第01讲 比、比例及其性质（6个知识点+13种题型+分层练习）-2024-2025学年六年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第01讲 比、比例及其性质 目录 题型归纳 题型01 比的意义 4 题型02 比的读法、写法 6 题型03 求比值 6 题型04 比的性质 9 题型05 比的化简 12 题型06 比与分数、除法的关系 14 题型07 比值与化简比 15 题型08 比的应用 17 题型09 按比例分配问题 19 题型10 比例的意义 20 题型11 比例的基本性质 23 题型12 解比例 24 题型13 比例的应用 26 分层练习 夯实基础 32 能力提升 49 知识点1.比的相关概念 、是两个数或两个同类的量，为了把和相比较，将与相除，叫做与的比，记作或写成，其中读作比，或与的比。 其中叫做比的前项，叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值 求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位。 知识点2.比、分数和除法三者之间的关系 比：前项：后项=比值 分数：=分数值 （分子÷分母＝分数值） 除：被除数除数=商 比、分数和除法三者之间的关系： 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式中的商。 知识点3.比的基本性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。 最简整数比是指比的前项与后项都是整数，且他们互素。 知识点4.三项连比的性质 1）如果，那么 2）如果，那么 知识点5.比例 四个量中，如果，那么就说成比例，也就是 表示两个比相等的式子叫做比例.其中分别叫做第一、二、三、四比例项， 第一比例项和第四比例项叫做比例外项，第二比例项和第三比例项叫做比例内 项。如果两个比例内向相同，即，那么把叫做和的比例中项。 知识点6.比例的基本性质 如果或，那么.反之，如果都不为零，且， 那么或. 备注： 当时，要将，，写成三联比的形式，那么首先要将两个式子 中所对应的比值进行调整，调整到一致： ①，最后在得出的结果中约去他们的最大公因数即可 ②或者直接寻找和的最小公倍数，将和直接调整到这个数值，那么根据的变化，对进行相同的变化，根据的变化对进行相同的变化。例如：，可以知道，b在两个比中所对应的数值分别为4和 6，我们首先寻找出4和6的最小公倍数为12，那么要将4变成12，应该乘以3， 要将6变成12，应该乘以2，于是：（这里存在一个假设条件为与 的比，与 的比已经是最简比） 那么 题型01 比的意义 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）( )：   ( ) 【答案】 16 45 【难度】0.85 【知识点】比的意义 【分析】本题考查比的意义，根据比的意义列式计算即可． 【详解】解：因为， 所以； 因为， 所以． 故答案为：，． 2．（24-25六年级上·上海·假期作业）如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是 ，在这个长方形中能画出 个与阴影部分面积相等的三角形． 【答案】 1 2 无数 【难度】0.85 【知识点】比的意义 【分析】此题主要考查比的意义，关键要弄清三角形的底和高与长方形的关系．阴影部分为三角形，三角形的底等于长方形的长，三角形的高等于长方形的宽，三角形的面积底高，长方形的面积长宽，所以三角形的面积与长方形面积的比是；在长方形中可以画出无数条与宽相等的高，所以可以画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 【详解】解：阴影部分面积与大长方形面积的比是，在这个长方形中能画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 故答案为：1；2；无数． 3．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲、乙两人做100个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间比是 ，工作效率比是 ． 【答案】 / / 【难度】0.85 【知识点】比的意义 【分析】本题考查了比的意义．在求工作效率时设这项工程为“1”来分析比较好理解． （1）先把72分钟换算为小时，然后根据比的意义，甲乙两人工作时间比为，然后化简即可； （2）把零件总数看作“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，由此求出他们的效率比． 【详解】解：（1）72分钟小时 工作时间比为； （2）甲的工作效率：， 乙的工作效率：， 甲、乙的工作效率比是． 故答案为：，． 4.如下图，点M是正方形ABCD的边BC的中点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比是______． 【难度】★★★ 【答案】1:4． 【解析】利用割补法可将正方形分割成四个三角形，每个三角形的面积和阴影部分的面积相等． 【总结】本题一方面考查利用割补法解决面积问题，另一方面考查比在实际问题中的运用 题型02 比的读法、写法 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的 ，分数的 ，后项相当于除法的 ，分数的 ，比值相当于除法的 ，分数的 ． 【答案】 被除数 分子 除数 分母 商 分数值 【难度】0.94 【知识点】 比的读法、写法及各部分的名称 【分析】本题是考查比、除法、分数之间的关系，属于基础知识，要记住． 根据比、除法、分数之间的关系，比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的被除数，分数的分子，后项相当于除法的除数，分数的分母，比值 相当于除法的商，分数的分数值． 【详解】解：比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的被除数，分数的分子，后项相当于除法的除数，分数的分母，比值 相当于除法的商，分数的分数值． 故答案为：被除数，分子，除数，分母，商，分数值． 题型03 求比值 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）甲乙两人的速度比是，则相同时间内两人的路程比是 ；走同一段路程两人的时间比是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】本题主要考查了比的应用，根据，由甲乙两人的速度比是，求出结果即可． 【详解】解：∵甲乙两人的速度比是， ∴相同时间内两人的路程比为：， 走同一段路程两人的时间比是． 故答案为：；． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）小时分钟 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】本题主要考查了求比值，先将小时换算成分钟，然后再求比值即可． 【详解】解：小时分钟， ∴小时分钟． 故答案为：． 3．（23-24六年级上·上海崇明·期末）求比值：米：厘米= ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】本题考查了比的基本性质，把米化成厘米，再根据比的基本性质，即可得到结果，正确化简是解题的关键． 【详解】解：米厘米， ∴， 故答案为：． 4．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）求比值：升毫升 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】 求比值 【分析】本题考查求比值，先将单位统一，再根据比值的知识进行化简即可求解，解题的关键是统一单位． 【详解】∵升毫升， ∴升毫升， ∴比值是， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·假期作业）求下列各比的比值： (1) (2) (3) (4) (5)小时分 (6)吨千克 【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5)3 (6) 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】此题考查的是求比值问题，掌握比的基本性质是解决此题的关键． （1）根据比的基本性质即可求出结论； （2）根据比的基本性质即可求出结论； （3）根据比的基本性质即可求出结论； （4）根据比的基本性质即可求出结论； （5）先统一单位，根据比的基本性质即可求出结论； （6）先统一单位，根据比的基本性质即可求出结论． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：， ∴原式； （5）解：小时分，原式； （6）解：吨千克，原式． 