可. 【详解】如图，分别为，的函数图像， 由图像可知，在与的交点后，有， 则当时，令， 由，可得， 由图可知，交点位于第一象限，解得， 所以，所以不等式的解集为. 故选：D. 11. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用可求解. 【详解】将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，，第n段n个数，设，则在第k个数段，由于第k个数段共有k个数，则由题意， k应满足：， 即，解得. 答案：B 12. 已知平面向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的减法法则可求解. 【详解】. 故选：D 13. 已知向量，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模长以及向量垂直的坐标表示进行计算求解即可. 【详解】,且 或 故选：A 14. 已知向量均为单位向量，向量与向量的夹角为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的内积的定义求出，再由向量内积的运算律计算即可. 【详解】向量均为单位向量， 则，又向量与向量的夹角为， 所以， 则， 所以， 故选：C. 15. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行斜率相等但截距不相等设出直线方程，进而将点代入即可求解. 【详解】所求直线与直线平行，故设所求直线为， 又直线过点， ， 直线方程为， 故选：A. 16. O是半径为5的圆的圆心，点 A 在直线l上，若 ．则直线l与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何法可判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为圆O的半径，点 A 在直线l上，且， 所以圆心O到直线l的距离， 所以直线与圆相切或相交. 故选：D 17. 同一平面内的三条直线，，，若，，则与的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可求解. 【详解】同一平面内的三条直线，，，若，，则与平行. 故选：B. 18. 经过直线外两点作与该直线平行的平面，这样的平面（ ） A. 只能作一个 B. 可以作无数个 C. 不存在 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系分析即可. 【详解】设已知直线为，直线外两点为， 若，则过两点作与该直线平行的平面有无数个， 若与直线异面，则过两点作与该直线平行的平面只有一个， 若与直线相交，则过两点作与该直线平行平面不存在， 所以以上都有可能， 故选：D. 19. 若 P 是平面 α 外一点，则下列命题正确的是（ ） A. 过 P 只能作一条直线与平面 α 相交 B. 过 P 可作无数条直线与平面 α 垂直 C. 过 P 可作无数条直线与平面 α 平行 D. 过 P 只能作一条直线与平面 α 平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、线、面的位置关系及面面平行的性质可判断结果. 【详解】由过平面外一点可作无数条直线与平面相交可知，A错误； 由过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直可知，B错误； 因为是平面 α 外一点，所以过点有且仅有一个平面与平行. 由面面平行的性质定理可知，在平面内，经过点的任意一条直线都与平行， 故C正确，D错误. 故选：C 20. 已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，可得，，据此可得结果. 【详解】因为在上单调递减， 所以，即； 又因为在上单调递减， 所以， 所以. 故选：A 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分. 21. 设全集，集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集及交集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合，， 则，，， 故答案为：. 22. 函数 的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足 ，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 23. 设函数，则 __________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】由题可知， ， 所以. 故答案为： 24. 已知函数与直线有交点，则a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的值域可求参数范围. 【详解】因为，则，则， 所以函数的定义域为，值域为， 因函数与直线有交点，必须在函数的值域内， 则a的取值范围是 故答案为：. 25. 已知向量与向量的夹角为，且，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量内积的定义可求解. 【详解】由题可知， . 故答案为： 26. 已知过点作圆的切线有且仅有一条，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，点在圆上，将点的坐标代入圆的方程，求出，并经检验方程是否表示圆即可. 【详解】因为过点作圆的切线有且仅有一条， 所以在圆上， 即，解得， 经检验，时，表示以为圆心，半径的圆. 故答案为： 27. 正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的外接球直径为正方体的体对角线，从而求解. 【详解】由正方体特征可知，其外接球直径为正方体的体对角线， 因为正方体的棱长为2， 所以正方体体对角线长为：，即它的外接球直径为. 故答案为： 28. 一个圆柱的底面半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求值即可. 【详解】一个圆柱的底面半径为2，高为3， 则该圆柱的侧面积为， 故答案为：. 29. 从1，2，3，4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为奇数，则所组成的数的个数是__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】分步完成，第一步，选1或3排在末位，共有2种排法， 第二步，从剩余的数中选一个数排在十位，共有3种排法， 第三步，排百位，共有2种排法， 所以组成的数的个数是：. 故答案为： 30. 从1，2，3，4这四个数中任取两个数，则取出的两数之和是偶数的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】列举所有的基本事件，再根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】从1，2，3，4这四个数中任取两个数有，，，，，，共6个基本事件，其中两数之和是偶数有，，共2个基本事件， 所以取出的两数之和是偶数的概率. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 31. 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 【解析】 【分析】（1）利用题目所给的条件将长与宽表示出来，即证明四边形BCHG、四边形DEGH、四边形ABEF是矩形，由图得出BC以及AC，从而利用面积计算公式进行求解即可. （2）根据（1）得出的关系式求出最值即可. 【小问1详解】 在矩形中，， 四边形是矩形， （米），, , 四边形是矩形，同理四边形是矩形. 