正态分布讲义-2025届高三数学二轮高频考点专题复习

2025年高三数学二轮高频考点专题复习--正态分布 1．正态曲线 （一）定义 我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． （二）正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图乙所示： 　 甲　　　　　 　　 　　 乙 2．定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【典例1】已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【典例3】（2024·江苏镇江·高三模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（    ） 参考数据：若，则，，. A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 【典例4】某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名职工考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）； (2)若该单位职工的考核成绩服从正态分布，其中“近似为50名职工考核成绩的平均数近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？（结果四舍五入保留整数.） 附参考数据与公式：，，则，，. 【典例5】新高考改革后广西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. (1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 一、单选题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）若随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，.现从该社区中随机抽取2名居民，则恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ） A．0.60 B．0.48 C．0.36 D．0.24 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列命题中真命题是（    ） A．命题的否定； B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件； C．若随机变量服从正态分布，则； D．圆上的点到直线距离为1的点恰有3个． 6．（2025·云南昆明·一模）某次测试成绩，记成绩分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（   ） 参考数据：若，则，. A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 8．（2023·福建·模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 二、多选题 9．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西景德镇·一模）在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（   ） 参考数据：若，则， ， A． B．总体是35万人 C．样本均值为73.5 D．估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 11．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 三、填空题 12．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 13．（2023·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则的最小值为 ． 14．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 四、解答题 15．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 16．（2024·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 17．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 18．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）服从正态分布．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题． (1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额在内的人数（结果保留整数）； 附：若，则． (2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，类题中的两次答题机会答对的概率都是，类题中的两次答题机会答对的概率都是，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为元，求的分布列和数学期望． 19．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高三数学二轮高频考点专题复习--正态分布 1．正态曲线 （一）定义 我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． （二）正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图乙所示： 　 甲　　　　　 　　 　　 乙 2．定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【典例1】已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称， 所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边， 所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图象，可知正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D 【典例2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【典例3】（2024·江苏镇江·高三模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（    ） 参考数据：若，则，，. A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 【答案】D 【详解】由已知，，， 零件尺寸在15.15以上的概率为， 设零件尺寸在15.15以上的零件数为， 则，， 故选：D． 【典例4】某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名职工考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）； (2)若该单位职工的考核成绩服从正态分布，其中“近似为50名职工考核成绩的平均数近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？（结果四舍五入保留整数.） 附参考数据与公式：，，则，，. 【答案】(1)平均数为84.80；中位数84.67（分） (2)32名. 【详解】（1）依题意，这50名职工考核成绩的平均数为 由频率分布直方图得， ， 中位数（分） （2）由题意得， ， ， （名）， 估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有32名. 【典例5】新高考改革后广西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. (1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】(1)种 (2)①4093人；②不可信 【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法； （2）①设此次网络测试的成绩记为，则， 由题知，，， 则，所以， 所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人； ②不可信.， 则， 5000名学生中成绩大于430分的约有人， 这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 一、单选题 1．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）若随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，.现从该社区中随机抽取2名居民，则恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ） A．0.60 B．0.48 C．0.36 D．0.24 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列命题中真命题是（    ） A．命题的否定； B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件； C．若随机变量服从正态分布，则； D．圆上的点到直线距离为1的点恰有3个． 6．（2025·云南昆明·一模）某次测试成绩，记成绩分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（   ） 参考数据：若，则，. A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 8．（2023·福建·模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 二、多选题 9．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西景德镇·一模）在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（   ） 参考数据：若，则， ， A． B．总体是35万人 C．样本均值为73.5 D．估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 11．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 三、填空题 12．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 13．（2023·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则的最小值为 ． 14．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 四、解答题 15．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 16．（2024·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 17．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 18．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）服从正态分布．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题． (1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额在内的人数（结果保留整数）； 附：若，则． (2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，类题中的两次答题机会答对的概率都是，类题中的两次答题机会答对的概率都是，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为元，求的分布列和数学期望． 19．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 参考答案 1．B 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 2．A 【分析】由题可知，所以和对称，据此求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以； 所以． 故选：A． 3．A 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 4．B 【分析】根据正态分布的对称性和概率的乘法公式即可求解. 【详解】由题意得，则， 所以. 所以恰有1名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为. 故选：B. 5．D 【分析】A，由命题的否定定义可得. B，利用根据线面关系以及充分条件，必要条件的概念可知. C，根据正态曲线的对称性可知. D，利用点到直线的距离公式，平行直线的距离公式即可. 【详解】A，命题的否定应该为，故A错误. B，若，则是真命题；若，则是假命题，故是充分不必要条件，故B错误. C，随机变量服从正态分布，所以图像关于对称，根据，可得，所以，故C错误. D，设与直线距离为1的直线为，则由直线的距离公式可得，解得. 圆心到直线的距离为2，正好等于半径长，故直线与圆有1个交点；直线与圆显然有2个交点， 故所求点的个数为3，故D正确. 故选：D. 6．B 【分析】根据正态分布的对称性，结合题中参考数据，即可求得优秀率. 【详解】因为，所以由正态分布性质得120分以上的概率为， 故优秀率约为. 故选：B. 7．D 【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB，根据二项分布的概率公式即可求解C，根据正态分布的对称性质即可求解D. 【详解】，故AB错误； ，故C错误； 根据正态分布的对称性可得，故D正确. 故选:D. 8．B 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，，. 设， 则， 所以，，所以. ， 所以，，所以. 所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值. 9．AD 【分析】根据正态分布直接判断AB；根据正态曲线的对称性分析判断CD. 【详解】由可得，故A正确；B错误； 对于C，利用正态曲线的对称性可知，， 且，则， 所以，故C错误； 对于D，利用正态曲线的对称性可知，， 可得， 所以，故D正确. 故选：AD. 10．AD 【分析】根据分层随机抽样的特征可判断A；根据总体的定义可判断B；根据分层随机抽样的均值可计算并判断C；根据正态分布的定义可判断D. 【详解】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确； 总体是35万考生的数学成绩，故B错误； 根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误； ∵，，， ∴小于66分的人数约为人，故D正确． 故选：AD． 11．BCD 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 12． 【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为， 又，所以数学分数属于闭区间的概率为， 所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人. 故答案为： 13．/ 【分析】根据正态曲线的对称性求得，再由，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】因为随机变量，且， 所以，则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14．0.1/ 【分析】依题意得，则，由，得，即可求解. 【详解】若，则） 因为工业生产中轴承的直径服从， 所以，则， 由， 得， 则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为. 故答案为：## 15．(1)； (2)①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析. 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【详解】（1）， 由Z服从正态分布，得 ，因此， 所以X的数学期望为. （2）①棋子开始在第0格为必然事件，， 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即， 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 因此，即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列. ②由①知，，，，， 将以上各式相加，得， 于是， 则闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为， ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 16．(1) (2) (3)11 【分析】（1）根据表格由古典概型求解即可； （2）列出得7分的互斥事件，根据相互独立事件乘法公式及互斥事件和的概率公式求解; （3）由二项分布及正态分布的性质及所给结论建立不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 17．(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 18．(1)168 (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在内的概率，再用总人数乘以该概率即可； （2）由题可知，的可能取值为，根据题意计算概率即可得到分布列，进而可求数学期望. 【详解】（1）由题意， 若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额在内的人数为：（人）； （2）设的取值为， 则， ， 所以的分布列为 0 10 20 数学期望 19．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . （2）①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$