题型04 比的性质 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲数是乙数的，乙数是丙数的，这三个数的连比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比的性质 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握比的性质是解题的关键．假设乙数是10，将10乘求出甲数，将10除以求出丙数，从而求出三个数的连比． 【详解】解：令乙数是10，那么 甲数： 丙数： 所以，这三个数的连比是． 故答案为：A． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的，则比值 （填扩大或缩小）为原来的 倍 【答案】 扩大 4 【难度】0.85 【知识点】比的性质 【分析】本题主要考查了比的性质，设原比值为1，则将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的后的比为，据此可得答案． 【详解】解：设原比值为1，则将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的后的比为，即比值为4， 所以比值扩大为原来的4倍． 故答案为：扩大，4． 3.已知，，则a : b : c =_____________． 【难度】★★★ 【答案】4:15:36． 【解析】法一由可得，，所以， 由可得，所以， 所以a : b : c ==4:15:36． 法二：，所以； ，所以． 【总结】考查由已知条件求三个数连比的方法． 4.若，，则a比c少几分之几？ 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】， ，． 【总结】考查比的转化以及一个数比另一个数少几分之几的运用． 题型05 比的化简 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将连比化成最简整数比是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比的性质、 比的化简 【分析】本题考查了比的基本性质，最简整数比，熟练掌握该知识点是解题点的关键．根据比的基本性质化简即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）化简比： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】 比的化简 【分析】本题考查了化简比，先将比中的三个数化成整数，再找到三个数的最大公因数，最后都除以这个数，便得到最简单的整数比． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·期末）化简比． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】 比的化简 【分析】本题考查了化简比的方法．根据比的基本性质解答．比的基本性质：比的前项和后项同时除以一个不为0的数，比的大小不变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型06 比与分数、除法的关系 1．（22-23六年级上·上海青浦·期中）如果一个分数的分子比分母大4，约分后得，那么原分数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比与分数、除法的关系 【分析】设原分数的分子是x，由题意列出方程即可求解． 【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是， 由题意得：， ∴， 经检验，符合题意， ∴原分数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是比的应用，熟练的利用分数与比的联系建立方程是解本题的关键． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如果，那么( ) 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比与分数、除法的关系 【分析】根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求比，正确计算是解题的关键． 3．（22-23六年级上·上海长宁·期中），括号里依次填 ， ， ． 【答案】 12 14 22 【难度】0.85 【知识点】比与分数、除法的关系 【分析】首先根据得出比值为，再逐次解答即可． 【详解】因为， 所以． 故答案为：12，14，22． 【点睛】本题主要考查了比，分数，除法的关系，求出比值是解题的关键． 题型07 比值与化简比 1．（22-23六年级上·上海宝山·期末）化简比：升：500毫升 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】 比值与化简比 【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘以或除以一个数（0除外）比值不变． 【详解】解：升：500毫升 毫升：500毫升 故答案为：． 【点睛】本题考查了化简比的方法，解题的关键是要掌握化简比的结果仍然是一个比，它可以是小数、分数或整数．注意两个项的单位要统一． 2．（22-23六年级上·上海青浦·期末）如果，，那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 比值与化简比 【分析】根据比的性质得出，，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了比的性质，掌握比的性质是解题的关键． 3．（22-23六年级上·上海长宁·期末）已知，，求：．（结果写成最简整数比） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 比值与化简比 【分析】本题考查的是把比化为最简整数比，掌握化简的方法是关键，先得到，再得到，从而可得答案． 【详解】解：， ， 所以． 题型08 比的应用 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）甲的身高是乙的，丙的身高是甲的，这三人的身高从高到低排列的顺序是（   ） A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．乙、甲、丙 D．甲、丙、乙 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比的应用 【分析】本题主要考查了比的应用．将乙的身高看作单位1，然后表示出甲和丙的身高，再比较大小即可． 【详解】解：将乙的身高看作单位1，则甲的身高为，丙的身高为， ∵， 又∵， ∴三人的身高从高到低排列的顺序是丙、甲、乙． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·假期作业）超市销售一种什锦糖果，其中含6千克的水果软糖，9千克的水果硬糖和15千克的咖啡软糖，则水果软糖与水果硬糖的质量比为 ，三种糖果的质量之比为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比的应用 【分析】本题考查了比的应用，根据各种糖果的质量，列出比例式计算化简即可． 【详解】什锦糖果中有6千克的水果软糖，9千克的水果硬糖， 水果软糖与水果硬糖的质量比为． 什锦糖果中有6千克的水果软糖，9千克的水果硬糖和15千克的咖啡软糖， 三种糖果的质量之比为． 故答案为：，． 3．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲、乙两人连环画本数的比为，甲丙两人连环画本数的比为，求甲、乙、丙三人连环画本数的连比？ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比的应用 【分析】该题主要考查了比的应用，解题的关键是统一两个比中甲的份数． 找出3和4的最小公倍数12，根据比的性质，统一两个比中甲的份数即可求解．． 【详解】解：甲、乙两人连环画本数的比：， 甲、丙两人连环画本数的比：， 所以，甲、乙、丙三人连环画本数的连比是：． 答：甲、乙、丙三人连环画本数的连比是． 题型09 按比例分配问题 1．（22-23六年级下·上海宝山·期中）根据实际需要，甲、乙、丙三个村庄共同修建一个水利工程，已知甲、乙、丙三个村庄的受益土地面积比为，修建水利工程共花费元，若三个村庄按受益土地的面积比分担工程费用，那么三个村庄各分担多少元？ 【答案】甲村庄分担480元，乙村庄分担320元，丙村庄分担640元 【难度】0.85 【知识点】 按比例分配问题 【分析】根据各自所占比例，乘以总费用即可． 【详解】解：元， 元， 元， ∴甲村庄分担480元，乙村庄分担320元，丙村庄分担640元． 【点睛】本题考查了按比分配，解题的关键是理解按比例分配的意义． 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）三个小组加工一批零件，第一小组加工了总数的40%，第二小组加工了总数的36%，第三小组加工了480个，这批零件有多少个？ 【答案】2000 【难度】0.85 【知识点】 按比例分配问题 【分析】先求第三小组加工了总数的百分比，再用第三小组加工了480个除以第三小组加工了总数的百分比，即可求解． 【详解】解：， （个）， 答：这批零件有2000个． 