设 则，, , 注：自变量x的取值范围是:，所以. 【小问2详解】 由（1）知 当, 故, 即当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 32. 已知在等差数列中，. （1）求该数列的通项公式 ; （2）求数列的前n项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，利用通项公式列方程组，求出和，据此可求解； （2）将数列，分成等差数列和等比数列两组，分别求和可得解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，则 ， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，是以首项为，公差为的等差数列，则 . 33. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】化简条件可得，平方可得，由此计算得出. 【详解】已知 ，则， 两边平方可得， 即， 令，解一元二次方程， 得到或， 因为，即， 故 (舍去)，得到 ， 所以. 34. 求过点与圆相切的直线方程. 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论直线斜率是否存在，设出直线方程，依据点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 过点直线方程， 若直线斜率不存在，则直线方程为，圆心与直线距离为，不满足题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 由直线与圆相切可得， ， ， 解得， 故过点且与圆相切的直线方程为，即. 35. 中国共产党建党周年华诞之际，某学校积极响应党和国家的号召，通过"增强防疫意识，激发爱国情怀"知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党周年以来的丰功伟绩的歌颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． （1）求 a 值； （2）估计中位数(精确到); （3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）选分以上的人去参赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列方程可求得a. （2）根据各组的频率，再由所有小矩形面积平分的点对应的成绩确定中位数即可. （3）选成绩最好的同学去参赛(也可以给出其他方案，有理即可) 【小问1详解】 由图中数据得， 解得. 【小问2详解】 成绩在区间上的频率为， ， 成绩在区间的频率为， 因为， 所以中位数所在区间为， 设中位数为x，则， 解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 选成绩最好的同学去参赛， 分数在之间共有人， 所以选分以上的人去参赛.(也可以给出其他方案，有理即可) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年黑龙江省中等职业学校毕业生专业对口升学考试招生 数学试卷 （共同课） 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共35小题，满分100分；考试时间120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图时可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第一部分 选择题 一、单项选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出. 1. 已知集合，，若 A ∩ B = A ，则实数 a =（ ） A. 1 B. C 1或 D. 1或或0 2. “”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 6. 在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 8. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 9. 若角的终边在第二象限且经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 12 已知平面向量，，，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知向量，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 3 14. 已知向量均为单位向量，向量与向量的夹角为，那么（ ） A. B. C. D. 15. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 16. O是半径为5的圆的圆心，点 A 在直线l上，若 ．则直线l与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 17. 同一平面内的三条直线，，，若，，则与的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 相交 18. 经过直线外两点作与该直线平行的平面，这样的平面（ ） A. 只能作一个 B. 可以作无数个 C. 不存在 D. 以上都有可能 19. 若 P 是平面 α 外一点，则下列命题正确是（ ） A. 过 P 只能作一条直线与平面 α 相交 B. 过 P 可作无数条直线与平面 α 垂直 C. 过 P 可作无数条直线与平面 α 平行 D. 过 P 只能作一条直线与平面 α 平行 20. 已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分. 21. 设全集，集合，，则___________. 22. 函数 的定义域是___________. 23. 设函数，则 __________. 24. 已知函数与直线有交点，则a取值范围是_________. 25. 已知向量与向量的夹角为，且，，则_________. 26. 已知过点作圆的切线有且仅有一条，则实数__________. 27. 正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径是__________. 28. 一个圆柱底面半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积是__________. 29. 从1，2，3，4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为奇数，则所组成的数的个数是__________. 30. 从1，2，3，4这四个数中任取两个数，则取出的两数之和是偶数的概率是__________. 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 31. 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 32. 已知在等差数列中，. （1）求该数列的通项公式 ; （2）求数列的前n项和 . 33. 已知，求的值． 34. 求过点与圆相切的直线方程. 35. 中国共产党建党周年华诞之际，某学校积极响应党和国家的号召，通过"增强防疫意识，激发爱国情怀"知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党周年以来的丰功伟绩的歌颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． （1）求 a 值； （2）估计中位数(精确到); （3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$