【点睛】本题考查了根据所占的百分比，求总数的知识，解题的关键是理解题意． 3．（2022六年级上·上海·专题练习）要修一条长432米的公路，已经修好了全长的，剩余的任务按分给甲、乙两个修路队，两个修路队各要修多少米？ 【答案】甲、乙两队分别要修160和128米 【难度】0.85 【知识点】 按比例分配问题 【分析】先把这条公路的长度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用这条公路的长度乘就是剩余的长度，再把剩余的长度看作单位“1”，甲队要修的占，乙队要修的占 ，根据分数乘法的意义，可计算出两队各要修的长度． 【详解】解：甲队要修米， 乙队要修米． 【点评】本题主要考查比例分配问题，根据题意列出算式是关键． 题型10 比例的意义 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）一段路，甲车用6小时走完，乙车用8小时走完，甲乙两车的速度比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】 比例的意义 【分析】本题考查了比的意义．相同路程，速度和时间成反比，据此计算． 【详解】解： 即甲乙两车的速度比是． 故选：B． 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）下列各比中能与组成比例的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】 比例的意义 【分析】先计算的值，再求出各个选项的比值． 【详解】∵     A．，A选项错误，所以A选项不符合题意； B．，B选项错误，所以B选项不符合题意； C．，C选项错误，所以C选项不符合题意； D．，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查比值的问题，解题的关键是正确求出各个比值． 3.将a添加入2，4，5后，这四个数可以组成比例，那么a =______． 【难度】★★★ 【答案】10或或． 【解析】 ，或． 【总结】考查四个数成比例的条件，由于本题没有说明顺序，因此要分类讨论． 4.在一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，一个内项是，则另一个内项是______． 【难度】★★★ 【答案】5． 【解析】因为两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，所以这两个数为2和19，根据比例的性质：两 内项之积等于两外项之积，可得：另一个内项是：． 【总结】考查质数的概念和比例的性质． 5.已知3a = 4b = 5c，求a : b : c． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】，所以． 【总结】考查由已知条件求三个数的连比的方法． 6．（20-21六年级上·上海松江·期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 【答案】11.52厘米 【难度】0.65 【知识点】 比例的意义 【分析】根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【详解】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米． 根据题意得到：． 解得x＝11.52， 答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米． 【点睛】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值，关键是根据题意得出方程解答． 题型11 比例的基本性质 1．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如果8是x和9的比例中项，那么 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质列式计算，即可解题． 【详解】解： 8是x和9的比例中项， ， ， ． 故答案为：． 2．（22-23六年级上·上海长宁·期末）已知b是a和c的比例中项，且，那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若，则b是a，c的比例中项．根据比例中项的概念可得，则可求得值即可． 【详解】解：∵，b是a和c的比例中项， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24六年级上·上海·期末）已知，，求．（结果写成最简整数比） 【答案】． 【难度】0.85 【知识点】 比例的基本性质 【分析】此题考查利用比的基本性质化简比以及把两个比化为连比的方法．根据比的基本性质得到，再根据，进而求出． 【详解】解：， ， ． 题型12 解比例 1．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）如果2是x与5的比例中项，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查了解比例，根据比例中项的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：因为2是x与5的比例中项， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）解方程： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查了解比例，根据比的基本性质得出，然后再去括号，移项合并同类项，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 3．（23-24六年级上·上海普陀·期末）求x的值：． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解比例 【分析】本题主要考查了解比例，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据“在比例中，内项之积等于外项之积”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 题型13 比例的应用 1．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）在一幅地图上，量得两城市之间的距离是厘米，这幅地图的比例尺是，那么两城市之间的实际距离是（    ）千米． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】 比例的应用、 图上距离与实际距离的换算 【分析】此题考查了比例尺，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算即可，解题的关键是熟练运用比例尺运算． 【详解】， ， 故选：． 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）一只老鼠从A点沿长方形逃跑，一只花猫同时从A点朝另一方向沿着长方形去捉老鼠，结果在距B点6米的C点处抓住了老鼠．已知，老鼠的速度是花猫速度的，则长方形的周长是 米．    【答案】54 【难度】0.65 【知识点】 比例的应用 【分析】猫走的路比老鼠要多了两个6米，即12米．已知老鼠的速度是花猫的，说明花猫的速度是11份，老鼠是7份，时间相同，所以路程也就是速度的份数，花猫走了11份，老鼠走了7份，总共有18份．猫比老鼠多走12米就是4份，那么每份就是米；总长度就是米 【详解】解：已知老鼠的速度是花猫的，说明花猫的速度是11份，老鼠是7份； （米） 答：这个长方形的周长是54米． 故答案为：54 【点睛】此题是行程问题中的相遇问题，利用差比问题解答，考查了学生的分析、解决问题的能力． 3.第一组与第二组人数比是5 : 3，从第一组调14人到第二组，第一组与第二组人数比是1 : 2，那么第一组有______人，第二组有______人． 【难度】★★★ 【答案】30，18． 【解析】设第一组人数为5a，第二组人数为3a， 那么，可得：a=6， 所以5a=30，6a=18． 即第一组有30人，第二组有18人． 【总结】考察调配问题，比例式的运用． 4．（23-24六年级上·上海·期末）将本相同厚度的书叠起来，它们的高度为厘米．如果将这样相同厚度的书继续叠放，当叠起来的高度达到厘米时，还需要叠放多少本书？ 【答案】本 【难度】0.65 【知识点】 比例的应用 【分析】本题考查了比例的性质，正确的列出比例式是解题的关键．因为一本书的厚度是一定的，根据本数与书的高度成正比列比例式即可得到结论． 【详解】解：设这些书有x本，由题意得，， 解得：， （本） 答：需要叠放本书． 5．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 【答案】行驶小时可以行驶440千米 【难度】0.85 【知识点】 比例的应用 【分析】本题主要考查了比例的应用，设行驶小时可以行驶x千米，根据速度路程时间可得比例，解比例即可得到答案． 【详解】解：设行驶小时可以行驶x千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 答：行驶小时可以行驶440千米． 6.小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是1 : 5，第二天又读了30页，已读和未读的页数的比变为3 : 5，求这本书共多少页？． 【难度】★★★ 【答案】144． 【解析】页． 【总结】考察和差关系和比例分配问题的综合运用． 7.甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？． 【难度】★★★ 【答案】12:15:10． 【解析】5、4、6的最小公倍数是60，即三个齿轮在转了一圈之后转过的总齿数是60． 其中甲的齿数为：60÷5=12（齿），乙的齿数为：60÷4=15（齿）；丙的齿数为： 60÷6=10（齿），所以三个齿轮的齿数比是：12:15:10． 【总结】考察几个数的比在实际问题中的运用． 8.农场养了若干鸡和兔，已知全部的鸡和兔的头和脚的数量之比是2 : 5，求鸡和兔的数量之比． 【难度】★★★ 【答案】3:1． 【解析】设鸡有m只，兔有n只，则鸡共有2m只脚，兔共有4n只脚， 由题意，可得：，即， 解得：，所以． 即鸡和兔的数量之比为． 【总结】考察鸡兔同笼问题，本题综合性较强，注意利用比例的基本性质求出两个变量之间 的关系，从而求出比值． 9.某团体有100名会员，男女会员人数之比是14 : 11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 : 13，5 : 3，2 : 1，那么丙组有多少名男会员？ 【难度】★★★ 【答案】12． 【解析】由题意知：男会员人数为：人．因为会员分成三个组，甲组的人 数与乙丙组人数之和一样多，则甲组100÷2=50人，乙丙两组50人． 所以甲组男人，设丙组的人数为x人，则乙组人数为（50x）人， 根据题意，可得：，解得：． 所以丙组有男会员：（人）． 【总结】本题综合性较强，主要考查已知两个数量的比以及数量和的运用，解题时注意认真分析． 10.某服装厂生产一批服装，其中88名工人采用流水作业方式生产，需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产8套，第二道工序每个工人每小时可以生产24套，第三道工序每个工人每小时可以生产5套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少人？ 【难度】★★★ 【答案】30，10，48． 【解析】设三道工序分配工人数分别为x、y、z，， 可得：，，则． 所以每道工序分配工人数分别为：（人）， （人），（人）． 【总结】考察比例分配问题，重点是求这三道工序分配人数之比． 11.甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟小时开工，结果同时结束．甲、乙两人的工作效率之比为5 : 2，甲每小时加工多少个零件？ 【难度】★★★ 【答案】375个． 【解析】因为甲、乙两人工作效率比是5:2，则甲、乙两人工作时间比是2:5，所以乙用的时间是甲的2.5 倍．又因为甲比乙迟小时开工，所以甲用了小时， 所以甲每小时加工零件：个． 【总结】考察工程问题，关键是求出甲完成工作所需的时间． 12.从A地到B地，甲需要40分钟，乙需要30分钟．如果甲出发5分钟后，乙才出发，那么乙多久可以追上甲？ 【难度】★★★ 【答案】15分钟． 【解析】设A和B之间距离为L，乙追上时间为t，则有， 解得：t为15分钟． 【总结】行程问题，本题利用二者路程相等列式，解题时注意方法． 13.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%．当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，问A、B两地相距多少千米？ 【难度】★★★ 【答案】450． 【解析】相遇后，甲、乙的速度之比为：5×（1-20%）：4×（1+20%）=5:6， 相遇时，乙走了全程的，所以相遇后甲到B地，甲又走了全程的， 乙又走了全程的，所以乙总共走了全程的， 所以A、B两地的距离为：（千米）． 【总结】行程问题，考察相遇后的路程和速度、时间的关系． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）把一批书按或者两种方案分给三个班，都正好分完．这批书可能有（    ）本． A．90 B．99 C．110 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比的应用 【分析】本题考查比的应用，根据这批书分成9份或11份都正好分完，得出这批书的本数是9和11的公倍数，是完成本题的关键． 根据把一批书按或者两种方案分给三个班，都正好分完．可知这批书分成9份或11份都正好分完．由此可知这批书的本数是9和11的公倍数，据此解答即可． 【详解】解：把一批书按或者两种方案分给三个班，都正好分完．可知这批书分成9份或11份都正好分完． 由此可知这批书的本数是9和11的公倍数， 所以这批书可能有99本， 故选：B． 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）下列各个比中，能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A选项中，，故不符合题意； B选项中，，故不符合题意； C选项中，，故符合题意； D选项中，，故不符合题意， 故选：C． 二、填空题 3．（20-21六年级上·上海静安·课后作业）一个比的前项是15，后项是12，这个比是 ，比值是 ． 【答案】 15：12 【难度】0.94 【知识点】比的意义、 比的读法、写法及各部分的名称、 求比值 【分析】根据比的前项除以后项等于比值，由此得出结果． 【详解】前项：后项=15:12， 比值为， 故填：15：12；． 【点睛】本题考查比的定义，要知道“：”前面的叫做前项，后面的叫做后项，比值要化成最简形式． 4．（23-24六年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质得到，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·假期作业）求下列各比的连比 （1） ： ： （2） ： ： ． 【答案】 4 5 8 35 15 8 【难度】0.94 【知识点】比的性质 【分析】本题主要考查比： （1）根据题意，利用比例的基本性质，若，则，，代入数据，根据比的性质，化简成最简整数比，即可． （2）根据题意，利用比例的基本性质，若，则，，代入数据，根据比的性质，化简成最简整数比，即可． 【详解】（1）若，则，，可得 ， 故答案为：       （2）若，则，，可得 ， 故答案为：      6．（24-25六年级上·上海·假期作业），括号中依次为 ． 【答案】4，49，16，7 【难度】0.85 【知识点】比的意义、 求比值 【分析】本题考查小数、分数和除法，根据小数、分数和除法的关系填空． 【详解】解：根据，所以， 根据，所以， 根据，所以， 根据，所以， ． 故答案是：4，49，16，7. 7．（23-24六年级上·上海普陀·期末）一个比的前项是12，后项是10，那么这个比的比值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 求比值、 比值与化简比 【分析】本题主要考查了比的计算，解题的关键是根据比的定义列式计算即可． 【详解】解：一个比的前项是12，后项是10，那么这个比的比值是． 故答案为：． 8．（23-24六年级上·上海·期末）求比值：0.25小时：25分钟＝ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法．根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数除外）比值不变；用比的前项除以后项即可． 【详解】解：0.25小时：25分钟 分钟：25分钟 ； ． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海·假期作业）的比值是( )；把化成最简整数比是( )． 【答案】 7 【难度】0.85 【知识点】 求比值、 比的化简 【分析】此题主要考查了化简比的方法，需要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数． 比的前项除以后项即可求出比值，据此用5.6除以即可解答；根据比的基本性质，把1.6和2同时乘10，再同时除以4即可化成最简整数比． 【详解】解： ； ； 则的比值是7；把化成最简整数比是． 10．（24-25六年级上·上海·期末）一块周长为72米的长方形菜地，长与宽的比是，这块菜地的面积是 平方米． 【答案】224 【难度】0.85 【知识点】比与分数、除法的关系、比的应用、 按比例分配问题 【分析】此题考查了长方形周长的计算、长方形面积的计算、比的应用，熟练掌握长方形周长和面积计算公式是解题的关键， 根据长方形的周长计算公式及比的应用求出这个长方形的长、宽，然后根据长方形面积计算公式即可解答． 【详解】解：（米） （米） （米） （平方米） 答：这块菜地的面积是224平方米． 故答案为：224． 11．（21-22六年级上·上海静安·期末）某高校原有垃圾桶个，其中老式垃圾桶和分类垃圾桶的比例是，为了更好的落实“垃圾分类”，计划把老式垃圾桶更换成分类垃圾桶．另外再采购更换总数的作为备用，那么此次共需采购 个分类垃圾桶． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 按比例分配问题 【分析】本题考查比例的应用，根据老式垃圾桶和分类垃圾桶的比例是得到老式垃圾桶占，再根据还要采购作为备用直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 老式垃圾桶有：（个）， ∵另外再采购更换总数的作为备用， ∴应采购：（个）， 故答案为：． 三、解答题 12．（2022六年级上·上海·专题练习）化简比：千克∶500克∶0.02吨． 【答案】3∶1∶40 【难度】0.94 【知识点】 求比值 【分析】首先将千克转化成1500克，0.02吨转化成20000克，然后求解即可． 【详解】解：千克＝1500克，0.02吨＝20000克 ∴千克∶500克∶0.02吨 =1500克∶500克∶20000克 =1500∶500∶20000 =3∶1∶40． 【点睛】本题主要考查了求比值的方法，另外还要注意求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数，解题的关键是先进行单位的换算． 13．（24-25六年级上·上海·假期作业）化简下列各比并求比值． (1) (2) (3) (4)2千克克 【答案】(1)；9 (2)；10 (3)；0.5 (4)；40 【难度】0.85 【知识点】 求比值 【分析】本题主要考查比和比例，熟练掌握化简整数比和求比值是解题的关键． （1）直接进行化简求值即可； （2）先根据比例的基本性质进行化简，然后求值即可； （3）先同乘以100，然后求值即可； （4）先把千克化成同单位，然后求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：2千克克克克 ． 14．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）已知，，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比的性质 【分析】本题考查比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变； 根据比的性质进行变形即可求解． 【详解】 ． 15．（23-24六年级上·上海闵行·期末）已知：，求． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比的性质 【分析】本题考查了比的性质； 根据比的性质进行变形，然后可得答案． 【详解】解：因为，， 所以． 16．（24-25六年级上·上海·假期作业）化简比． 【答案】；； 【难度】0.85 【知识点】 比的化简 【分析】本题主要考查比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比． 【详解】 17．（24-25六年级上·上海·假期作业）先化简下列各比，再求出比值． 米4分米 【答案】；；；；； 【难度】0.85 【知识点】 求比值、 比的化简 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握比的基本性质是解题的关键．先统一单位，再化简比，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；求比值用最简比的前项除以后项即可． 【详解】解： 米4分米 分米4分米 18．（2022六年级上·上海·专题练习）一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是，某人走这三段路所用的时间之比是，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多长时间？ 【答案】5小时 【难度】0.85 【知识点】比的应用、 按比例分配问题 【分析】各段路程长度之比，且全场为20千米，可得上坡、平路、下坡的长度分别为、、10千米，可求上坡时间小时，再根据上坡时间：平路时间，上坡时间：下坡时间，求得平路时间小时，下坡时间小时，将三段时间求和即可得出答案． 【详解】解： 上坡路：（千米） 平路：（千米） 下坡路：（千米） 上坡时间为：（小时） 上坡时间：平路时间，则平路时间为：（小时） 上坡时间：下坡时间，则下坡时间为：（小时） 总时间为：（小时） 此人走完全程需5小时 【点睛】此题考查了行程问题中上下坡的问题，注意路程与时间的关系，解题关键是运用按比例分配的方法求出上坡、平路、下坡长度，再根据三段路程所用时间之比求出各段路所用时间． 19．（2022六年级上·上海·专题练习）下图是某种清洁剂浓缩的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液与水的体积之比．按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液.  如果按的比配制一瓶500mL稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？ 【答案】100ml；400ml 【难度】0.85 【知识点】 按比例分配问题 【分析】直接利用按的比配制一瓶500mL的稀释液，进而分别得出浓缩液和水的体积． 【详解】解：如果按的比配制一瓶500mL稀释液，其中浓缩液的体积为：；水的体积为．答：如果按的比配制一瓶500mL稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是100ml和400ml. 【点睛】本题考查比例分配，将比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答． 20．（21-22六年级上·上海长宁·期末）已知，求． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 比例的基本性质、解比例 【分析】本题考查了解比例，运用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）来解答，解题的关键是根据比例的基本性质来解比例． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24六年级上·上海静安·期末）已知，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解比例 【分析】本题考查了解比例，直接根据内向积等于外向积求解即可． 【详解】解：由 可得 ∴ ∴． 22．（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 【答案】750个零件 【难度】0.85 【知识点】 比例的应用 【分析】本题考查了列比例式解决实际问题，根据题意列出比例式进而求解即可，准确理解题意是解题的关键． 【详解】设王师傅小时可以加工x个零件，由题意得 所以，王师傅小时可以加工750个零件． 23．（24-25六年级上·上海·期末）小红家在“开心农场”认领了一块长方形地，周长是100米，长和宽的比是．这块长方形地的面积是多少平方米？ 【答案】这块长方形地的面积是600平方米 【难度】0.65 【知识点】比的应用、 按比例分配问题 【分析】本题考查长方形的周长和面积公式，比的应用，即按比例分配，解决此题关键是用按比例分配的方法，先求出它的长和宽的长度． 要求这块长方形地的面积是多少平方米，先要求出它的长和宽分别是多少米，根据“这块长方形地的周长是100米”，可知它的长与宽的和是50米，再根据“它的长和宽的比是3：2”，用按比例分配的方法，即可求出它的长和宽的米数，进而用长乘宽即得面积． 【详解】解：它的长： （米） 它的宽： （米） 面积：（平方米） 答：这块长方形地的面积是600平方米． 【能力提升】 1.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s，t是正整数，且），如果（）在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：（1）；（2）；（3）；（4）若n是一个完全平方数，则．其中正确说法的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】（1）（4）正确；（2）； （3）． 【总结】本题主要考查对新题型的理解及运用． 2.如图，四边形ABCD是梯形，E是AB的中点，甲、乙两部分的面积比为10 : 7，则梯形上底AD与下底BC的长度比为（ ） A．7 : 10 B．3 : 10 C．3 : 7 D．3 : 14 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】因为E是AB的中点，所以△CBE的面积等于△ACE的面积， 因为△CBE的面积：四边形ADCE的面积=7：10， 所以△CBE的面积：△ADC的面积 =7：3， 所以△ACB的面积：△ADC的面积=14：3， 又因为△ACB与△ADC的高相同，所以AD：BC=3：14，故选D． 【总结】考查常见图形面积的求法及转换的思想． 3.a比b小，b比c大，用最简整数比表示a : b : c = ____________． 【难度】★★★ 【答案】2:4:3． 【解析】由题意得a:b=1:2=2:4，b:c=4:3，所以a : b : c=2:4:3． 【总结】考查已知一个数比另一个数多(少)几分之几，求这个数，以及连比的表示方法． 4.若x与、、这三个数可以组成比例式，则x可能是______． 【难度】★★★ 【答案】，，． 【解析】，，． 【总结】考查四个数成比例的条件，由于没有顺序，因此要分类讨论． 5.若正整数x、y满足，且x : y = 7 : 13，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】240． 【解析】设，，则，， 所以． 【总结】考查由已知条件求值的方法，注意对设“k”法的理解和运用． 6.若x、y、z满足x : y : z = 3 : 4 : 5，且，则x + y + z =______． 【难度】★★★ 【答案】10． 【解析】设，，，则，，解得： 所以． 【总结】考查比的运用，以及利用设“k”法根据已知条件求值． 7.有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． （1）若一天共收到900元，求儿童的人数？ （2）若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 【难度】★★★ 【答案】（1）42；（2）14、63和147． 【解析】男士、女士和儿童的比为2:9:21，设男士、女士和儿童人数分别为2x、9x和21x， （1）有，可得，则儿童人数为42． （2）由题意，可得：，解得：， 则男生、女士和儿童人数分别为14、63和147． 【总结】考察比的应用，本题关键是把男生、女士和儿童人数写成连比． 8.某俱乐部男、女会员人数之比是3 : 2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10 : 8 : 7，甲组中男、女会员的人数之比是3 : 1，乙组中男、女会员的人数之比是5 : 3，求丙组中男、女会员人数之比． 【难度】★★★ 【答案】5:9． 【解析】设甲、乙、丙人数分别为10x、8x、7x，则三组共有会员：10x+8x+7x=25x（人） 俱乐部有男会员：，则女会员有：； 则甲组中有男会员：，女会员：； 乙组中有男会员：，女会员：； 丙组中有男会员：，女会员：（人）， 则丙组中男女会员人数之比：． 【总结】考察比的应用，关键是求得男女会员总数和甲乙两组中男女会员的人数． 9.兄弟两人举行100米赛跑，当哥哥到达终点时，弟弟正在94米处．如果两人的速度仍和原来一样，进行第二次比赛，但让弟弟在原起点起跑，哥哥退后几米起跑，要使两人同时到达，哥哥应退后多少米？ 【难度】★★★ 【答案】 米． 【解析】 因为兄弟俩速度比为50:47， 所以弟弟跑100米，哥哥要跑米， 所以要使两人同时到达，哥哥应退后米． 【总结】考察行程问题中比的应用． 10.某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5 : 6，小客车和小轿车数量之比是4 : 11，收取小轿车的通行费比大客车多630元，求这天这三种车辆通过的总的数量． 【难度】★★★ 【答案】1155辆． 【解析】三种车辆数量之比为10:12:33，设三种车辆数量分别为10x、12x、33x， 则由，得：， 所以三种车辆总数量为：辆． 【总结】考察数量之差与比例分配问题的综合运用． 11.小强和小梅步行速度之比是13 : 11，他们分别从A、B两地同时出发，相向而行，0.5小时相遇，若他们同时由A、B两地出发，同向而行，则小强能不能追上小梅，若能，则需要多长时间？ 【难度】★★★ 【答案】6小时． 【解析】（小时）． 【总结】考察相遇问题的数量关系和追击问题的数量关系，注意不同关系下的速度与时间的 关系． 12.某数学竞赛学校选拔考试，参加的男生与女生人数之比为4 : 3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比为8 : 5，在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为3 : 4，问：共有多少名学生参加了选拔考试？ 【难度】★★★ 【答案】119人． 【解析】设参加考试的男女人数分别为4x、3x，录取的男、女生人数分别为： 91×=56人、9156=35人，因为未被录取的学生中，男生与女生人数之比 为3 : 4，则(4x56):(3x35)=3:4，解得：x=17，所以共有（4+3）×17=119人． 【总结】本题综合性较强，一方面考查对比的理解，另一方面考查比例的基本性质． 13.一段路分为上坡、平坡、下坡三段，各段路程之比依次为1 : 2 : 3，某人走各段路程所用的时间之比为4 : 5 : 6，已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长为50千米，问此人走完全程用了多少时间？ 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题意，可得：上坡的路程为千米，则上坡的时间为， 所以总时间为：小时． 【总结】本题主要是考查比的相关计算，注意认真分析题意． 14.一只猎狗发现距它18米的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去．已知，猎狗跑2步的路程狐狸要跑3步，而猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，则猎狗跑多少米能追上狐狸？ 【难度】★★★ 【答案】270米． 【解析】猎狗与狐狸的速度比为（3×5）：（2×7）=15:14， 即狐狸的速度是猎狗速度的， 设猎狗追上狐狸时行了x米，则狐狸行了x米， 可得方程， 解得：x=270， 即猎狗跑270米能追上狐狸． 【总结】本题综合性较强，主要是算出猎狗与狐狸的速度之比． 15.如图，圆与正方形的公共部分甲的面积占圆面积的，占正方形的，三角形与正方形的公共部分乙的面积占三角形的，占正方形的．求：（1）圆、正方形、三角形的面积比是多少？（2）若甲部分面积比乙部分面积少10厘米，求：圆、正方形、三角形的面积之和． 【难度】★★★ 【答案】（1）24:20:45； （2）890． 【解析】（1）设正方形的面积为20x，则甲、乙的面积分别为4x、5x， 所以圆的面积为4x÷=24x，三角形的面积为5x÷=45x， 所以圆的面积：正方形的面积：三角形的面积； （2）由题意，得：，解得：， 所以圆、正方形、三角形的面积之和为：（24+20+45）×10=890． 【总结】本题中主要是根据题意舍出正方形的面积，从而算出圆与三角形的面积． 16.某车间有51名工人，本月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲种零件5个和乙种零件3个，为了使每天能配套生产轿车的零件，问：应该如何安排工人？ 【难度】★★★ 【答案】35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 【解析】因为一辆车需要5个甲和3个乙配套，也就是说一辆车需要甲和乙的比例是5:3 设生产甲为x人，乙为y人，则x+y=51，且16x:21y=5:3， 解得：x=35，y=16． 【总结】本题主要考查按比例分配问题，注意认真审题，找出关键的比． 17.一条猎狗发现在离它10米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步．猎狗至少跑多少米才能追上兔子？ 【难度】★★★ 【答案】60． 【解析】猎狗跑5步的路程等与兔子跑9步的路程，猎狗的一步就相当于兔子的步； 相同的时间内猎狗跑两步，兔子跑三步，则猎狗和兔子的速度之比为： V1：V2=（1.8步×2）：3步=1.2：1；猎狗追上兔子时，猎狗行驶的路程比兔子行驶的路程多10m，设猎狗 追上兔子的时间为t． 则：1.2V2×t=V2×t+10，解得：， 所以猎狗行驶的路程：S=1.2V2×=60m． 【总结】行程问题，速度、路程、时间三者之间的关系，本题中先求出猎狗和兔子的速度之比是解题的关 键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 比、比例及其性质 目录 题型归纳 题型01 比的意义 4 题型02 比的读法、写法 6 题型03 求比值 6 题型04 比的性质 9 题型05 比的化简 12 题型06 比与分数、除法的关系 14 题型07 比值与化简比 15 题型08 比的应用 17 题型09 按比例分配问题 19 题型10 比例的意义 20 题型11 比例的基本性质 23 题型12 解比例 24 题型13 比例的应用 26 分层练习 夯实基础 32 能力提升 49 知识点1.比的相关概念 、是两个数或两个同类的量，为了把和相比较，将与相除，叫做与的比，记作或写成，其中读作比，或与的比。 其中叫做比的前项，叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值 求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位。 知识点2.比、分数和除法三者之间的关系 比：前项：后项=比值 分数：=分数值 （分子÷分母＝分数值） 除：被除数除数=商 比、分数和除法三者之间的关系： 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式中的商。 知识点3.比的基本性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。 最简整数比是指比的前项与后项都是整数，且他们互素。 知识点4.三项连比的性质 1）如果，那么 2）如果，那么 知识点5.比例 四个量中，如果，那么就说成比例，也就是 表示两个比相等的式子叫做比例.其中分别叫做第一、二、三、四比例项， 第一比例项和第四比例项叫做比例外项，第二比例项和第三比例项叫做比例内 项。如果两个比例内向相同，即，那么把叫做和的比例中项。 知识点6.比例的基本性质 如果或，那么.反之，如果都不为零，且， 那么或. 备注： 当时，要将，，写成三联比的形式，那么首先要将两个式子 中所对应的比值进行调整，调整到一致： ①，最后在得出的结果中约去他们的最大公因数即可 ②或者直接寻找和的最小公倍数，将和直接调整到这个数值，那么根据的变化，对进行相同的变化，根据的变化对进行相同的变化。例如：，可以知道，b在两个比中所对应的数值分别为4和 6，我们首先寻找出4和6的最小公倍数为12，那么要将4变成12，应该乘以3， 要将6变成12，应该乘以2，于是：（这里存在一个假设条件为与 的比，与 的比已经是最简比） 那么 题型01 比的意义 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）( )：   ( ) 2．（24-25六年级上·上海·假期作业）如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是 ，在这个长方形中能画出 个与阴影部分面积相等的三角形． 3．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲、乙两人做100个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间比是 ，工作效率比是 ． 4.如下图，点M是正方形ABCD的边BC的中点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比是______． 题型02 比的读法、写法 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的 ，分数的 ，后项相当于除法的 ，分数的 ，比值相当于除法的 ，分数的 ． 题型03 求比值 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）甲乙两人的速度比是，则相同时间内两人的路程比是 ；走同一段路程两人的时间比是 ． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）小时分钟 3．（23-24六年级上·上海崇明·期末）求比值：米：厘米= ． 4．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）求比值：升毫升 ． 5．（24-25六年级上·上海·假期作业）求下列各比的比值： (1) (2) (3) (4) (5)小时分 (6)吨千克 题型04 比的性质 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲数是乙数的，乙数是丙数的，这三个数的连比是（ ）． A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的，则比值 （填扩大或缩小）为原来的 倍 3.已知，，则a : b : c =_____________． 4.若，，则a比c少几分之几？ 题型05 比的化简 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将连比化成最简整数比是 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）化简比： ． 3．（24-25六年级上·上海·期末）化简比． (1) (2) (3) 题型06 比与分数、除法的关系 1．（22-23六年级上·上海青浦·期中）如果一个分数的分子比分母大4，约分后得，那么原分数是 ． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如果，那么( ) 3．（22-23六年级上·上海长宁·期中），括号里依次填 ， ， ． 题型07 比值与化简比 1．（22-23六年级上·上海宝山·期末）化简比：升：500毫升 ． 2．（22-23六年级上·上海青浦·期末）如果，，那么 ． 3．（22-23六年级上·上海长宁·期末）已知，，求：．（结果写成最简整数比） 题型08 比的应用 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）甲的身高是乙的，丙的身高是甲的，这三人的身高从高到低排列的顺序是（   ） A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．乙、甲、丙 D．甲、丙、乙 2．（24-25六年级上·上海·假期作业）超市销售一种什锦糖果，其中含6千克的水果软糖，9千克的水果硬糖和15千克的咖啡软糖，则水果软糖与水果硬糖的质量比为 ，三种糖果的质量之比为 ． 3．（24-25六年级上·上海·假期作业）甲、乙两人连环画本数的比为，甲丙两人连环画本数的比为，求甲、乙、丙三人连环画本数的连比？ 题型09 按比例分配问题 1．（22-23六年级下·上海宝山·期中）根据实际需要，甲、乙、丙三个村庄共同修建一个水利工程，已知甲、乙、丙三个村庄的受益土地面积比为，修建水利工程共花费元，若三个村庄按受益土地的面积比分担工程费用，那么三个村庄各分担多少元？ 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）三个小组加工一批零件，第一小组加工了总数的40%，第二小组加工了总数的36%，第三小组加工了480个，这批零件有多少个？ 3．（2022六年级上·上海·专题练习）要修一条长432米的公路，已经修好了全长的，剩余的任务按分给甲、乙两个修路队，两个修路队各要修多少米？ 题型10 比例的意义 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）一段路，甲车用6小时走完，乙车用8小时走完，甲乙两车的速度比是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）下列各比中能与组成比例的是（      ） A． B． C． D． 3.将a添加入2，4，5后，这四个数可以组成比例，那么a =______． 4.在一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，一个内项是，则另一个内项是______． 5.已知3a = 4b = 5c，求a : b : c． 6．（20-21六年级上·上海松江·期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 题型11 比例的基本性质 1．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如果8是x和9的比例中项，那么 ． 2．（22-23六年级上·上海长宁·期末）已知b是a和c的比例中项，且，那么 ． 3．（23-24六年级上·上海·期末）已知，，求．（结果写成最简整数比） 题型12 解比例 1．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）如果2是x与5的比例中项，则 ． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）解方程： 3．（23-24六年级上·上海普陀·期末）求x的值：． 题型13 比例的应用 1．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）在一幅地图上，量得两城市之间的距离是厘米，这幅地图的比例尺是，那么两城市之间的实际距离是（    ）千米． A． B． C． D． 2．（22-23六年级上·上海闵行·阶段练习）一只老鼠从A点沿长方形逃跑，一只花猫同时从A点朝另一方向沿着长方形去捉老鼠，结果在距B点6米的C点处抓住了老鼠．已知，老鼠的速度是花猫速度的，则长方形的周长是 米．    3.第一组与第二组人数比是5 : 3，从第一组调14人到第二组，第一组与第二组人数比是1 : 2，那么第一组有______人，第二组有______人． 4．（23-24六年级上·上海·期末）将本相同厚度的书叠起来，它们的高度为厘米．如果将这样相同厚度的书继续叠放，当叠起来的高度达到厘米时，还需要叠放多少本书？ 5．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 6.小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是1 : 5，第二天又读了30页，已读和未读的页数的比变为3 : 5，求这本书共多少页？． 7.甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？． 8.农场养了若干鸡和兔，已知全部的鸡和兔的头和脚的数量之比是2 : 5，求鸡和兔的数量之比． 9.某团体有100名会员，男女会员人数之比是14 : 11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 : 13，5 : 3，2 : 1，那么丙组有多少名男会员？ 10.某服装厂生产一批服装，其中88名工人采用流水作业方式生产，需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产8套，第二道工序每个工人每小时可以生产24套，第三道工序每个工人每小时可以生产5套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少人？ 11.甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟小时开工，结果同时结束．甲、乙两人的工作效率之比为5 : 2，甲每小时加工多少个零件？ 12.从A地到B地，甲需要40分钟，乙需要30分钟．如果甲出发5分钟后，乙才出发，那么乙多久可以追上甲？ 13.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%．当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，问A、B两地相距多少千米？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·假期作业）把一批书按或者两种方案分给三个班，都正好分完．这批书可能有（    ）本． A．90 B．99 C．110 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）下列各个比中，能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（20-21六年级上·上海静安·课后作业）一个比的前项是15，后项是12，这个比是 ，比值是 ． 4．（23-24六年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 5．（24-25六年级上·上海·假期作业）求下列各比的连比 （1） ： ： （2） ： ： ． 6．（24-25六年级上·上海·假期作业），括号中依次为 ． 7．（23-24六年级上·上海普陀·期末）一个比的前项是12，后项是10，那么这个比的比值是 ． 8．（23-24六年级上·上海·期末）求比值：0.25小时：25分钟＝ ． 9．（24-25六年级上·上海·假期作业）的比值是( )；把化成最简整数比是( )． 10．（24-25六年级上·上海·期末）一块周长为72米的长方形菜地，长与宽的比是，这块菜地的面积是 平方米． 11．（21-22六年级上·上海静安·期末）某高校原有垃圾桶个，其中老式垃圾桶和分类垃圾桶的比例是，为了更好的落实“垃圾分类”，计划把老式垃圾桶更换成分类垃圾桶．另外再采购更换总数的作为备用，那么此次共需采购 个分类垃圾桶． 三、解答题 12．（2022六年级上·上海·专题练习）化简比：千克∶500克∶0.02吨． 13．（24-25六年级上·上海·假期作业）化简下列各比并求比值． (1) (2) (3) (4)2千克克 14．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）已知，，求的值． 15．（23-24六年级上·上海闵行·期末）已知：，求． 16．（24-25六年级上·上海·假期作业）化简比． 17．（24-25六年级上·上海·假期作业）先化简下列各比，再求出比值． 米4分米 18．（2022六年级上·上海·专题练习）一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是，某人走这三段路所用的时间之比是，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多长时间？ 19．（2022六年级上·上海·专题练习）下图是某种清洁剂浓缩的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液与水的体积之比．按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液.  如果按的比配制一瓶500mL稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？ 20．（21-22六年级上·上海长宁·期末）已知，求． 21．（23-24六年级上·上海静安·期末）已知，求的值． 22．（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 23．（24-25六年级上·上海·期末）小红家在“开心农场”认领了一块长方形地，周长是100米，长和宽的比是．这块长方形地的面积是多少平方米？ 【能力提升】 1.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s，t是正整数，且），如果（）在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：（1）；（2）；（3）；（4）若n是一个完全平方数，则．其中正确说法的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，四边形ABCD是梯形，E是AB的中点，甲、乙两部分的面积比为10 : 7，则梯形上底AD与下底BC的长度比为（ ） A．7 : 10 B．3 : 10 C．3 : 7 D．3 : 14 3.a比b小，b比c大，用最简整数比表示a : b : c = ____________． 4.若x与、、这三个数可以组成比例式，则x可能是______． 5.若正整数x、y满足，且x : y = 7 : 13，则x + y =______． 6.若x、y、z满足x : y : z = 3 : 4 : 5，且，则x + y + z =______． 7.有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． （1）若一天共收到900元，求儿童的人数？ （2）若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 8.某俱乐部男、女会员人数之比是3 : 2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10 : 8 : 7，甲组中男、女会员的人数之比是3 : 1，乙组中男、女会员的人数之比是5 : 3，求丙组中男、女会员人数之比． 9.兄弟两人举行100米赛跑，当哥哥到达终点时，弟弟正在94米处．如果两人的速度仍和原来一样，进行第二次比赛，但让弟弟在原起点起跑，哥哥退后几米起跑，要使两人同时到达，哥哥应退后多少米？ 10.某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5 : 6，小客车和小轿车数量之比是4 : 11，收取小轿车的通行费比大客车多630元，求这天这三种车辆通过的总的数量． 11.小强和小梅步行速度之比是13 : 11，他们分别从A、B两地同时出发，相向而行，0.5小时相遇，若他们同时由A、B两地出发，同向而行，则小强能不能追上小梅，若能，则需要多长时间？ 12.某数学竞赛学校选拔考试，参加的男生与女生人数之比为4 : 3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比为8 : 5，在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为3 : 4，问：共有多少名学生参加了选拔考试？ 13.一段路分为上坡、平坡、下坡三段，各段路程之比依次为1 : 2 : 3，某人走各段路程所用的时间之比为4 : 5 : 6，已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长为50千米，问此人走完全程用了多少时间？ 14.一只猎狗发现距它18米的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去．已知，猎狗跑2步的路程狐狸要跑3步，而猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，则猎狗跑多少米能追上狐狸？ 15.如图，圆与正方形的公共部分甲的面积占圆面积的，占正方形的，三角形与正方形的公共部分乙的面积占三角形的，占正方形的．求：（1）圆、正方形、三角形的面积比是多少？（2）若甲部分面积比乙部分面积少10厘米，求：圆、正方形、三角形的面积之和． 16.某车间有51名工人，本月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲种零件5个和乙种零件3个，为了使每天能配套生产轿车的零件，问：应该如何安排工人？ 17.一条猎狗发现在离它10米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步．猎狗至少跑多少米才能追上兔子？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$